Основания классического математического анализа.

[dgwuqtj]

talash в сообщении #1625681 писал(а):

Я хочу большей чёткости понятий

Может, стоит разделять математические объекты (те же числа) и их запись в виде формул? Потому что $0{,}(3)$, $\frac 1 3$ и $\int_0^1 t^2\, dt$ являются разными формулами, а математический объект один и тот же.

[talash]

epros в сообщении #1625686 писал(а):

talash в сообщении #1625681 писал(а):

Я хочу большей чёткости понятий

А получается пока как-то менее чётко.

1) Почему $2+3$ не число - не объяснили.
2) Что интуитивно непонятного в обыкновенных (рациональных) дробях - не объяснили.
3) Чем хорошо представление десятичной дробью сравнительно с представлением обыкновенной рациональной дробью - не объяснили. Это с учётом того, что конечная десятичная дробь - и есть та же самая обыкновенная дробь, а бесконечная десятичная дробь - это последовательность конечных десятичных дробей, т.е. та же самая последовательность обыкновенных дробей. Так что Ваше определение действительного числа - частный случай стандартного.

Интуитивные основания, не противоречат другим основаниям. Я же не пытаюсь поменять математику, а хочу написать так, чтобы она была более интуитивно понятной. Я ниже подытожил часть про числа, кажется там есть ответы на Ваши вопросы:

Итак, мы(надеюсь ещё кто-то тоже хочет ) хотим создать интуитивно понятные основания традиционной арифметики, алгебры и матанализа. А понимание базируется на точности понятий. Начали с уточнения понятия числа.

Обычно числа представляют как в чём-то разные сущности, например: целые, рациональные, иррациональные. Рациональные числа являются или определяются(не поймёшь) парой целых чисел. Иррациональные числа можно представить приближённо рациональными числами, при этом при последовательных уточнениях каждый раз получаются рациональные числа с разным числителем и знаменателем.

У нас в интуитивных основаниях число(целое, рациональное, иррациональное) это единая конструкция в позиционной системе счисления. Рациональное число это конечная или бесконечная периодическая дробь, вместо которой можно написать выражение - обыкновенную дробь, определяющее это число. Значение выражения есть число. Допускается называть обыкновенную дробь и другие простые выражения числами, но это математический сленг и имеется ввиду, что число это значение выражения. Таким образом, изучающие математику по нашим основаниям легко будут понимать и другие тексты, где числами называют выражения. Но у них будет чёткое понимание, что есть число, а это облегчает изучение.

Более того, последовательные приближения иррациональных чисел в позиционной системе счисления в сторону уточнения, обычно оставляют старшие разряды неизменными, а меняют(или добавляют новые) только младшие разряды. Это даёт наглядное представление, что такое иррациональное число. В иррациональном числе бесконечное количество цифр в дробной части, но в отличие от бесконечных периодических дробей, нет постоянно повторяющегося периода.

Здесь и далее в примерах мы используем десятичную систему счисления.

Пример выражения, значение которого есть иррациональное число.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^{\frac{n(n+1)}{2}}} \approx 0.101001000100001000001$$

Мне всё нравится в вышеизложенной части, теперь будем уточнять понятие бесконечности, тут пока ещё у меня полной интуитивной ясности нет, хотя темой уже не один месяц занимаюсь. Бесконечность недостижима и мы не можем проводить бесконечные операции. То есть, мы не можем вычислить эту сумму напрямую и получить точное значение выражения. Однако мы можем найти частичную сумму для любого натурального $k$:

$$\sum_{n=1}^{k} \frac{1}{10^{\frac{n(n+1)}{2}}}$$

И вот это "для любого натурального $k$" вызывает диссонанс, в этом выражении как будто тоже содержится бесконечность. Нужно его прояснить, почему бесконечное количество слагаемых сложить не можем, а для любого натурального $k$ частичную сумму получить можем. В чём разница?

-- 15.01.2024, 11:18 --

dgwuqtj в сообщении #1625695 писал(а):

talash в сообщении #1625681 писал(а):

Я хочу большей чёткости понятий

Может, стоит разделять математические объекты (те же числа) и их запись в виде формул? Потому что $0{,}(3)$, $\frac 1 3$ и $\int_0^1 t^2\, dt$ являются разными формулами, а математический объект один и тот же.

Я разделил числа и выражения. Число это конструкция в позиционной системе счисления и оно может быть получено, как значение числового выражения.
Про выражения можно почитать здесь
для $0{,}(3)$ если это математическое выражение, то нужно его определение.
$\frac 1 3$ - это арифметическое числовое выражение.
$\int_0^1 t^2\, dt$ - это аналитическое числовое выражение.

