Отличие производной от дифференциала

[wrest]

Kubrikov
Скажите а то, что "дифференциал это линейная часть приращения" вами осознается? Обычно тут тоже бывает много не[до]понимания. В разрезе того, что какая-такая "линейная часть" есть у приращения если приращение функции $f(x)$ это просто число, соответствующее двум числам -- значению аргумента функции $x_0$ и приращению аргумента функции в этом месте (значения) $\Delta x$, так что приращение функции это в свою очередь функция от двух переменных, $\Delta f(x_0,\Delta x)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$. И вот у этого приращения, $\Delta f(x_0,\Delta x)$ есть какая-то "линейная часть", которую и называют дифференциалом - вы понимаете о чем это?

[sergey zhukov]

Kubrikov в сообщении #1630397 писал(а):

Так ведь я не знаю $f^\prime (x)$ изначально.

Ну и что? Мы же говорим о том, в чем разница между производной и дифференциалом, а не о том, что (и как) нужно найти сначала, а что - потом.

[yafkin]

Производная это скорость а дифференциал это та бесконечно малая часть пути
которая будучи поделенной на время позволяет вычислить эту скорость используя теорию пределов
Один из основателей интересовался почему луна не падает на землю вот и
придумал такое обьяснение а про Д Аламбера я забыл это было давно да и
география наука не дворянская

[wrest]

yafkin в сообщении #1630423 писал(а):

а дифференциал это та бесконечно малая

Дифференциал это никакая не "бесконечно малая".

[Kubrikov]

Таки формальное определение дифференциала и его аналитическая запись слишком сложно. Хочется объяснения на пальцах, из практики.

В книге Пухначева, где едет машина и в каждой точке графика ищется скорость нашел вот такого "ёжика". Зеленый - дифференциал, красный - выбрасываемая погрешность.

Только он по-моему надписи на осях перепутал. Там по ординате на верхнем графике не скорость, а пройденное расстояние.

[VanD]

Может так записанное определение придётся Вам по вкусу (пусть оно и формальное и уже упоминалось).

Пусть $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Обозначим приращение аргумента в точке $a\in\mathbb{R}$ через $h$, а соответствующее приращение функции $f(a + h) - f(a)$ как $\Delta f|_a (h)$. Тогда дифференциал $f$ в точке $a$ (если он существует) -- это линейная функция $df|_a$ от приращения аргумента $h$, определяемая из соотношения

$$ \Delta f|_a (h) = df|_a (h) + o(h). $$

В частности, тут видно как $\Delta$ трансформируется в $d$ при линеаризации ($df|_a$ линейная функция от $h$, а $\Delta f|_a$ какая уж есть).

А вообще понять многие вещи в простейшем случае часто намного сложнее, как ни странно. Чем проще объект, тем больше разных структур на нём слепляются в единый ком. Поэтому имеет смысл посмотреть как всё работает хотя бы в случае функций многих переменных.

[Kubrikov]

Ну в случае функции двух переменных дифференциал - это тоже прямая линия. Вернее прямая линия - это"указатель", дифференциал это высота, которую задает конец прямой линии.
Только линия в трех измерениях.

[мат-ламер]

Kubrikov в сообщении #1630711 писал(а):

Ну в случае функции двух переменных дифференциал - это тоже прямая линия.

Kubrikov в сообщении #1630711 писал(а):

Только линия в трех измерениях.

Что за учебники вы изучаете?

[Kubrikov]

Ну в основном советские. Лузин, Андронов и т п.

[dgwuqtj]

Kubrikov в сообщении #1630711 писал(а):

Ну в случае функции двух переменных дифференциал - это тоже прямая линия. Вернее прямая линия - это"указатель", дифференциал это высота, которую задает конец прямой линии.

Вообще, конечно, дифференциал функции $f \colon U \to \mathbb R$ в точке $x \in U$, где $U \subseteq \mathbb R^2$ открыто, - это линейное отображение $d_x f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R$. Если очень хочется, то можно, конечно, такое отображение нарисовать в виде прямой (ядра $d_x f$) и чего-то ещё, но придётся предполагать, что дифференциал ненулевой.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1630721 писал(а):

Что за учебники вы изучаете?

Kubrikov в сообщении #1630793 писал(а):

Ну в основном советские. Лузин, Андронов и т п.

Эти учебники я не читал. Но я что-то сомневаюсь, чтобы в них была такая трактовка дифференциала:

Kubrikov в сообщении #1630711 писал(а):

Ну в случае функции двух переменных дифференциал - это тоже прямая линия.

Хотя может быть мы по разному понимаем, что такое функция двух переменных.

[Kubrikov]

$X$ задает движение в одну сторону - прямая линия приподнимает точку. $Y$ сдвигает ее вбок - точка приподнимается еще, только уже немного в другой стороне.
Получается комбинация двух движений.

[Kubrikov]

Иными словами, дифференциал - это некоторая величина, либо самостоятельная, либо связанная с другой величиной. Но связанная линейно. Возможно через коэффициент.

[wrest]

Kubrikov в сообщении #1631794 писал(а):

величина, либо самостоятельная, либо связанная с другой величиной. Но связанная линейно.

Связана с полным приращением функции, является линейной частью полного приращения.
То есть дифференциал -- это то, насколько изменится функция если скорость её изменения не будет меняться.

В аналогии с автомобилем это выглядит так. Вы смотрите на спидометр в 12:00:00 и спидометр показывает скорость 100 км/ч. Запомнили этот момент. Теперь дифференциал функции пройденного автомобилем расстояния в зависимости от времени, соотвествующий начальному времени 12:00:00 (когда вы смотрели на спидометр), будет произведением скорости (100 км/ч) и дифференциала времени (например дифференциалу времени величиной 1 час будет соответсвовать дифференциал пройденного пути величиной 100км, если дифференциал времени принять равным получасу, то дифференциал пройденного пути будет равен 50км и так далее).

[svv]

Можно также понимать дифференциал как функцию (зависящую от точки), которая преобразует приращение независимой переменной в этой точке в линейную часть приращения зависимой переменной. Я хочу предложить наглядную картинку. Лучше сразу рассматривать случай многих переменных.

Пусть функция $f$ отображает $\mathbb R^m$ (или область в нём) в $\mathbb R^n$. Функция $f$ дифференцируемая, не обязательно линейная. Если введены координаты, можно записать:
$y=f(x)$, где
$\begin{array}{l}x=(x^1,...,x^m)\in \mathbb R^m\\ y=(y^1,...,y^n)\in \mathbb R^n\end{array}$

Введём дополнительную независимую переменную $t$ ("время"). У нас есть космический глайдер $x$, на котором мы можем гонять по $\mathbb R^m$ с произвольной гладкой зависимостью $x(t)$. Тогда по $\mathbb R^n$ будет перемещаться образ (призрак) глайдера $y$:
$y(t)=f(x(t))$
Векторы скорости глайдера $u$ и его призрака $v$:
$u(t)=\frac{dx(t)}{dt},\;v(t)=\frac{dy(t)}{dt}$

Выберем точку $x_0\in \mathbb R^m$, и пусть $y_0=f(x_0)$. Всякий раз, когда глайдер пролетает через точку $x_0$, его призрак пролетает через точку $y_0$. А как при этом связаны скорость глайдера $u$ и скорость его призрака $v$? Они связаны линейным отображением $df$, зависящим от точки $x_0$:
$v=df_{x_0}(u)$
Это отображение и есть дифференциал $f$ в точке $x_0$.
Мне нравится эта картинка. Никаких бесконечно малых, никаких приращений.