Основания классического математического анализа.

[warlock66613]

talash в сообщении #1625452 писал(а):

У меня тоже можно определить такое число по аналогии с промежуточным результатом, обозначаем это число буквой и сопровождаем описанием.

А почему нельзя обойтись только одним описанием без обозначения?

[epros]

talash, мне кажется, что Вы погрязли в играх с неопределёнными словами, сами себя запутав.

talash в сообщении #1625429 писал(а):

Я напомню проблему. Говорят "число $\frac{1}{3}$", говорят "число $\sqrt{2}$". А ряд это тоже число? Непонятно, где число, а где выражение.

Просто вернитесь к классическим определениям и скажите, что Вас в них не устраивает. Для начала, какое число: рациональное, действительное? Рациональное определяется как пара из целых числителя и знаменателя. Чем Вам не нравится $\frac{1}{3}$ как число? Действительное число определяется фундаментальной последовательностью рациональных чисел (если быть точным, то классом эквивалентности таковых). Это значит, что $\sqrt{2}$ определяется любой сходящейся к положительному числу последовательностью, последовательность квадратов для которой сходится к двойке. Что Вам не нравится в этом определении?

Может быть Вы считаете, что "число" обязательно должно записываться цифрами? Причём если цифры $1$ и $3$ разделены дробной чертой, то это уже не годится? А откуда Вы это взяли?

talash в сообщении #1625429 писал(а):

Я хочу в основаниях написать, что число это конструкция в позиционной системе счисления, а всё остальное это математические выражения.

Я в предыдущем сообщении приводил пример того, что некоторые действительные числа не представляются вычислимой двоичной или десятичной дробью. Так что "конструкции в позиционной системе счисления" - не самый удачный вариант.

talash в сообщении #1625429 писал(а):

Когда говорят "число $\frac{1}{3}$" подразумевается результат этого выражения.

Что это за "результат"? $\frac{1}{3}$ - это сам по себе результат представления числа рациональной дробью. Если Вас смущает, что это число не записывается конечной строкой в виде двоичной или десятичной дроби, так зато в виде троичной дроби записывается.

talash в сообщении #1625429 писал(а):

Далее появляется проблема с результатом у которого бесконечное количество цифр после запятой. Если мы не можем написать точно число, то получается мы не можем получить результат выражения и значит он неопределён или как? Решение предлагается такое. Результат может быть промежуточным и конечным. Промежуточный результат точный, если мы не можем записать точный конечный результат, а нам нужен результат выражения в точном виде, то пишем промежуточный результат, обозначая его буквой(константой), и даём описание, что это такое. Описание может быть как в виде исходного выражения, выражения равного исходному, алгоритма, и в любом другом виде, важно, что из него мы можем получить конечный результат с любой степенью точности. Конечный результат используется для практических целей и он может быть приблизительным.

Я ничего не понял. О чём и зачем все эти рассуждения? Какие "промежуточный" и "конечный" результаты? Конструктивное действительное число определяется кодом алгоритма, который рассчитывает его значение в виде рациональной дроби с любой точностью. Что в этом определении не устраивает?

talash в сообщении #1625452 писал(а):

Любое выражение без переменных это тоже число или всё-таки нет?

Не любое, только фундаментальная последовательность рациональных чисел. Фундаментальная - грубо говоря значит, что сходящаяся (см. определение хотя бы в википедии).

talash в сообщении #1625452 писал(а):

Число это конструкция в позиционной системе отсчёта, а не выражение.

А Ваша "конструкция" разве не выражение? Бесконечную двоичную или десятичную дробь Вы всё равно иначе никак не запишете.

talash в сообщении #1625452 писал(а):

У меня тоже можно определить такое число по аналогии с промежуточным результатом, обозначаем это число буквой и сопровождаем описанием.

Вы хотите сказать, что можете записать число $1-x$ двоичной или десятичной дробью? Было бы любопытно посмотреть.

