кортежи последовательных простых. ключ к 19-252

[gris]

primepi(157) = 37
primepi(409) = 80
157: [0, 6, 10, 16, 22, 24, 34, 36, 40, 42, 54, 66, 70, 72, 76, 82, 84, 94, 100, 106,112, 114, 120, 124, 126, 136, 150, 154, 156, 160, 174, 180, 190, 192, 196, 202, 210, 216, 222, 226, 232, 240, 244, 252]
вот длина 44 и диаметр 252. Или надо симметричный (разумеется, чётной длины).

[Dmitriy40]

Dmitriy40 в сообщении #1629205 писал(а):

Для симметричных кортежей нечётной длины (не уверен насчёт самого короткого) - да, там же требование одинакового остатка по модулю 6 для всех чисел паттерна вылезает, так что $\lfloor\frac{252}{6}\rfloor+1=43$.

На самом деле меньше: не все числа кратные 6 можно добавить в паттерн 19-252, некоторые комбинации оказываются запрещёнными по разным модулям. Например добавить 18 и 24 нельзя по модулю 5, а 18 и 36 по модулю 11.
В какой-то теме gris я год назад показывал какие цепочки диаметром 252 встречаются до 1e11, повторю про последнюю встреченную длину:
99852437299: [0, 10, 24, 28, 30, 40, 58, 60, 72, 82, 90, 94, 108, 132, 138, 168, 174, 180, 192, 198, 208, 214, 228, 240, 244, 252], len=26
98996552341: [0, 36, 40, 42, 52, 58, 82, 88, 100, 108, 112, 136, 150, 156, 162, 166, 168, 172, 186, 190, 192, 220, 228, 232, 238, 240, 252], len=27
89638536077: [0, 2, 6, 12, 24, 32, 44, 54, 60, 72, 74, 84, 102, 104, 110, 114, 116, 122, 132, 150, 156, 180, 182, 186, 194, 216, 230, 252], len=28
62448173849: [0, 8, 12, 20, 24, 68, 78, 80, 84, 90, 92, 98, 102, 110, 120, 122, 138, 140, 150, 162, 194, 200, 210, 218, 222, 230, 242, 248, 252], len=29
70872264271: [0, 6, 12, 18, 22, 30, 42, 48, 58, 70, 72, 76, 96, 100, 102, 112, 118, 120, 132, 160, 172, 180, 186, 202, 208, 228, 232, 238, 246, 252], len=30
5803841: [0, 8, 18, 26, 36, 38, 42, 50, 60, 66, 86, 92, 96, 98, 102, 110, 120, 128, 138, 150, 158, 176, 182, 192, 200, 212, 218, 228, 240, 246, 252], len=31
1219639: [0, 4, 10, 12, 18, 24, 40, 64, 78, 82, 88, 100, 108, 114, 124, 144, 148, 150, 154, 168, 172, 192, 198, 204, 208, 210, 220, 222, 232, 238, 240, 252], len=32
112921: [0, 6, 18, 30, 46, 58, 76, 90, 96, 100, 102, 106, 118, 120, 130, 142, 160, 162, 168, 172, 190, 196, 202, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 246, 250, 252], len=33
8597: [0, 2, 12, 26, 30, 32, 44, 50, 66, 72, 80, 84, 92, 96, 102, 110, 116, 122, 134, 140, 144, 150, 156, 164, 182, 186, 206, 210, 222, 224, 234, 240, 242, 252], len=34
7507: [0, 10, 16, 22, 30, 34, 40, 42, 52, 54, 66, 70, 76, 82, 84, 96, 100, 114, 132, 136, 142, 162, 166, 174, 180, 184, 192, 196, 210, 216, 220, 234, 246, 250, 252], len=35
7451: [0, 6, 8, 26, 30, 36, 38, 48, 56, 66, 72, 78, 86, 90, 96, 98, 108, 110, 122, 126, 132, 138, 140, 152, 156, 170, 188, 192, 198, 218, 222, 230, 236, 240, 248, 252], len=36
2591: [0, 2, 18, 26, 30, 42, 56, 66, 68, 72, 80, 86, 92, 96, 98, 102, 108, 116, 120, 122, 128, 138, 140, 150, 158, 162, 176, 186, 198, 200, 206, 210, 212, 228, 242, 246, 252], len=37
2657: [0, 2, 6, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 50, 54, 56, 62, 72, 74, 84, 92, 96, 110, 120, 132, 134, 140, 144, 146, 162, 176, 180, 186, 194, 200, 204, 222, 230, 240, 246, 252], len=38
877: [0, 4, 6, 10, 30, 34, 42, 52, 60, 64, 70, 76, 90, 94, 100, 106, 114, 120, 132, 136, 142, 144, 154, 156, 162, 172, 174, 184, 186, 192, 210, 214, 216, 220, 226, 232, 240, 246, 252], len=39
Остальные более длинные все ещё ниже.
Отдельно забавно что длин 47 и 49 не встретилось вообще.