[epros]

talash в сообщении #1625925 писал(а):

Итак, мы(надеюсь ещё кто-то тоже хочет ) хотим создать интуитивно понятные основания традиционной арифметики, алгебры и матанализа. А понимание базируется на точности понятий. Начали с уточнения понятия числа.

Если Вам нужно что-то "интуитивно понятное", то вспомните школу. Чем Вам не нравится то, что там говорили о числах?

talash в сообщении #1625925 писал(а):

Рациональное число это конечная или бесконечная периодическая дробь, вместо которой можно написать выражение - обыкновенную дробь, определяющее это число. Значение выражения есть число.

Какое значение у $\frac{1}{3}$? По-моему, это какая-то фигня, ибо
$\frac{1}{3}$ - и есть значение. Ничего более осмысленного Вы не напишете.

talash в сообщении #1625925 писал(а):

Нужно его прояснить, почему бесконечное количество слагаемых сложить не можем, а для любого натурального $k$ частичную сумму получить можем. В чём разница?

Вы видели кого-то, кто реально сложил бесконечное количество слагаемых, определяющих иррациональное число? К чему тогда эти дурацкие вопросы? Не можем потому что не получается закончить.

[talash]

epros, мне не нравится терминологическая сумятица и мне непонятно зачем в основаниях классического матанализа нужна теория множеств. Пока работал над продолжением, далее попробую развёрнуто обосновать преимущества такого подхода.

Ниже продолжение этого поста:

talash в сообщении #1625925 писал(а):

Здесь и далее в примерах мы используем десятичную систему счисления.

Пример выражения, значение которого есть иррациональное число.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^{\frac{n(n+1)}{2}}} \approx 0.101001000100001000001$$

Знак бесконечности означает, что операция суммирования производится бесконечно, а это значит, что точная сумма не может быть подсчитана. Однако, для практических задач всегда достаточно приближённого значения. Для его вычисления используем выражение:

$$\sum_{n=1}^{k} \frac{1}{10^{\frac{n(n+1)}{2}}}$$

Здесь $k$ это константа, натуральное число, которое мы подбираем в зависимости от желаемой точности приближения иррационального числа. Поскольку здесь используется алгебраический приём обобщения, число заменено буквой $k$, то принято указывать при каких значениях $k$ определено значение выражения. Называется это "область определения выражения". В данном случае выражение определено для любого натурального $k$. Область определения может указываться так: $k = [1,\infty)$, где квадратная скобка слева означает "включая" 1, а круглая скобка справа означает "не включая" бесконечность. Это значит, что $k$ не ограничен сверху, но $k$ это всегда натуральное число и значит здесь не может быть бесконечного суммирования. Также можно записать область определения так: $k\geq1$. Бесконечность это не число, а специальный символ, который в разных ситуациях может означать разное, что мы увидели на примерах.

Число на практике это количественная характеристика чего-либо. Если мы имеем числовое выражение из которого можем получить число с бесконечной дробной частью с любой точностью, то мы можем его сравнивать и можем однозначно определить больше оно или меньше любого другого числа. Это необходимое свойство числа и если оно выполнено, то мы считаем, что значение числового выражения определено.

Подытожим. Число это конструкция в позиционной системе счисления. Числа с бесконечной дробной частью не могут быть записаны в точном виде. Значение числового выражения считается определённым, если это точное число или это число с бесконечной дробной частью, которая может быть вычислена с любой желаемой конечной точностью.

[Лукомор]

talash в сообщении #1627515 писал(а):

Число это конструкция в позиционной системе счисления.

То есть "XVIII", с сегодняшнего дня объявляем не числом, на основании того факта, что римская система счисления - не позиционная?

[warlock66613]

talash в сообщении #1627515 писал(а):

Числа с бесконечной дробной частью

Вы не определили что это такое. Я могу худо-бедно понять что такое число с конечной дробной частью. Я понимаю что такое число с бесконечной дробной частью, когда число определено через последовательности или сечения. Но что это за такая "конструкция с бесконечной дробной частью" мне не понятно. Как её "конструировать", как её определить, если её невозможно записать?

-- 30.01.2024, 14:05 --

И вот если например взять $\omega^2$ цифр после запятой (скажем $3{,}1234567891011\ldots 234567891011\ldots 34567891011\ldots \ldots$) — это ведь тоже бесконечное число цифр. Но это вроде как не вещественное число. Или число?

[epros]

talash в сообщении #1627515 писал(а):

и мне непонятно зачем в основаниях классического матанализа нужна теория множеств.

Традиция.

talash в сообщении #1627515 писал(а):

Знак бесконечности означает, что операция суммирования производится бесконечно, а это значит, что точная сумма не может быть подсчитана.