[talash]

epros, я не запутался, это объективные трудности. Я пытаюсь исходить из того, что наиболее интуитивно понятная конструкция (число в позиционной системе счисления) является числом. В десятичной(например) дроби видны как рациональные числа, они конечные или периодические, так и иррациональные числа, они бесконечные, но не периодические. Это важно для интуитивной наглядности. Это не противоречит тому, что рациональное число определяется двумя натуральными числами. Потому что "определяется" и "является" это разные понятия.

Даже взять определение из википедии:
Рационáльное числó (от лат. ratio «отношение, деление, дробь») — число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби.

Число $0.2$ можно представить в виде обыкновенной дроби? Да, значит оно рациональное. А обыкновенная дробь это выражение.

Число $\pi$ можно представить в виде обыкновенной дроби? Нет, значит оно иррациональное.

Число $a$, где $a$ это 0.(3)(алгоритм получения любого желаемого количества цифр дроби) можно представить в виде обыкновенной дроби? Да, значит оно рациональное.

warlock66613 в сообщении #1625457 писал(а):

talash в сообщении #1625452 писал(а):

У меня тоже можно определить такое число по аналогии с промежуточным результатом, обозначаем это число буквой и сопровождаем описанием.

А почему нельзя обойтись только одним описанием без обозначения?

потому что, например, это не число, а ряд:

$$4 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$$

А число это $\pi$. Просуммировав ряд, мы получаем это иррациональное число в точном виде. Затем, когда нам нужен конечный результат для практики, мы можем воспользоваться другим рядом или таблицей и взять оттуда столько цифр числа $\pi$, сколько нам нужно. Если нам пока не нужен конечный результат, а мы далее проделываем математические преобразования, то используем это число в точном виде, то есть в виде обозначения $\pi$. Но это число(результат суммирования выражения) и оно уже не связано именно с тем выражением, из которого оно было получено.

Извините, что отвечаю не на все вопросы, сильно разрастается диалог. Я вижу трудности подхода, непонятно идёт ли движение к интуитивной понятности или появляющиеся сложности делают только хуже. Но может снизойдёт озарение и пойму, как всё красиво разрулить.

[epros]

talash в сообщении #1625530 писал(а):

Я пытаюсь исходить из того, что наиболее интуитивно понятная конструкция (число в позиционной системе счисления) является числом.

А стандартные определения чем не устраивают? Почему нужны какие-то "конструкции", о недостатках которых я уже писал?

talash в сообщении #1625530 писал(а):

Потому что "определяется" и "является" это разные понятия.

Для воображаемых объектов, к каковым относятся любые числа, это одно и то же. Как-то иначе "являться" могут только реальные объекты, которые можно непосредственно наблюдать. Да и то, тот факт, что нам "явился" именно этот объект, а не что-то другое, можно почерпнуть только из определения.

talash в сообщении #1625530 писал(а):

потому что, например, это не число, а ряд:

$$4 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$$

А число это $\pi$.

По-моему, это какая-то демагогия. Значение ряда - и есть число.

talash в сообщении #1625530 писал(а):

...используем это число в точном виде, то есть в виде обозначения $\pi$.

В виде обозначения его как раз использовать нельзя никак, кроме упоминания. Потому что значения числа из его обозначения Вы никак не извлечёте. А вот из формулы ряда - извлечёте.

[warlock66613]

talash в сообщении #1625530 писал(а):

отому что, например, это не число, а ряд:

$$4 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$$

А число это $\pi$

А почему бы не использовать ряд в качестве обозначения? В конце-концов это просто несколько чёрточек на бумаге, так же как и $\pi$ — это тоже пара линий.

[talash]

epros в сообщении #1625538 писал(а):

А стандартные определения чем не устраивают? Почему нужны какие-то "конструкции", о недостатках которых я уже писал?

Какие стандартные? Из теории множеств? Классический матанализ сформировался до теории множеств, я её вообще не собираюсь касаться. Выше я писал:

talash в сообщении #1624148 писал(а):

Также я убеждён и считаю очевидным, что математика, построенная на разных основаниях, должна чётко разделяться. Любая новая математика, построенная на новых основаниях, должна идти отдельным разделом, даже если она вроде бы включает в себя предыдущую математику. Потому что математика на старых основаниях более понятна и более надёжна, а значит должна быть, во-первых, сохранена, а, во-вторых, иметь перспективу дальнейшего развития.

epros в сообщении #1625478 писал(а):

Действительное число определяется фундаментальной последовательностью рациональных чисел

epros в сообщении #1625538 писал(а):

talash в сообщении #1625530 писал(а):

Потому что "определяется" и "является" это разные понятия.

