Вопросы по математическим основам квантовой механики

[Cos(x-pi/2)]

B3LYP в сообщении #1623875 писал(а):

Грустно что Дэйв оказался таким бестолковым, но мне нравится его смотреть, по-моему он хорошо объясняет, плюс я так учу английский. Вот ещё раз выведенные им формулы для коэффициента отражения: <...> Это правильно?

"Нравится смотреть" это не то же самое, что "понимать объяснения". Если бы его объяснения были хороши для Вас, то Вы не задавали бы свой постоянный вопрос "Это правильно?"

Приведённые Вами формулы для $\frac{C}{A}$ имеют смысл модуля комплексной амплитуды вероятности прохождения (а вовсе не отражения!) частицы за барьер; ну или за яму, если $U_0<0.$ В квантовой механике модули комплексных амплитуд вероятности люди вычисляют для того, чтобы возвести их в квадрат: квадрат модуля амплитуды вероятности имеет смысл вероятности. В данной задаче вероятность прохождения есть $|\frac{C}{A}|^2,$ т.е. она даётся не самими указанными Вами выражениями, а возведёнными в квадрат выражениями.

B3LYP в сообщении #1623875 писал(а):

И ещё математический вопрос: как получается, что гиперболический синус переходит в обычный синус? Там же должен быть разрыв второй или какой-то там производной, это нормально?

Это же элементарная алгебра: напишите явную формулу для $\sinh(z)$ через экспоненты, подставьте $z=ix,$ и посмотрите, как получившаяся формула связана с выражением для $\sin(x)$ через экспоненты. Такие экспоненты и все их производные непрерывны.

B3LYP, Вам уже самое главное объяснили: нет путей в науку без книг и без самостоятельных упражнений. Садитесь за учебники и задачники, и с ручкой на бумаге тренируйтесь выводить и тем самым проверять интересующие Вас формулы, - только так у Вас появится шанс разобраться. Ну а если это для Вас слишком трудно, и напрягаться не хочется, то честно скажите себе: "физика и математика - это не моё", и забейте.

(На этом заканчиваю сюда вмешиваться. Ваши пересказы (непонятно с какой целью) простых учебных формул из видеоролика с неизменным вопросом "Это правильно?" вместо попыток изучать книги и самостоятельно проделывать выкладки, чтобы отвечать себе на такой вопрос, похожи на троллинг.)

[pppppppo_98]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1623907 писал(а):

Ну а если это для Вас слишком трудно, и напрягаться не хочется, то честно скажите себе: "физика и математика - это не моё", и забейте.

Из контекста других веток... дык походу он програмер , которого занесло в какой-то проект по квантовой химии... Он пытается по верхушкам чего-то выловить

[B3LYP]

Попробую ещё раз всё пересчитать. Имеем энергию барьера $0.4 eV=6.40872 \cdot 10^{-20} J=6.40872 \cdot 10^{-20} kg \cdot m^2/c^2$, длина барьера $1nm=10^{-9} m$, масса электрона $9.109 \cdot 10^{-31} kg$, $\hbar=1.055 \cdot 10^{-34} J \cdot c=1.055 \cdot 10^{-34} kg \cdot m^2/c$, $\eta=0.5$


$Kb=\frac{\sqrt{2 \cdot 9.109 \cdot 10^{-31} kg \cdot (6.40872 \cdot 0.5) \cdot 10^{-20}kg \cdot m^2/c^2}}{1.055 \cdot 10^{-34} kg \cdot m^2/c}=1,62009 \cdot 10^9 m^{-1}$


$\frac{C^2}{A^2}=(1+\frac{sinh(1,62009 \cdot 10^9 m^{-1} \cdot 10^{-9}m)}{4 \cdot 0.5 \cdot (1-0.5)})^{-1}=0.73$

Корректно получилось?

Cos(x-pi/2) в сообщении #1618661 писал(а):

Параллельно с физикой студенты изучают разделы высшей математики, а затем и математическую физику - это математика, необходимая для изучения теорфизики.

Назовите конкретные учебники по математической физике. Тут посоветовали Кудрявцева Математический анализ последний том, и В.С. Владимиров Уравнения математической физики. Сгодится? Там будет про переход гиперболического синуса в обычный?

Cos(x-pi/2) в сообщении #1623907 писал(а):

На этом заканчиваю сюда вмешиваться. Ваши пересказы (непонятно с какой целью) простых учебных формул из видеоролика с неизменным вопросом "Это правильно?" вместо попыток изучать книги и самостоятельно проделывать выкладки, чтобы отвечать себе на такой вопрос, похожи на троллинг.

