Основания классического математического анализа.

[epros]

talash в сообщении #1629619 писал(а):

Допустим получили $1.000...$ с точностью $1\times10^{-1000000}$, а потом допустим когда-то нашли нечётное совершенное число и получим уже $0.999...$ с большей точностью.

Десятичная дробь - это не про точность. Десятичная дробь - это последовательность цифр. А Вам неизвестна даже первая цифра числа. Т.е. последовательность Вам неизвестна.

[talash]

epros в сообщении #1629624 писал(а):

Десятичная дробь - это не про точность. Десятичная дробь - это последовательность цифр. А Вам неизвестна даже первая цифра числа. Т.е. последовательность Вам неизвестна

Это Вы свои основания излагаете?

В моих основаниях число это количественная характеристика объектов и их частей. И эту характеристику в Вашем примере мы можем получить с той точностью до которой сможем досчитать. То есть, десятичная дробь выполняет свою функцию числа. Поэтому, неизвестность первой цифры в этом примере никаких недостатков десятичных дробей не выявляет.

[warlock66613]

talash в сообщении #1629692 писал(а):

И эту характеристику в Вашем примере мы можем получить с той точностью до которой сможем досчитать. То есть, десятичная дробь выполняет свою функцию числа.

Да нет, тогда у вас число получается — это не десятичная дробь, а последовательность конечных десятичных дробей (со всё возрастающей точностью), и вы недалеко ушли от учебников матанализа.

[EminentVictorians]

talash, пусть у Вас есть какое-то число $a > 0$. Оно очень маленькое, но больше ноля. С точки зрения Ваших интуитивных оснований, всегда ли найдется такое натуральное число $n$, что $\frac{1}{n} < a$?

Или может быть все-таки есть такое положительное число $a$, что
$a<\frac{1}{2}$,

$a<\frac{1}{3}$,

$a<\frac{1}{4}$,

$a<\frac{1}{100000000}$

и вообще $a<\frac{1}{n}$ какое бы натуральное число $n$ мы бы ни взяли. Есть такое $a$ или нету? (с точки зрения Ваших интуитивных оснований)

[epros]

talash в сообщении #1629692 писал(а):

Это Вы свои основания излагаете?

Нет, очевидные факты.

talash в сообщении #1629692 писал(а):

То есть, десятичная дробь выполняет свою функцию числа.

Она бы выполнила, если бы была. Но у Вас её нет. Для данного числа.

talash в сообщении #1629692 писал(а):

Поэтому, неизвестность первой цифры в этом примере никаких недостатков десятичных дробей не выявляет.

Вы же сами столько букв извели, чтобы обойтись без необходимости "завершить бесконечные операции". Так вот, ни одной цифры этой десятичной дроби Вы без "завершения бесконечных операций" не узнаете.

[talash]

warlock66613 в сообщении #1629698 писал(а):

Да нет, тогда у вас число получается — это не десятичная дробь, а последовательность конечных десятичных дробей (со всё возрастающей точностью), и вы недалеко ушли от учебников матанализа.

Это получается только в этом единичном случае. Обычно последовательные приближения иррационального числа десятичной дробью получаются с сохранением большей части цифр и только добавляются новые. Но и в числе пи при последовательных приближениях можно найти длинные последовательности девяток, которые при более точном приближении превращаются в нули.

Но к чему мы это обсуждаем? Сейчас речь шла про то, что бесконечная непериодическая десятичная дробь есть наглядное представление иррационального числа. Про последовательные приближения речи не шло. Вот берём 4 миллиона знаков числа пи и получаем представление. Можем ли мы получить такое интуитивное представление рассматривая обыкновенные дроби?

-- 16.02.2024, 21:27 --

EminentVictorians в сообщении #1629702 писал(а):

talash, пусть у Вас есть какое-то число $a > 0$. Оно очень маленькое, но больше ноля. С точки зрения Ваших интуитивных оснований, всегда ли найдется такое натуральное число $n$, что $\frac{1}{n} < a$?

Да, по правилам, всегда найдётся такое число, это следствие неограниченности натурального ряда. Мы можем сначала получить натуральное число разделив $\frac{1}{a}$ и округлив до большего целого, затем прибавить к нему единицу и сделать обратную операцию и получим дробное число меньшее, чем $a$.

-- 16.02.2024, 21:59 --

epros в сообщении #1629703 писал(а):

Нет, очевидные факты.

Каковы правила определения очевидного? Если для одних очевидно одно, а для других другое?

Например:

epros в сообщении #1629624 писал(а):

Десятичная дробь - это не про точность.

Понятие "приблизительное число" это интуитивно очевидное понятие, часто используемое в быту. И в быту используются именно десятичные дроби(смотри линейка), а не обыкновенные.

