Отличие производной от дифференциала

[Kubrikov]

Уважаемые участники, объясните пожалуйста, чем производня отличается от дифференциала?

Я это понимаю так. Производная - изменение зависимого переменного при изменении независимого.
Дифференциал - "плавное" изменение зависимого переменного при "плавном" изменении независимого.

То есть дифференциал - это некоторое читерство. На малом участке криволинейное движение заменяется равномерным прямолинейным, а оставшаяся "криволинейность" не учитывается.
Как бы машинка выезжает из точки и далее движется плавно. А в случае с производной она может двигаться и неплавно.

Зачем введено понятие дифференциала изначально? Для упрощения составления дифференциальных уравнений? Управляющий параметр (который влияет на поведение процесса) считается на малом участке равномерным, а управляемый параметр меняется плавно. И составляется тупо алгебраическое уравнение.

[Dedekind]

Kubrikov
С дифференциалом правильно. А с производной - нет. Производная - это не просто

Kubrikov в сообщении #1630348 писал(а):

изменение зависимого переменного при изменении независимого.

Это отношение изменения $y$ к изменению $x$ при изменении $x$ стремящемся к нулю.

[Mikhail_K]

Kubrikov в сообщении #1630348 писал(а):

Я это понимаю так. Производная - изменение зависимого переменного при изменении независимого.
Дифференциал - "плавное" изменение зависимого переменного при "плавном" изменении независимого.

То есть дифференциал - это некоторое читерство. На малом участке криволинейное движение заменяется равномерным прямолинейным, а оставшаяся "криволинейность" не учитывается.
Как бы машинка выезжает из точки и далее движется плавно. А в случае с производной она может двигаться и неплавно.

Нет, всё совершенно не так.
Производная - это отношение "плавного изменения $y$" к "изменению $x$" на Вашем втором рисунке. И она же - предел "изменения $y$" к "изменению $x$" на первом рисунке, когда "изменение $x$" стремится к нулю.
Дифференциал - это просто "плавное изменение $y$" из второго рисунка.
Эти понятия тесно связаны друг с другом, их не нужно противопоставлять.

Читерства нет ни там ни там. Есть линеаризация - приближение нелинейной зависимости линейной зависимостью. Грубо говоря, если вы посмотрите через микроскоп на любую гладкую кривую, то вместо кривой увидите прямую. Это важное свойство и понятия производной и дифференциала его выражают.

[Dedekind]

Mikhail_K
А почему совершенно не так? Вроде про дифференциал ТС ровно то же самое сказал, что и Вы.

[Mikhail_K]

Dedekind в сообщении #1630354 писал(а):

Вроде про дифференциал ТС ровно то же самое сказал, что и Вы.

С этим я не спорю.
Скорее мои слова относились к предполагаемой ТС связи между понятиями производной и дифференциала.
Соотносятся они друг с другом совершенно не так.

[Kubrikov]

Производная - это и отношение дифференциалов, и отношение приращений. Просто при предельном переходе и приращения, и дифференциалы начинают "совпадать" все ближе и ближе, и разница там уже незаметна. Так ведь?

[dgwuqtj]

Kubrikov в сообщении #1630366 писал(а):

Производная - это и отношение дифференциалов, и отношение приращений.

Это отношение дифференциалов и предел отношений приращений. Дифференциал - это какое-то линейное отображение вида $x \mapsto kx$ (в одномерном случае), ну а производная - это коэффициент $k$.

[Kubrikov]

А дифференциал - это же тоже предел или нет?

[warlock66613]

На идейном уровне разницы между производной и дифференциалом нет. Это чуть-чуть разные техники для выражения одной и той же идеи.

[Dedekind]

Kubrikov в сообщении #1630372 писал(а):

А дифференциал - это же тоже предел или нет?

Нет, дифференциал - это не предел. В дифференциале $dy = k\cdot dx$, $dx$ - может быть любым. А в производной - должен стремиться к 0.

[sergey zhukov]

Kubrikov
И производная (первая производная), и дифференциал - они оба про "прямолинейную часть". Про "кривую под микроскопом, в точке", где она уже всегда прямая. При этом (если речь, скажем, о графике скорости) дифференциал - это один из катетов треугольнике с размерностью "метр", а производная - это отношение катетов с размерностью "метр/секунда".

[Kubrikov]

Тут порочный круг. Чтобы знать дифференциал - нужно заранее знать производную (под каким углом поползёт точка из точки). Откуда мне её знать, если я еще не знаю, как идёт процесс?

С другой стороны - при составлении дифференциального уравнения дифференциал получается автоматически. Ставим машинку в точку и задаём условие - что она должна ехать равномерно. Прямая получается сама собой.
Может с этим связано?

[sergey zhukov]

Kubrikov
Короче, вашу первую картинку (где написано - производная) можно выбросить и все объяснить только по второй. И дифференциал и производная - это связано с касательной. Просто разные вещи этими именами называются. Первое - это сам катет (зависит от выбора $dx$, т.е. дифференциал - это линейная по $dx$ зависимость $dy$ от $dx$, т.е. $dy=f^\prime (x)dx$). Второе - тангенс угла (отношение катетов).

Ничего тут сложного нет. $dy=f^\prime (x) dx$ - дифференциал функции $f(x)$ в точке $x$. $f^\prime ( x)=\frac{dy}{dx}$ - производная функции $f(x)$ в точке $x$.

[Kubrikov]

sergey zhukov в сообщении #1630394 писал(а):

Kubrikov
Ничего тут сложного нет. $dy=f^\prime (x) dx$ - дифференциал функции $f(x)$ в точке $x$. $f^\prime ( x)=\frac{dy}{dx}$ - производная функции $f(x)$ в точке $x$.

Так ведь я не знаю f^\prime (x)$ изначально.

[Dedekind]

Kubrikov в сообщении #1630397 писал(а):

Так ведь я не знаю f^\prime (x)$ изначально.

Знаете. $f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$. В этом определении дифференциал нигде не участвует. То есть, Вы сначала ищите производную (угловой коэффициент), а потом по ней строите дифференциал (противолежаший катет).

-- 21.02.2024, 11:17 --

Можно и наоборот: не зная производной, сначала угадать дифференциал. А потом по $f^\prime ( x)=\frac{dy}{dx}$ найти производную.