С другой стороны есть теорема о бесконечности вхождений любой прогрессии простых чисел, в частности любых допустимых паттернов, так что где-то далеко-далеко и не в нашей галактике вполне могут и должны встретиться повторы почти всех этих паттернов (не проверял их на допустимость, вдруг какой-то строго единственен).
Из больших примеров ("похожие" на 19-252 и до 1e24) как уже говорил обнаружил лишь несколько длиной 26 и один 28.

Yadryara в сообщении #1629206 писал(а):

А числовые примеры есть? Я не говорю про 51, хотя бы 44.

Есть лишь такой последний:
227: [0, 2, 6, 12, 14, 24, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 66, 80, 84, 86, 90, 104, 110, 120, 122, 126, 132, 140, 146, 152, 156, 162, 170, 174, 182, 192, 194, 204, 206, 212, 216, 222, 230, 234, 236, 240, 252], len=44
Но он вполне себе допустим по всем остаткам и потому должен встретиться и когда-нибудь ещё (причём бесконечное число раз).

-- 12.02.2024, 14:04 --

gris в сообщении #1629212 писал(а):

Или надо симметричный?

Симметричный длиной 19 имеет минимальный диаметр 252 и соответственно длиннее с тем же диаметром быть ну никак не может. Минимальный диаметр симметричного длиной 21 уже 324, не 252.

-- 12.02.2024, 14:06 --

gris
Неужели это такой прям великий труд убрать лишние переносы строк?

[Yadryara]

gris в сообщении #1629212 писал(а):

вот длина 44 и диаметр 252.

А начало?? Специально ведь написал:

Yadryara в сообщении #1629203 писал(а):

То есть если взять 253 идущих подряд натуральных числа, не с самого начала, а например, с 63000, простых чисел в такой цепочке будет не более 43-х.

[gris]

с длиной 44 и диаметром 252 так далеко кортежи не растут Я вообще нашёл только четыре штуки на пеньке
157: [0, 6, 10... 252]
191: [0, 2, 6, 8,... 252]
211: [0, 12, 16, 18... 252]
227: [0, 2, 6, 12, ... 252]
search in 3 (3.0 E0) - 2035907957 (2.0 E9) L=2.04 E9

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1629213 писал(а):

Есть лишь такой последний:
227:

И Вы тоже проигнорили, что я просил начинать с 63 тысяч?

Dmitriy40 в сообщении #1629213 писал(а):

С другой стороны есть теорема о бесконечности вхождений любой прогрессии простых чисел, в частности любых допустимых паттернов, так что где-то далеко-далеко и не в нашей галактике вполне могут и должны встретиться повторы почти всех этих паттернов

Не в курсе насчёт галактик, но полный период $251\# \approx 6\cdot 10^{100}$, целых 6 гуглов.

Может они там есть, но проверить нереально.

[Dmitriy40]

Yadryara, gris
Любой допустимый (не запрещённый по модулям простых) паттерн встретится бесконечное множество раз. Вопрос лишь когда именно, при каких числах. И длиной 44 тоже. И даже длиной 51. Но чем длиннее, тем дальше первое/второе вхождение. Вот например для паттерна длиной 21:

Цитата:

k=21 s=84 B={0 2 8 12 14 18 24 30 32 38 42 44 50 54 60 68 72 74 78 80 84}
29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
39433867730216371575457664399 + d, d = 0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80, 84 (29 digits, 8 Jan 2015, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)
138433730977092118055599751669 + d, d = 0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80, 84 (30 digits, 8 Oct 2015, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)
248283957683772055928836513589 + d, d = 0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80, 84 (30 digits, 1 Aug 2016, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)
622803914376064301858782434517 + d, d = 0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76, 82, 84 (30 digits, December 27, 2018, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)

Длина всего 21, а второе вхождение аж на 29 цифр. Что уж говорить про длины за 40, они где-то безумно далеко. Так что привести реальный пример не могу разумеется.

-- 12.02.2024, 14:49 --

Yadryara в сообщении #1629226 писал(а):

Может они там есть, но проверить нереально.

Если оно так для меньших паттернов, то с чего бы быть по другому для больших? Не с чего. Теория то опирается на общие свойства (простых) чисел, независимо от длины паттерна.
Плюс есть же теорема (доказанная, раз не гипотеза, впрочем я могу и путать) про бесконечное вхождение любых паттернов простых чисел.

-- 12.02.2024, 14:54 --

Dmitriy40 в сообщении #1629228 писал(а):

Плюс есть же теорема (доказанная, раз не гипотеза, впрочем я могу и путать)

Таки путаю, это гипотеза Диксона, значит не доказана. Но сомнений в её справедливости мало.

-- 12.02.2024, 15:04 --

Yadryara в сообщении #1629226 писал(а):

Не в курсе насчёт галактик, но полный период $251\# \approx 6\cdot 10^{100}$, целых 6 гуглов.

Это мало о чём говорит, реальные цепочки могут быть и на десятки порядков дальше. Или ближе.
Вон цепочка длиной 21 диаметром 84 встретилась же почти на 4 порядка ближе $83\#=2.67\cdot10^{32}$.

