Не знаю и не хочу знать никакого

(в контексте обсуждения натуральных чисел).
Это плохо. Натуральные числа хороши не только сами по себе, но и потому что они вкладываются в другие хорошие числовые системы.
Что касается определений, у меня такие определения: есть аксиомы Пеано, которые олицетворяют наши "требования" к тем структурам, которые мы хотели бы называть натуральными числами. И есть конкретные модели натуральных чисел - конкретные множества с конкретным образом определенными операциями и отношениями. Мне больше всего нравится модель фон Неймана - под натуральными числами я понимаю её. Но я помню, что Вам не нравится брать модели в качестве определений, поэтому в рамках этой темы я буду, как и Вы, в качестве определения натуральных чисел понимать аксиомы Пеано. Рассмотрим, например,
действительные числа

,

,

,

и т.д. Для них выполняются аксиомы Пеано, поэтому я не буду против, если мы будем в рамках этой темы называть их натуральными числами.
Когда Вы говорите об "ограниченных натуральных числах", Вы говорите о специфическом переопределении понятия "натуральных чисел".
Нет. Берем множество

гипердействительных чисел. Построение модели можно посмотреть
вот в этом моем сообщении. Это обычное линейно упорядоченное поле, поэтому в нем точно так же можно рассмотреть числа вида

,

,

,

и т.д. Для этих чисел будут выполняться аксиомы Пеано, поэтому я предполагаю, что Вы не станете возражать, если я назову эти числа натуральными числами. Оказывается, что существует число

такое, что любое натуральное число из только что рассмотренных будет меньше этого числа

. Получается, что множество натуральных чисел ограничено сверху числом

. Просто "ограничено" здесь понимается в смысле отношения порядка на гипердействительных числах.