Смотри также у Д.Граве 104 страницу про точность десятичных дробей и далее.
https://www.mathedu.ru/text/grave_nacha ... 1%8C%D1%8E

Основания строятся на интуитивно очевидных понятиях. Если мне непонятны основания теории множеств, то я её не изучаю. Вы также можете выбрать те основания, которые Вам по душе.

[EminentVictorians]

talash в сообщении #1629877 писал(а):

Мы можем сначала получить натуральное число разделив $\frac{1}{a}$ и округлив до большего целого

Чтобы округлить до большего целого, надо чтобы это большее целое существовало. А вдруг $\frac{1}{a}$ настолько большое, что большего целого нету? Вдруг это $\frac{1}{a}$ само больше любого целого?

talash в сообщении #1629877 писал(а):

Да, по правилам, всегда найдётся такое число, это следствие неограниченности натурального ряда.

А вдруг натуральный ряд ограничен?

По Вашим правилам натуральный ряд не ограничен сверху, а по моим правилам - ограничен. Как понять, чьи правила правильнее?

[talash]

EminentVictorians в сообщении #1629884 писал(а):

А вдруг натуральный ряд ограничен?

Мы же сами устанавливаем правила, пользуясь интуицией.

EminentVictorians в сообщении #1629884 писал(а):

По Вашим правилам натуральный ряд не ограничен сверху, а по моим правилам - ограничен. Как понять, чьи правила правильнее?

Мои правила они не только мои, это правила традиционной математики. То что обсуждаем в этой теме это в основном нюансы для большей интуитивной понятности. А ввести правило, что натуральный ряд ограничен это будет уже совсем другая математика.

А вообще, по научной методологии, споры между группами учёных о том чьи правила правильней должны разрешаться конструктивной дискуссией с демонстрацией практических преимуществ подхода и дальнейшим добровольным консенсусом.

[EminentVictorians]

talash в сообщении #1629910 писал(а):

Мы же сами устанавливаем правила, пользуясь интуицией.

Ну, у меня вот такая интуиция, что натуральный ряд ограничен сверху.

talash в сообщении #1629910 писал(а):

Мои правила они не только мои, это правила традиционной математики. То что обсуждаем в этой теме это в основном нюансы для большей интуитивной понятности. А ввести правило, что натуральный ряд ограничен это будет уже совсем другая математика.

В совсем традиционной математике не было, например, отрицательных чисел. Но Вы-то их, по-моему, принимаете. Значит у Вас уже "не совсем традиционная" математика. А если я не правильно понял хронологические рамки традиционной математики, тогда зафиксируйте их явно.

И как понять, будет математика "совсем другая" или не совсем. В более современной математике не было числа, квадрат которого был бы равен $(-1)$. Потом такая числовая система появилась. В этот момент математика стала "совсем другой"?

[epros]

talash в сообщении #1629877 писал(а):

Основания строятся на интуитивно очевидных понятиях.

Вам интуитивно не очевидно, что десятичная дробь - это последовательность цифр?

EminentVictorians в сообщении #1629912 писал(а):

Ну, у меня вот такая интуиция, что натуральный ряд ограничен сверху.

И зачем Вы человеку голову морочите (которая и так заморочена)? То, что натуральный ряд не ограничен сверху, определено аксиоматикой Пеано. Если Ваша интуиция этого не принимает, значит Вы не принимаете общепринятого определения натуральных чисел. Тогда об этом нужно прямо сказать.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1629989 писал(а):

То, что натуральный ряд не ограничен сверху, определено аксиоматикой Пеано.

Из аксиом Пеано вытекает неограниченность натурального ряда, где под ограниченностью понимается ограниченность в смысле канонического отношения порядка на $\mathbb N$. Но часто под натуральными числами понимают не саму структуру $\mathbb N$, а её образ при вложении в различные числовые системы. Когда произносят фразы
1) "множество действительных чисел $\{1, 2, 3\} \subset \mathbb R$ ограничено" и
2) "множество натуральных чисел $\{1, 2, 3\} \subset \mathbb N$ ограничено"

то, хоть слово "ограничено" используется и там, и там, в дейсвительности оно имеет 2 разных смысла:

в 1) ограниченность понимается в смысле отношения порядка на $\mathbb R$, а в 2) ограниченность понимается в смысле отношения порядка на $\mathbb N$.

Существуют числовые системы, где натуральные числа ограничены (в смысле порядка на этих числовых системах).

[epros]

Авторы имеют право авторского переопределения стандартных понятий в своих специфических целях. Однако это не отменяет того факта, что стандартное понятие натурального числа основано на аксиоматике Пеано, в частности, на существовании инъективной функции инкремента, что подразумевает порождение нового натурального числа после любого, которое мы сочли за "максимальное".