Прошу вас остаться в этой теме, поскольку такой формат как сейчас позволяет мне быстрее учить предмет. У меня недостаточно времени, чтобы много сидеть с книгами, хочется оптимизировать. Хотя учебник по математике почитаю.

(Оффтоп)

Кстати никто не предлагал на dxdy формат платных тем? Чтобы автор темы, задавший вопрос, заплатил какую-то сумму, и она ушла ответившим. Мне так было бы очень удобно.

pppppppo_98 в сообщении #1623992 писал(а):

Из контекста других веток... дык походу он програмер , которого занесло в какой-то проект по квантовой химии... Он пытается по верхушкам чего-то выловить

Ну довольно близко, но можно я не буду выкладывать информацию о себе.

[pppppppo_98]

B3LYP в сообщении #1624152 писал(а):

Назовите конкретные учебники по математической физике.

Владимиров Уравнения математической физики . Для решения пракатических задач можно невсе читать https://csc-knu.github.io/mph/books/vla ... s-1981.pdf

B3LYP в сообщении #1624152 писал(а):

Тут посоветовали Кудрявцева Математический анализ последний том

там азы фуекционального анализа - тоже можно не все читать

B3LYP в сообщении #1624152 писал(а):

Там будет про переход гиперболического синуса в обычный?

нет не будет ... Это курс теории функции комплексного переменного... Тм тоже нужно проситать несколько первых глав . Не помню по чему нас учили - может быть Шабат
http://www.physics.gov.az/book_M/LAVRENTEV_SHABAT.PDF 3 главы надо прочесть

Еще нужен курс дифференциальных[quote="B3LYP в
уравнений - можно ограничится только линейными и простейшими уравнениями , и курс линейной алгебры 0 знать что такое ранг, собственные значения, собственные вектора (причем читать в первую очередь)
сообщении #1624152"]Ну довольно близко, но можно я не буду выкладывать информацию о себе.[/quote]
а я и не просил

[Cos(x-pi/2)]

B3LYP в сообщении #1624152 писал(а):

$Kb=\frac{\sqrt{2 \cdot 9.109 \cdot 10^{-31} kg \cdot (6.40872 \cdot 0.5) \cdot 10^{-20}kg \cdot m^2/c^2}}{1.055 \cdot 10^{-34} kg \cdot m^2/c}=1,62009 \cdot 10^9 m^{-1}$

$\frac{C^2}{A^2}=(1+\frac{sinh(1,62009 \cdot 10^9 m^{-1} \cdot 10^{-9}m)}{4 \cdot 0.5 \cdot (1-0.5)})^{-1}=0.73$

Корректно получилось?

Нет.

[B3LYP]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1624251 писал(а):

Нет.

Да, я рассеянный, вот ещё раз:

$k_b=\frac{\sqrt{2m (U_0 - E)}}{\hbar}=\frac{\sqrt{2m U_0 (1- \eta)}}{\hbar}$

$\frac{C^2}{A^2}=(1+\frac{\sinh^2(k_b a)}{4 \eta(1-\eta)})^{-1}$

$\eta=\frac{E}{U_0}$

$Kb=\frac{\sqrt{2 \cdot 9.109 \cdot 10^{-31} kg \cdot 6.40872 \cdot 10^{-20}kg \cdot m^2/c^2 \cdot (1-0.5)}}{1.055 \cdot 10^{-34} kg \cdot m^2/c}=2,29115 \cdot 10^9 m^{-1}$


$\frac{C^2}{A^2}=(1+\frac{sinh(2,29115 \cdot 10^9 m^{-1} \cdot 10^{-9}m)}{4 \cdot 0.5 \cdot (1-0.5)})^{-1}=0,40$

[Cos(x-pi/2)]

$K \approx 2.29 \cdot 10^9 \text{ м}^{-1}$ - это верно.

А ответ $0.4$ для $\frac{C^2}{A^2}$ снова неправильный, в десять раз отличается от верного.

(Примеры моих подсчётов старинными способами)

Вы писали вроде бы, что с помощью преподавателя освоили Delphi. Я совсем не программист, но предполагаю, что на Delphi и вообще на любом из существующих теперь компьютерных языков "высокого уровня" при желании всегда можно выполнить интересующее вычисление.