Для воображаемых объектов, к каковым относятся любые числа, это одно и то же.

Действительное число определяется фундаментальной последовательностью. "Определяется" и "является" это одно и то же. Это Ваши фразы. Значит фундаментальная последовательность это число. И ряд, близкая сущность к последовательности, надо полагать, тоже является числом.

epros в сообщении #1625538 писал(а):

talash в сообщении #1625530 писал(а):

потому что, например, это не число, а ряд:

$$4 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$$

А число это $\pi$.

По-моему, это какая-то демагогия. Значение ряда - и есть число.

А тут уже значение ряда это число. По-моему, это Вы запутались.
Здесь правильно, значение ряда является числом. Из гугла:
Значение числового выражения - число, которое получается после выполнения всех действий в исходном числовом выражении. Значение выражения это всегда число.

epros в сообщении #1625538 писал(а):

В виде обозначения его как раз использовать нельзя никак, кроме упоминания. Потому что значения числа из его обозначения Вы никак не извлечёте. А вот из формулы ряда - извлечёте.

А из такого обозначения можете извлечь полное число?:

talash в сообщении #1625285 писал(а):

$$1,4142135623730950488…$$

Если нет, то хоть в чём-то мы сходимся.

-- 11.01.2024, 22:24 --

warlock66613 в сообщении #1625542 писал(а):

А почему бы не использовать ряд в качестве обозначения? В конце-концов это просто несколько чёрточек на бумаге, так же как и $\pi$ — это тоже пара линий.

Вопрос удобства.

[warlock66613]

talash в сообщении #1625574 писал(а):

Классический матанализ сформировался до теории множеств

Скорее они формировались параллельно. Кантор, конечно, совершил определённый прорыв, но всё равно развитие матанализа к этому вело. И совершенно неспроста сегодня учебники матанализа начинаются с изложения основ теории множеств.

talash в сообщении #1625574 писал(а):

Вопрос удобства.

Так ряд гораздо удобнее чем невнятное $\pi$. Так же и $\sqrt{2}$ очень удобное обозначение для числа, квадрат которого равен 2: в ваших терминах это сразу и обозначение, и описание.

talash в сообщении #1625574 писал(а):

Значит фундаментальная последовательность это число.

А почему вас это так удивляет? Только надо чуть-чуть подправить: не фундаментальная последовательность, а некоторый класс эквивалентности фундаментальных последовательностей.

[epros]

talash в сообщении #1625574 писал(а):

Какие стандартные? Из теории множеств? Классический матанализ сформировался до теории множеств, я её вообще не собираюсь касаться.

Причём тут теория множеств? Я же выше писал как стандартно определяются числа: отдельно про рациональное, отдельно про действительное. Чем это не устраивает?

talash в сообщении #1625574 писал(а):

Значит фундаментальная последовательность это число. И ряд, близкая сущность к последовательности, надо полагать, тоже является числом.
...
А тут уже значение ряда это число. По-моему, это Вы запутались.

Ну вот я же говорю, что Вы какой-то демагогией занимаетесь. Разумеется, значение ряда - число. А "сам" ряд нужно ещё посчитать, чтобы получилось то самое число.

talash в сообщении #1625574 писал(а):

А из такого обозначения можете извлечь полное число?:

talash в сообщении #1625285 писал(а):

$$1,4142135623730950488…$$

Если нет, то хоть в чём-то мы сходимся.

Конечно нельзя. Троеточие всего лишь указывает на то, что последовательность цифр можно продолжить. Как именно - не указано. Я вижу, Вы к этим троеточиям прикипели, уже полгода наверное их всё время поминаете. А никакой магии в этом обозначении нет.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1625591 писал(а):

Причём тут теория множеств? Я же выше писал как стандартно определяются числа: отдельно про рациональное, отдельно про действительное. Чем это не устраивает?