[gris]

Хотя если подойти к постановке задачи как к поиску 44 ППЧ на отрезке НЧ длиной 253, то решений побольше будет с учётом кортежей из 44 ППЧ диаметром меньшим 253. Но все они начинаются от 2 до 227. А больше 227 до 10 млрд и не видно

[Dmitriy40]

Я же проверил до 1e11, год назад. Тотально все цепочки диаметром 252. И несколько длиной 19-22 (и тем же диаметром) сразу за 1e19 и перед $2^{64}$ и одну чуть выше 1e25. Какие-то из них показывал в Вашей теме «Concerning twin primes and distances between pairs».

[gris]

Да. Я имел ввиду, что мы говорим о диаметре ровно 252, а вдруг бы нашелся кортеж 44-250 или 44-248. Его можно бы всунуть в отрезок длиной 253 в соответствии с ранней постановкой задачи.

[Dmitriy40]

Ну так и 51 простое можно всунуть в диаметр 252, я же привёл паттерн, он допустим, значит когда-то должен встретиться. Когда-то! В вики кажется есть оценка сверху когда встретится любая последовательность простых, но там числа ... м-м-м-м ... типа $10^{10^{51}}$, если не больше.

[Dmitriy40]

Dmitriy40 в сообщении #1629205 писал(а):

Файл обновил, ссылка та же, досчиталось до 3e13 (примерно по 4ч на 1e13 пока выходит), 40560 элементов в таблицу.

Досчитал до 6e13, файл обновил, 44686 элементов, ссылка та же: https://cloud.mail.ru/public/cXJz/js19fzTi7

[gris]

Немного о метрике, вернее о норме.
Рассмотрим пространство 19-кортежей из ППЧ с диаметром 252.
Первые из них
27109: [0, 18, 34, 70, 82, 88, 102, 130, 132, 144, 150, 162, 168, 172, 174, 190, 220, 228, 252]
31729: [0, 12, 22, ... 252]
31751: [0, 18, 20, ... 252]
Для каждого кортежа определим вектор абсолютной величины отклонения от паттерна 19-252 и его сумму:
27109: [0, 12, 22, 40, 40, 16, 12, 34, 12, 18, 18, 6, 6, 8, 36, 32, 20, 18, 0] 350
Вот несколько первых примеров:
27109: 350; 31729: 156; 31751: 134; 31799: 270; 5617: 650; 37897: 344; 38377: 336;
В диапазоне до миллиона такие кортежи встречаются часто, но потом всё реже и реже.
Вот данные экспериментов:
E12 5025; E15 463; E18 55; E21 9; E22 5; E23 1; E26 <1
Это уровень диапазона и приближённое усреднение количества кортежей нашего вида среди 10 млн случайных 19-ППС.
Впрочем, исследования были более широкими.
Вернёмся к метрике и найдём несколько кортежей с суммой отклонений меньшей шестидесяти:
12732311: 54
25419059: 54
1476685729: 56
2438367551: 58
3065293079: 56
3942856901: 58
5228474497: 58
5285058937: 54
5290754039: 58
Кучно пошли! Работа продолжается!
5883020681: 42 Рекорд!

[Yadryara]

Вроде понятно, что это за метрика.

gris в сообщении #1629378 писал(а):

5883020681: 42 Рекорд!

Ваш личный рекорд. Ведь Dmitriy40 ещё осенью нашёл цепочку с результатом 2:

Dmitriy40 в сообщении #1629122 писал(а):

548934853673670454695071: [0, 6, 12, 30, 42, 72, 92, 96, 120, 126, 132, 156, 162, 180, 210, 222, 240, 246, 252] : [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], valids=18, num17=129023

92 вместо 90. Я ещё тогда подумал, надо же как близко! Ближе не бывает!

[gris]

Dmitriy40, скачал файл и уже применяю. Понадобилось найти 17-ку с вектором совпадений
[1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]
и вот она:
1562909463377: [0,6,12,20,42,72,80,86,120,126,132,162,170,176,192,210,216,246,252]
Осторожно предположу, что паттерн можно и не хранить. Кортеж же из ППС и восстанавливается по первому элементу однозначно

Yadryara, будет и ближе
Вот до Е10 дошёл
8 171 185 877: 52
8 885 961 907: 56
9 843 801 041: 54
До Е40 всего 30 шагов Жаль, что каждый шаг в 9 раз больше всей предыдущей дороги

[Dmitriy40]

Хранить найденный паттерн удобно по многим причинам.
Вечером досчитается до 1e14 (сейчас 8.5e13), уже почти по 5ч на 1e13.
В принципе да, для задачи поиска приближений именно в указанном смысле, хранить одним числом удобно. Жаль числа выходят очень нерегулярные (8192 столь же далеко от решения как и 64).
Ну и надеяться на заполнение таблицы выше 99% ... я бы не стал, немало паттернов весьма далеко, выше 1e17 и вероятно даже 1e20.
До 1e40 идти не нужно, до 1e25 должно быть несколько решений.