Нет. Никому не придёт в голову производить операцию бесконечно. Знак бесконечности над суммой - всего лишь сокращённая запись для предела.

talash в сообщении #1627515 писал(а):

Если мы имеем числовое выражение из которого можем получить число с бесконечной дробной частью с любой точностью, то мы можем его сравнивать и можем однозначно определить больше оно или меньше любого другого числа.

Хотелось бы, но, увы, это не так. Я ранее приводил пример числа, для которого невозможно определить больше ли оно или равно нулю.

talash в сообщении #1627515 писал(а):

Подытожим. Число это конструкция в позиционной системе счисления. Числа с бесконечной дробной частью не могут быть записаны в точном виде.

Из всего вышесказанного никак не следует, что должна быть "конструкция в позиционной системе счисления". И я ранее приводил пример числа, которое такой конструкцией не записывается.

talash в сообщении #1627515 писал(а):

Значение числового выражения считается определённым, если это точное число или это число с бесконечной дробной частью, которая может быть вычислена с любой желаемой конечной точностью.

Чем не нравится: "Может быть вычислено с любой точностью в виде обыкновенной дроби"?

[tolstopuz]

talash в сообщении #1627515 писал(а):

Знак бесконечности означает, что операция суммирования производится бесконечно, а это значит, что точная сумма не может быть подсчитана.

А точная сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии в вашем математическом анализе может быть посчитана? Например, $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n}$?

[talash]

Лукомор в сообщении #1627516 писал(а):

То есть "XVIII", с сегодняшнего дня объявляем не числом, на основании того факта, что римская система счисления - не позиционная?

А вот такая комбинация палочек это число?: ||||||||||||||||||
А 0,(3) это число? Также числом называют разные математические выражения. И это уже получается какое-то расплывчатое понятие. Самое первое и ключевое понятие математики, вроде как строгой науки, и сразу расплывчатое.

Далее, непонятно зачем вводить иррациональные числа отдельной аксиоматикой, когда они интуитивно не сложнее рациональных чисел.

Поэтому, внутри "интуитивных оснований" понятие "число" определено чётко, чтобы оно не было таким расплывчатым, как снаружи:

talash в сообщении #1625925 писал(а):

У нас в интуитивных основаниях число(целое, рациональное, иррациональное) это единая конструкция в позиционной системе счисления. Рациональное число это конечная или бесконечная периодическая дробь, вместо которой можно написать выражение - обыкновенную дробь, определяющее это число. Значение выражения есть число. Допускается называть обыкновенную дробь и другие простые выражения числами, но это математический сленг и имеется ввиду, что число это значение выражения. Таким образом, изучающие математику по нашим основаниям легко будут понимать и другие тексты, где числами называют выражения. Но у них будет чёткое понимание, что есть число, а это облегчает изучение.

-- 30.01.2024, 15:54 --

warlock66613 в сообщении #1627517 писал(а):

talash в сообщении #1627515 писал(а):

Числа с бесконечной дробной частью

Вы не определили что это такое. Я могу худо-бедно понять что такое число с конечной дробной частью. Я понимаю что такое число с бесконечной дробной частью, когда число определено через последовательности или сечения. Но что это за такая "конструкция с бесконечной дробной частью" мне не понятно. Как её "конструировать", как её определить, если её невозможно записать?

Так всё правильно. Раз дробная часть бесконечна, а бесконечные операции не могут быть выполнены, следовательно, иррациональное число нельзя записать. Однако, оно считается определённым, если задано математическое выражение, с помощью которого можно получить приближение этого числа с любой точностью.

warlock66613 в сообщении #1627517 писал(а):

И вот если например взять $\omega^2$ цифр после запятой (скажем $3{,}1234567891011\ldots 234567891011\ldots 34567891011\ldots \ldots$) — это ведь тоже бесконечное число цифр. Но это вроде как не вещественное число. Или число?

Не понял алгоритм построения числа. Его можно написать в виде математического выражения?

-- 30.01.2024, 15:56 --

tolstopuz в сообщении #1627531 писал(а):

talash в сообщении #1627515 писал(а):

Знак бесконечности означает, что операция суммирования производится бесконечно, а это значит, что точная сумма не может быть подсчитана.

А точная сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии в вашем математическом анализе может быть посчитана? Например, $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n}$?

Я про это планирую в следующей части написать.

[warlock66613]

talash в сообщении #1627546 писал(а):

Раз дробная часть бесконечна, а бесконечные операции не могут быть выполнены, следовательно, иррациональное число нельзя записать.

Да, но что тогда такое иррациональное число? Это не выражение — вы отвергаете это, не запись с бесконечным числом цифр — поскольку таких записей не бывает, не фундаментальная последовательность — вам не нравится такое. Так что это?

-- 30.01.2024, 18:02 --

talash в сообщении #1627546 писал(а):

Не понял алгоритм построения числа. Его можно написать в виде математического выражения?

