Основания классического математического анализа.

[iifat]

dmd в сообщении #1624870 писал(а):

Хотел сказать, что определение предела работает лишь при некоторых офизичивающих ограничениях, не обозначенных в самом определении

Ну вот, сказали? Полегчало?

Dedekind в сообщении #1624859 писал(а):

Вот есть предел: $\lim_{x\to1}(2x+1)=3$

dmd в сообщении #1624862 писал(а):

Так это уже закрытый оператор исключительно над $x$, так не получится

Это, простите, не некий неведомый «закрытый оператор». Это предел. Самый обычный предел. Они все такие.

[talash]

iifat в сообщении #1624838 писал(а):

talash в сообщении #1624458 писал(а):

тот, кто эти аксиомы создал, он с них начинал?

Скорее всего, нет. Он с чего-то начинал, потом решил выбрать аксиоматический подход. «Электрон так же неисчерпаем, как атом», как известно, поэтому описывать атом как нечто, содержащее электрон, бессмысленно. К счастью, описать гипотетический атом как нечто неописуемое, однако подчиняющееся некоторой системе аксиом, можно, и это здорово!

А вот ещё мнение великого(по открытиям) учёного, с конкретной претензией к аксиоматическому подходу.
"Самое худшее - это евклидова геометрия, - писал Хэвисайд впоследствии. - Поразительно, что молодые люди должны забивать себе голову всякими логическими вывертами и пытаться понять доказательство одного очевидного факта посредством другого, в равной степени... очевидного, ощущая в себе зарождающуюся неприязнь к математике, вместо того, чтобы изучать геометрию, один из наиболее важных и фундаментальных предметов".
Интересно, а какой подход к изучению геометрии предлагал Хевисайд?

[Утундрий]

talash в сообщении #1624929 писал(а):

Интересно, а какой подход к изучению геометрии предлагал Хевисайд?

Предположу, что операционный. Что-то в духе древних египтян.

[EminentVictorians]

talash
Мне тоже аксиоматические определения не очень нравятся. Ну, справляюсь как могу - пытаюсь как можно чаще находить инвариантные определения. Для всех основных объектов вроде бы получается. Можете так же делать.

Кстати, уж в матанализе аксиоматические определения встречаются крайне редко. Я даже не могу так навскидку вспомнить ни одного примера. Вещественные числа? Так они характеризуются как максимальное архимедово упорядоченное поле. А что там еще есть такого, что задается непременно списком аксиом?...

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1624944 писал(а):

Кстати, уж в матанализе аксиоматические определения встречаются крайне редко. Я даже не могу так навскидку вспомнить ни одного примера.

Ну, например, дифференциальные формы часто определяются аксиоматически. Если что-то вводится аксиоматически, то хорошо бы, чтобы было пару слов сказано насчёт того, что за этими аксиомами стоит.

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1624947 писал(а):

Ну, например, дифференциальные формы часто определяются аксиоматически.

А как? Я по Зоричу с ними знакомился:

Зорич, том 2, стр 236 писал(а):

Определение 1.
Будем говорить, что в области $D \subset \mathbb R^n$ задана вещественнозначная дифференциальная $p$-форма $w$, если в каждой точке $x \in D$ определена кососимметрическая форма $w(x): (TD_x)^p \to \mathbb R$

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1624947 писал(а):

Ну, например, дифференциальные формы часто определяются аксиоматически.

EminentVictorians в сообщении #1624948 писал(а):

А как?

Извините, вопрос не понял.

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1624950 писал(а):

Извините, вопрос не понял.

Ну, как именно? Я вот привел выше определение, которое я знаю. Но оно самое обычное, не аксиоматическое. А аксиоматически как?

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1624954 писал(а):

Но оно самое обычное, не аксиоматическое.

Но в этом "обычном" определении много чего аксиоматического. Например, полилинейная антисимметричная форма уже определяется какими-то аксиомами. И эта форма есть форма относительно некоторых символов - $dx_1,...,dx_n$ , которые не определяются содержательно. Это просто формальные символы. Дальше чисто формально определяется, что есть дифференцирование и интегрирование такой формы.