Т.е. Вы определяете действительное число как класс эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел, но при этом теории множеств нету? Что тогда такое хотя бы тот же класс эквивалентности?

[epros]

Отношение эквивалентности есть. Фиксируем един из его двух аргументов, получаем свойство "быть эквивалентным данному".

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1625637 писал(а):

Отношение эквивалентности есть. Фиксируем един из его двух аргументов, получаем свойство "быть эквивалентным данному".

Согласен, принимается. Вроде бы действительно так можно.

[talash]

warlock66613 в сообщении #1625575 писал(а):

talash в сообщении #1625574 писал(а):

Вопрос удобства.

Так ряд гораздо удобнее чем невнятное $\pi$. Так же и $\sqrt{2}$ очень удобное обозначение для числа, квадрат которого равен 2: в ваших терминах это сразу и обозначение, и описание.

talash в сообщении #1625574 писал(а):

Значит фундаментальная последовательность это число.

А почему вас это так удивляет? Только надо чуть-чуть подправить: не фундаментальная последовательность, а некоторый класс эквивалентности фундаментальных последовательностей.

Убедили на счёт обозначения буквами, оно не обязательно. Но всё же я хочу в своих основаниях подчеркнуть, что последовательность, ряд, обыкновенная дробь это не числа, а числовые выражения(если в них только числа без переменных). Причём это как мне кажется общепринятый подход. Только что такое число общепринятого определения нет, ну или я его не вижу. С натуральными числами всё хорошо, но с дробями - непонятно. А какая может быть интуитивно понятная математика, если в ключевых терминах неясности?

Значение числового выражения это число, которое получается после выполнения всех действий в исходном числовом выражении. Причём есть практическая разница, если объявить числом само выражение или его значение. Если число это значение выражения и допустим мы получили число $\pi$, то мы вправе приближённое значения брать из других мест, не именно из этого выражения, например, из таблицы. И они могут немного отличаться. Иначе, мы обязаны пользоваться только этим выражением для вычисления приближённого значения.

А само число это конструкция в позиционной системе счисления. Мы будем пользоваться десятичной системой счисления.

Это будет в моих интуитивно понятных основаниях, на общепринятость не претендую.

-- 12.01.2024, 15:22 --

epros в сообщении #1625591 писал(а):

Причём тут теория множеств? Я же выше писал как стандартно определяются числа: отдельно про рациональное, отдельно про действительное. Чем это не устраивает?

Дайте ссылку на стандарт. То что я вижу, например, в википедии. В статье "число" сразу начинается теория множеств, а у меня её не будет. а в статье "рациональные числа" в этой фразе:

Рационáльное числó (от лат. ratio «отношение, деление, дробь») — число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби.

Тут кажется есть противопоставление, что обыкновенная дробь это не число. Потому что "число, которое можно представить в виде числа", такая фраза вызывала бы диссонанс, а она не вызывает потому что обыкновенная дробь это выражение. И даже если Вы меня убедите, что общепринято обыкновенную дробь называть числом, то в моих основаниях этого всё равно не будет. Потому что тогда и другие простые выражения можно называть числами и наверное посложнее тоже захочется называть и где остановиться? А я хочу ясности с самого начала. Как сленг, под числом имея ввиду значение выражения, пожалуйста, можно называть.

Цитата из другого треда

epros в сообщении #1625641 писал(а):

Есть энтузиасты, которые занимаются тем, что строят конструктивные аксиоматики теории множеств. Правда лично я не понимаю зачем это нужно. В слове "множество" самом по себе нет ничего особо ценного или содержательного, все интересные выводы появляются как раз при наличии достаточно сильной аксиоматики. Исторически наиболее сильные аксиоматики оказались привязаны именно к слову "множество", но никакого закона природы в этом нет: Можно привязать сильную аксиоматику к чему угодно другому.

Вот у меня вещественные числа сразу получаются из интуитивной конструкции числа, без всяких множеств. Вам по идее должен быть близок такой подход.