Нельзя, ведь это на самом деле не число. Это дважды бесконечный ряд цифр после запятой.

[talash]

epros в сообщении #1627526 писал(а):

talash в сообщении #1627515 писал(а):

Знак бесконечности означает, что операция суммирования производится бесконечно, а это значит, что точная сумма не может быть подсчитана.

Нет. Никому не придёт в голову производить операцию бесконечно. Знак бесконечности над суммой - всего лишь сокращённая запись для предела.

А как можно осуществить предельный переход, если значение выражения есть иррациональное число? Это сделать точно также невозможно, как и посчитать бесконечную сумму.

Пример выражения, значение которого есть иррациональное число.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^{\frac{n(n+1)}{2}}} \approx 0.101001000100001000001$$

Как нам здесь предел поможет избавиться от бесконечной операции?

epros в сообщении #1627526 писал(а):

talash в сообщении #1627515 писал(а):

Если мы имеем числовое выражение из которого можем получить число с бесконечной дробной частью с любой точностью, то мы можем его сравнивать и можем однозначно определить больше оно или меньше любого другого числа.

Хотелось бы, но, увы, это не так. Я ранее приводил пример числа, для которого невозможно определить больше ли оно или равно нулю.

Ваш пример не подходит под определение. Число у нас это конструкция в позиционной системе счисления, которая может определяться математическим выражением, но не словесным описанием.

epros в сообщении #1627526 писал(а):

talash в сообщении #1627515 писал(а):

Значение числового выражения считается определённым, если это точное число или это число с бесконечной дробной частью, которая может быть вычислена с любой желаемой конечной точностью.

Чем не нравится: "Может быть вычислено с любой точностью в виде обыкновенной дроби"?

При таких приближениях обыкновенные дроби получаются с разными числителями и знаменателями. В отличие от:

talash в сообщении #1625925 писал(а):

последовательные приближения иррациональных чисел в позиционной системе счисления в сторону уточнения, обычно оставляют старшие разряды неизменными, а меняют(или добавляют новые) только младшие разряды. Это даёт наглядное представление, что такое иррациональное число. В иррациональном числе бесконечное количество цифр в дробной части, но в отличие от бесконечных периодических дробей, нет постоянно повторяющегося периода.

[мат-ламер]

talash в сообщении #1627567 писал(а):

Число у нас это конструкция в позиционной системе счисления, которая может определяться математическим выражением, но не словесным описанием.

Лучше всё же отличать понятия "число" и "обозначение числа". Число есть элемент множества чисел (например, действительных). Обозначение числа есть набор некоторых символов, с которым мы можем ассоциировать число.

[talash]

warlock66613 в сообщении #1627549 писал(а):

talash в сообщении #1627546 писал(а):

Раз дробная часть бесконечна, а бесконечные операции не могут быть выполнены, следовательно, иррациональное число нельзя записать.

Да, но что тогда такое иррациональное число? Это не выражение — вы отвергаете это, не запись с бесконечным числом цифр — поскольку таких записей не бывает, не фундаментальная последовательность — вам не нравится такое. Так что это?

Иррациональное число это значение выражения, если у него бесконечная непериодическая дробная часть. Иррациональное число может быть записано в приближённом виде с любой желаемой точностью.

[warlock66613]

talash в сообщении #1627572 писал(а):

Иррациональное число это значение выражения

Тогда вам надо для начала определить что такое выражение и что такое значение выражения, причём как-то иначе чем "значение выражения — это число, которое…"

[epros]

talash в сообщении #1627567 писал(а):

Как нам здесь предел поможет избавиться от бесконечной операции?

Не от чего избавляться, потому что никакой бесконечный операции не было. Всё, что нам нужно, это доказать существование предела и наслаждаться возможностью посчитать приближение с любой точностью.

talash в сообщении #1627567 писал(а):

Ваш пример не подходит под определение. Число у нас это конструкция в позиционной системе счисления, которая может определяться математическим выражением, но не словесным описанием.

Вы невнимательны, такое чувство, что не хотите слушать. У меня там и была бесконечная двоичная дробь. Если хотите, всё то же самое можно записать и для десятичной. И что такое совершенное число можно прочитать в википедии, а потом записать формулу, определяющую, является ли число совершенным. Так что нет, не "словесное описание".

talash в сообщении #1627567 писал(а):

При таких приближениях обыкновенные дроби получаются с разными числителями и знаменателями. В отличие от:

Вы думаете у десятичной дроби одинаковые числители и знаменатели? Отнюдь. Там в знаменателе разные степени десятки, а в числителе вообще что угодно. Я же писал ранее, что конечная десятичная дробь тоже является обыкновенной дробью, а бесконечная десятичная дробь - последовательностью обыкновенных дробей.