И тут как-то несколько лет назад на форум заходила девушка. Им в ВУЗе многомерный анализ именно так объясняли. Есть какие-то наборы символов. Над этими наборами формально вводятся аксиоматически какие-то операции. Дальше исходя из свойств этих операций доказываются какие-то теоремы. Типа абстрактной теоремы Стокса. Но что за всем этим стоит, у них в группе (где эта девушка училась) никто не понимал.

[talash]

dmd в сообщении #1624832 писал(а):

Еще интересно, как народ отвечает себе на вопрос: что первично - матанализ или тэйлорово разложение? Человечество создало матанализ, и поэтому мы имеем разложение Тэйлора, или Природа создала тэйлорово разложение и поэтому собственно мы имеем матанализ?

Ряд Тейлора получается через производную. Формулы производных получаются через пределы. Раскройте мысль, где тут циклическая зависимость?

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1624959 писал(а):

Но в этом "обычном" определении много чего аксиоматического.

Да, но на мой взгляд это уже проблема этих самых "составных кирпичиков". Тут работает такой принцип: если я формулирую определение дифференциальной формы, значит я уже как-то смирился с теми определениями, которые входят в состав её определения.

Конечно, можно раскручивать эту цепочку все к более и более базовым понятиям. Зачем нам вообще кососимметричность, почему мы вообще интересуемся линейными формами, зачем сформулировали определение векторного пространства и т.п. Ну, тут уже каждый сам решает, как ко всему этому относиться. Для меня линейность важна, потому что она - гомоморфизм. Векторные пространства нужны потому что они очень хорошо (свободно, транзитивно и согласованно с умножением) действуют на своих аффинных. Что там еще есть в линейной алгебре? Тензорное произведение / прямая сумма - потому что это категорное произведение / копроизведение. Двойственное пространство - потому что контравариантный функтор. Матрицы - потому что они существуют в любой категории с конечными произведениями и копроизведениями. И так далее.

В общем, я говорил больше об определениях, представляющих собой длинный список аксиом. Я очень хорошо понимаю людей, которым такие определения кажутся неестественными. В этом был мой основной тэйк.

мат-ламер в сообщении #1624959 писал(а):

И тут как-то несколько лет назад на форум заходила девушка. Им в ВУЗе многомерный анализ именно так объясняли. Есть какие-то наборы символов. Над этими наборами формально вводятся аксиоматически какие-то операции. Дальше исходя из свойств этих операций доказываются какие-то теоремы. Типа абстрактной теоремы Стокса. Но что за всем этим стоит, у них в группе (где эта девушка училась) никто не понимал.

Кошмар. Я бы повесился от такого.

-- 05.01.2024, 19:09 --

talash в сообщении #1624960 писал(а):

Ряд Тейлора получается через производную. Формулы производных получаются через пределы. Раскройте мысль, где тут циклическая зависимость?

Да все там хорошо, никакой циклической зависимости нету. Не переживайте по этому поводу.

[talash]

iifat в сообщении #1624838 писал(а):

А когда сравните, объясните, умоляю, почему числа десятичные? Ведь в троичной системе мы легко разделим единицу натрое, в отличие от $\frac1{10}$.

Я на этот счёт писал выше:

talash в сообщении #1624826 писал(а):

В троичной, шестеричной, девятичной и т.д. системах результат деления единицы на тройку получить можно, но там будут другие невыполнимые операции.

iifat в сообщении #1624838 писал(а):

И все эти непонятные, а главное, не определённые автором невыполненные деления — вместо простого и изящного рационального числа, которое есть пара целых чисел (второе — ненулевое), точнее говоря, конечно, класс эквивалентных пар.

Мне не нравятся такие основания, потому что непонятно что такое число.

Я вижу такой план развития понятных оснований.
Число изначально это конструкция, описанная здесь "Позиционная система счисления". Мы в наших основаниях используем десятичную систему счисления. Определив математическую операцию деления целых чисел, обратную умножению, мы получаем проблему бесконечных дробей. Здесь мы вводим общее правило, что в наших основаниях нельзя выполнить бесконечное действие. Из него следует, что результат деления $\frac{1}{3}$ неопределён. Далее мы уславливаемся называть числами также выражения типа $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ целые числа. Обосновываем мы это тем, что эти выражения обладают необходимыми свойствами чисел, а именно, их можно сравнивать с другими числами. Также, хотя мы и не всегда можем получить точный результат деления, но мы можем получить округлённый результат с любой необходимой точностью.

