Отличие производной от дифференциала

[Kubrikov]

Да.
Вопрос в том, что делать со ступеньками-погрешностями, возникающими из-за нелинейности в том месте, где дифференциал "заканчивается".

[wrest]

Kubrikov в сообщении #1631873 писал(а):

Вопрос в том, что делать со ступеньками-погрешностями, возникающими

Можно
1. Смириться (физики ещё говорят "пренебречь за малостью")
2. Учесть, делая аппроксимацию функции полиномами степеней больших единицы, для чего надо придумать дифференциалы высших порядков. Ну вам лично придумывать не надо, т.к. уже это сделали Маклорен и Тейлор, надо только изучить.

Для выбора между "смириться" и "учесть" обычно делают оценку погрешности.

[Mikhail_K]

Kubrikov в сообщении #1631873 писал(а):

Вопрос в том, что делать со ступеньками-погрешностями, возникающими из-за нелинейности в том месте, где дифференциал "заканчивается".

А что и зачем с ними нужно делать?
Зависит от целей и контекста, в котором вы используете дифференциал.

[svv]

(Kubrikov)

Хотелось бы какой-то реакции, например: «Уррра! Теперь я понимаю, что такое дифференциал!»

[Kubrikov]

Еще надо в голове немного уложить ))

То есть производная определяется по двум точкам, а дифференциал - по одной точке и по заранее известному наклону?

[Утундрий]

А если я скажу, что дифференциал — нильпотент?

[Kubrikov]

Что такое нильпотент? Применительно к дифференциалу.

[svv]

Kubrikov
Укладывайте, пожалуйста. Используйте наглядную картинку, которую я дал. Дифференциал — это линейная функция (зависящая от точки), которая переводит скорость подвижной точки в скорость её образа. То есть, в многомерном случае, вектор в вектор.

Я опираюсь на то, что вектор скорости — интуитивно ясное понятие. Муха летает под лампой. Пусть функция $f$ преобразует координаты мухи в координаты её тени. Тогда её дифференциал в точке $p$, обозначаемый $df_p$, — это функция, которая преобразует скорость мухи $\vec u$ (когда она пролетает точку $p$) в скорость её тени $\vec v$. Замечательно, что $f$ может быть нелинейной, а зависимость $\vec v=df_p(\vec u)$ всегда линейна.

[Mikhail_K]

Kubrikov в сообщении #1631948 писал(а):

То есть производная определяется по двум точкам, а дифференциал - по одной точке и по заранее известному наклону?

Ну вот что значит "производная определяется по двум точкам"? Откуда Вы это взяли?
Разница между производной и дифференциалом совсем другая, чем Вы себе представляете. В определённом смысле, разницы и вовсе нет.
Рассмотрим функцию $f(x)=x^2$ и точку $x_0=3$, в которой мы будем смотреть производную и дифференциал.
Тогда производная $f^\prime(x_0)=6$, а дифференциал $df(x_0,\Delta x)=6\Delta x$.
И то и другое - способ показать, что, например, $3.01^2\approx 9.06$. То есть при увеличении точки $x_0=3$ на величину $\Delta x=0.01$ значение функции $f(x_0)=3^2=9$ изменяется примерно на $6\cdot 0.01=0.06$.
И да, равенство здесь примерное (на самом деле $3.01^2=9.0601$) - но чем меньше $\Delta x$, тем оно более точное, даже в сравнении с самим $\Delta x$.

И производная и дифференциал - это способы (немного разные, но совсем немного) математически описать вот эту идею, что при сдвиге из точки $x_0$ на небольшую величину $\Delta x$ значение функции изменяется примерно пропорционально, на какую-то величину $k\Delta x$. В примере выше $k=6$. Эта величина $k$ - производная, а величина $k\Delta x$ - дифференциал. Разницы почти никакой. Всё, что можно сказать на языке дифференциала, можно перевести на язык производной, и наоборот.

Важность понятия дифференциала (как самостоятельного понятия) немного выше при рассмотрении функций нескольких переменных и нелинейных операторов, но и там это понятие оказывается не особо нужным, если знать про производную Фреше.

[Евгений Машеров]

Если функция имеет физический смысл, то у производной и дифференциала могут быть разные размерности, у дифференциала совпадающая с размерностью функции, а у производной - размерность функции, делённая на размерность аргумента.

[Kubrikov]

А как выбирается дифференциал $dx$ ?

Это бесконечно малая величина или выбирается произвольно? Или по ситуации может быть и такой, и такой?

[wrest]

Kubrikov в сообщении #1632587 писал(а):

А как выбирается дифференциал $dx$ ?

Обычно полагают что дифференциал независимой переменной равен её приращению. Т.е. $dx = \Delta x$ и (условно) $\frac{dx}{dx} \equiv 1$
Т.е. независимая переменная "зависит" от себя самой линейно, с коэффициентом единица.
-- 12.03.2024, 17:35 --

Kubrikov в сообщении #1632587 писал(а):

Это бесконечно малая величина или выбирается произвольно?

В этой теме бесконечно малые величины возникают только при рассмотрении производной, дифференциалы же не являются малыми или (тем более) бесконечно малыми величинами.

[warlock66613]

Что касается "бесконечно малости".

В физике бывает очень полезно рассуждать в терминах бесконечно малых величин, причём под этим чаще всего понимается "очень маленькая величина, настолько малая, что чем-то можно пренебречь и получить верный с достаточной точностью ответ". То есть с точки зрения математики речь идёт не о бесконечно малой величине, а о конечной, но такой, что какое-нибудь приращение функции при изменении аргумента на эту величину можно заменить дифференциалом или какую-нибудь сумму интегралом и т. п. Итог выглядит так, как будто дифференциалы используются как бесконечно малые величины, но это видимость, а реально за этим стоит то, что я описал здесь.

[Kubrikov]

То есть применительно к выводу дифференциальных уравнений размышляем так: $dx$ связан с $dy$. А нелинейный масштабирующий коэффициент при $dx$ (если он есть) фиксируем стабильно и не меняем на участке "действия" дифференциала. И при перемножении $dx$ и стабильного масштабирующего коэффициента получаем линейно "ползущий" зависящий от него $dy$.

На другом участке масштабирующий коэффициент будет уже другим, но пока "ползёт" дифференциал - мы его тоже не меняем. Как вышел из начальной точки - таковым до конца дифференциала и остался.

[wrest]

Kubrikov в сообщении #1632608 писал(а):

То есть применительно к выводу дифференциальных уравнений размышляем так: $dx$ связан с $dy$.

Дифференциальные уравнения это такие, в которые входят производные. Значки дифференциелов там имеют другой смысл :) Запись $dx/dy$ не означает операцию деления. Это слитная запись означающая производную. Там обманичива эта эквилибристика и манипулирование термами $dx$, $dy$ и т.п.