[epros]

talash в сообщении #1625646 писал(а):

Но всё же я хочу в своих основаниях подчеркнуть, что последовательность, ряд, обыкновенная дробь это не числа, а числовые выражения(если в них только числа без переменных).
...
Значение числового выражения это число, которое получается после выполнения всех действий в исходном числовом выражении.

Вы слишком заморачиваетесь. По-Вашему получается, что $2+3$ - не число, а $5$ - число. А почему? Один символ Вам нравится больше трёх? Не заморачивайтесь, $2+3$ - это тоже число. Хотя в другом смысле это и выражение.

talash в сообщении #1625646 писал(а):

С натуральными числами всё хорошо, но с дробями - непонятно. А какая может быть интуитивно понятная математика, если в ключевых терминах неясности?

Что интуитивно непонятного в дробях? По правилам арифметики $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$. Здесь ничего не нужно преобразовывать к другому виду, чтобы понять, что при сложении двух чисел получили третье.

talash в сообщении #1625646 писал(а):

Если число это значение выражения и допустим мы получили число $\pi$, то мы вправе приближённое значения брать из других мест, не именно из этого выражения, например, из таблицы. И они могут немного отличаться. Иначе, мы обязаны пользоваться только этим выражением для вычисления приближённого значения.

А что Вам мешает для расчёта числа $\pi$ использовать формулу другой последовательности? Доказываете их эквивалентность (в смысле стремления к нулю разности) и пожалуйста.

talash в сообщении #1625646 писал(а):

А само число это конструкция в позиционной системе счисления. Мы будем пользоваться десятичной системой счисления.

Дались Вам эти позиционные системы! Вы в курсе, что конечная десятичная дробь одновременно с этим является и рациональной?

[talash]

epros в сообщении #1625648 писал(а):

Вы слишком заморачиваетесь.

Я хочу большей чёткости понятий, причём, только для своих оснований, я не предлагаю всем это принять. Так что Вы тоже не заморачивайтесь. Попробую дальше идти.

Ещё в качестве небольшой ремарки, BingAI не стал мне в качестве иррационального числа предлагать числовое выражение, хотя можно было ожидать этого:

(BingAI про иррациональные числа в начальной алгебре)

есть ли в начальной алгебре понятие иррационального числа?

Да, в начальной алгебре существует понятие иррационального числа. Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде обыкновенной дроби, где числитель и знаменатель — целые числа. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Примеры иррациональных чисел включают число $\pi$ (отношение длины окружности к диаметру круга), число $e$ (основание натурального логарифма), золотое сечение $\varphi$, квадратный корень из двух, и другие. Все квадратные корни натуральных чисел, кроме полных квадратов, являются иррациональными.

Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число. Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.

Ты сначала написал, что иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби, а потом представил приближение иррационального числа в виде конечной десятичной дроби. Можешь всё-таки представить какое-нибудь иррациональное число в виде бесконечной десятичной дроби, как обещал?

Извините за путаницу. В действительности, иррациональные числа не могут быть точно представлены в виде десятичной дроби, ни конечной, ни бесконечной. Они могут быть только приближенно представлены в виде десятичной дроби.

Например, число $\pi$, которое является иррациональным, обычно приближенно записывается как 3.14159, но его точное значение является бесконечной, непериодической десятичной дробью, которая начинается как 3.14159265358979323846... и так далее до бесконечности без повторяющегося шаблона.

Так что когда мы говорим, что иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби, мы имеем в виду, что его десятичное представление продолжается до бесконечности без повторяющегося шаблона. Но на практике мы обычно используем только приближенное значение иррационального числа.

[epros]

talash в сообщении #1625681 писал(а):

Я хочу большей чёткости понятий

А получается пока как-то менее чётко.

1) Почему $2+3$ не число - не объяснили.
2) Что интуитивно непонятного в обыкновенных (рациональных) дробях - не объяснили.
3) Чем хорошо представление десятичной дробью сравнительно с представлением обыкновенной рациональной дробью - не объяснили. Это с учётом того, что конечная десятичная дробь - и есть та же самая обыкновенная дробь, а бесконечная десятичная дробь - это последовательность конечных десятичных дробей, т.е. та же самая последовательность обыкновенных дробей. Так что Ваше определение действительного числа - частный случай стандартного.