В историческом плане можно посмотреть в исторической статье Пеано аксиому под номером 6:

Вложение:

Peano.pdf [446.67 Кб]
Скачиваний: 121

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1629998 писал(а):

Однако это не отменяет того факта, что стандартное понятие натурального числа основано на аксиоматике Пеано, в частности, на существовании инъективной функции инкремента, что подразумевает порождение нового натурального числа после любого, которое мы сочли за "максимальное".

Так "максимальное" здесь используется в смысле канонического порядка на $\mathbb N$. Но когда Вы сравниваете хотя бы действительные числа $2$ и $3$ и говорите, что $2 < 3$, то $<$ здесь - это отношение порядка на $\mathbb R$, а не на $\mathbb N$.

epros в сообщении #1629998 писал(а):

Авторы имеют право авторского переопределения стандартных понятий в своих специфических целях.

Нету никаких специфических целей, есть просто банальная строгость в рассуждениях. Нельзя просто так смешивать разные отношения порядков, даже если одна структура инъективно и "с сохранением порядка" вкладывается в другую.


Давайте скажу другими словами. Когда Вы говорите, что множество $\{1, 2, 3, 4, 5\} \subset \mathbb R$ ограничено, то ограниченность здесь - это не то же самое, что ограниченность из аксиом Пеано. Это просто слова одинаковые, но смысл разный. Первая ограниченность понимается в смысле отношения порядка на $\mathbb R$, вторая - в смысле отношения порядка на $\mathbb N$.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1630003 писал(а):

Так "максимальное" здесь используется в смысле канонического порядка на $\mathbb N$. Но когда Вы сравниваете хотя бы действительные числа $2$ и $3$ и говорите, что $2 < 3$, то $<$ здесь - это отношение порядка на $\mathbb R$, а не на $\mathbb N$.

Вы ерунду какую-то пишете. Не знаю и не хочу знать никакого $\mathbb R$ (в контексте обсуждения натуральных чисел).

EminentVictorians в сообщении #1630003 писал(а):

Нету никаких специфических целей, есть просто банальная строгость в рассуждениях.

Когда Вы говорите об "ограниченных натуральных числах", Вы говорите о специфическом переопределении понятия "натуральных чисел".

EminentVictorians в сообщении #1630003 писал(а):

Когда Вы говорите, что множество $\{1, 2, 3, 4, 5\} \subset \mathbb R$ ограничено

Я так не говорю. Мне дела нет до множества $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, да и вообще до каких-либо множеств. Я говорил о понятии "натурального числа".

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1630010 писал(а):

Не знаю и не хочу знать никакого $\mathbb R$ (в контексте обсуждения натуральных чисел).

Это плохо. Натуральные числа хороши не только сами по себе, но и потому что они вкладываются в другие хорошие числовые системы.

Что касается определений, у меня такие определения: есть аксиомы Пеано, которые олицетворяют наши "требования" к тем структурам, которые мы хотели бы называть натуральными числами. И есть конкретные модели натуральных чисел - конкретные множества с конкретным образом определенными операциями и отношениями. Мне больше всего нравится модель фон Неймана - под натуральными числами я понимаю её. Но я помню, что Вам не нравится брать модели в качестве определений, поэтому в рамках этой темы я буду, как и Вы, в качестве определения натуральных чисел понимать аксиомы Пеано. Рассмотрим, например, действительные числа $1$, $1+1$, $(1+1)+1$, $((1+1)+1)+1$ и т.д. Для них выполняются аксиомы Пеано, поэтому я не буду против, если мы будем в рамках этой темы называть их натуральными числами.

epros в сообщении #1630010 писал(а):

Когда Вы говорите об "ограниченных натуральных числах", Вы говорите о специфическом переопределении понятия "натуральных чисел".

Нет. Берем множество $^*\mathbb R$ гипердействительных чисел. Построение модели можно посмотреть вот в этом моем сообщении. Это обычное линейно упорядоченное поле, поэтому в нем точно так же можно рассмотреть числа вида $1$, $1+1$, $(1+1)+1$, $((1+1)+1)+1$ и т.д. Для этих чисел будут выполняться аксиомы Пеано, поэтому я предполагаю, что Вы не станете возражать, если я назову эти числа натуральными числами. Оказывается, что существует число $C \in {^*\mathbb R}$ такое, что любое натуральное число из только что рассмотренных будет меньше этого числа $C$. Получается, что множество натуральных чисел ограничено сверху числом $C$. Просто "ограничено" здесь понимается в смысле отношения порядка на гипердействительных числах.