У нас определено что такое число изначально. Нам понятно почему мы также называем числами обыкновенные дроби. Ну и далее будем развивать основания в таком же духе без неоднозначностей и недосказанностей.

-- 05.01.2024, 22:19 --

EminentVictorians в сообщении #1624944 писал(а):

talash
Мне тоже аксиоматические определения не очень нравятся. Ну, справляюсь как могу

А что мешает сделать разные основания, в дополнение к скупым аксиоматическим, подробные интуитивно понятные? Они же не противоречат друг другу.

[Geen]

talash в сообщении #1624973 писал(а):

подробные интуитивно понятные? Они же не противоречат друг другу.

Видети ли, если бы "интуитивно понятные" были бы внутренне не противоречивы и достаточны для доказательств, то вся математика только ими бы и пользовалась.
Мазохистов среди математиков нет. Предлагаю Вам исходить именно из этого.

[EminentVictorians]

talash в сообщении #1624973 писал(а):

А что мешает сделать разные основания, в дополнение к скупым аксиоматическим, подробные интуитивно понятные?

Можете сделать. Но будьте готовы к тому, что окружающие Вас не смогут понять. При всем моем очень доброжелательном отношении к разным экспериментам, лично я вообще ничего не понял относительно Ваших "интуитивных оснований", хоть и попытался. Пойму, если распишете все на принятом в математике уровне строгости. С нормальными определениями, на теоретико-множественном языке.

Вот я бы лично может быть и хотел бы понять dmd с его "любая функция - полином", "состояние - снимок переменной" и т.д., но это все настолько невнятно, что невозможно во что-либо вникнуть. Кстати говоря, алгебраические версии анализа (то, что хочет, в частности, dmd, да и мне тоже такие сюжеты нравятся) существуют! Есть довольно приятный (хоть и на первый взгляд необычный) анализ над полем Леви-Чивита - чисто алгебраическая вещь, очень классный. Там есть небольшие странности (по-моему, даже дифференцируемые функции не обязаны удовлетворять теореме о промежуточном значении, а вот дважды дифференцируемые - обязаны - но такие артефакты вполне типичны для неархимедовых расширений), но сама теория очень мощная. Применяется в системах компьютерной алгебры для символьного дифференцирования. Но там все четко и строго - а не вот эта вся ерунда про мгновенные снимки.
dmd, если Вам приходят уведомления - обратите внимание на эту версию анализа. Скорее всего она Вам понравится. Кроме чистой алгебраичности, в поле Леви-Чивита есть бесконечно малые, а это Вы тоже вроде хотели (судя по тому, что Вам не нравятся пределы).

И что самое забавное, действительно есть версии анализа, где любая гладкая функция эквивалентна полиному, так что зря все на dmd накидывались все эти годы. Если в качестве базового кольца взять Fermat real numbers (очень классное неархимедово расширение $\mathbb R$ с бесконечно малыми разных порядков, причем среди них есть нильпотенты, из-за чего эти числа не собираются в поле, а только в кольцо), то там действительно любая гладкая функция - локально - в точности полином (т.к. благодаря бесконечно малым тейлоровский остаток становится в точности нулевым).

Поэтому не надо думать, что анализ над $\mathbb R$ - единственно возможный. Альтернативы есть (причем, очень вероятно, не менее, а скорее всего даже и более мощные, чем классический анализ над $\mathbb R$). Но уровень строгости соблюдать надо в любом случае.

(Оффтоп)

Не исключено, что лично я обменял бы все свои знания вещественного анализа на соразмерное знание анализа над Fermat real numbers - уж больно он классный. Жаль, нет такой возможности, поэтому придется мне похоже до конца жизни торчать в этом $\mathbb R$...

[iifat]

talash в сообщении #1624973 писал(а):

результат деления $\frac{1}{3}$ неопределён

Ну вот опять. Так определён ($0.1_3$) или неопределён всё же?