Когда я был студентом, в 1970-х, нас научили всё считать на логарифмических линейках. Этот сильно устаревший способ не буду здесь описывать.

Позднее, в 1980-х, у нас в лабораториях появились первые настольные ЭВМ (Электронные Вычислительные Машины - так в то время назывались компьютеры). Им в оперативную память можно было загружать с магнитофонных кассет версию языка "Бейсик" - очень простую и поэтому удобную даже для тех людей, кто совсем не знал программирования.

Тот Бейсик я освоил, и даже теперь иногда им пользуюсь в симуляторе старинной ЭВМ. Вот так выглядит алгоритм и результат расчёта величин $K$ и $T=\frac{|C|^2}{|A|^2}$ прямо по приведённым Вами числам:



Бейсик несложный: оператор LET означает присваивание значения переменной, указанной сразу за этим словом; оператор PRINT!F1.4! задаёт формат печати чисел - одна цифра до и четыре цифры после плавающей десятичной точки; двоеточие разделяет операторы в строке, если их в одной строке несколько; PRINT просто выводит на экран пустую строку для красоты, а если есть текст в апострофах и буквенное имя переменной, то на экран выводится этот текст и значение переменной; функция sinh(x) обозначена как HSN(X); знак возведения в степень похож на "кочергу", остальные математические знаки выглядят более-менее привычно. Строки выполняются в порядке возрастания их нумерации (и по командам переходов в них, если такие команды есть).

Зная это, Вы легко переведёте бейсиковскую запись алгоритма на любой доступный Вам язык программирования.

Однако, желательно программировать не одноразовый расчёт по фиксированным входным данным, а более универсальный расчёт - в котором пользователь мог бы сам вводить входные данные, и тем самым варьировать их, чтобы затем анализировать, как изменяется результат.

При этом целесообразно сначала вычислить характерные для конкретной задачи условные "единицы" величин, и затем входные данные выражать через безразмерные количества таких "единиц". Например, за условную единицу энергии можем выбрать $E_1=\frac{\hbar^2}{2\,m_1\,a_1^2},$ где $m_1$ - масса электрона, $a_1=0.1\text{ нм};$ энергия $E_1$ приблизительно равна $3.8\text{ эВ}.$ Тогда безразмерное произведение $K\cdot a$ для частицы с массой $m,$ энергией $E=\eta \,U,$ и барьера $U$ длиной $a$ запишется в виде:

$K\cdot a = \sqrt{(U/E_1)(a/a_1)^2(m/m_1)(1-\eta)}$

С немножко другими обозначениями вот листинг такого типа бейсик-программки (годится для перевода на любой доступный Вам язык программирования):



Вот так этот расчёт работает с прежними входными данными (разумеется, получается и тем самым проверяется прежний результат):




Посмотрим, например, как при прочих прежних условиях уменьшится вероятность туннелирования в случае частицы, которая в 2000 раз массивнее электрона, т.е. у которой масса примерно такая же, как масса ядра легчайшего атома:



Получилось приблизительно $4E-89,$ эта запись означает $4\cdot 10^{-89}.$



Ещё один давно известный удобный способ учебных студенческих расчётов - в программе "Маткад", работающей под управлением Windows. Это не бесплатная программа. Есть у неё и недостатки, а удобна она тем, что формулы в ней записываются почти в таком же привычном виде, как в учебниках по математике и физике; кроме того, в ней есть встроенная "помощь" с примерами - это обучающий материал. Описание её есть и в интернете. Для наших примеров Маткад даёт те же результаты, которые указаны выше. Подробнее на этом не останавливаюсь.



Есть также возможность делать программируемые расчёты даже на тех компьютерах, где не установлены никакие специальные программы, кроме интернет-браузера. Например, у меня в браузере Firefox (устаревшая версия под управлением устаревшей Windows 7 на устаревшем ноутбуке, да и сам-то я уже старик) нормально работает самодельный html-код, который легко пишется в простейшем текстовом редакторе - в "Блокноте". Сам бы я до такого дела не догадался; спасибо моим бывшим студентам: они научили меня этому способу лет 20 тому назад. С тех пор я иногда этим способом пользуюсь, отыскивая небходимые подсказки в интернете.

Ещё раз подчеркну: у меня нет программистких знаний. Поэтому предупреждаю: я не знаю, будет ли такой код выполняться в других браузерах и на других компьютерах, притом с выводом на экран слов на русском языке, в обычной кодировке windows-1251. Но на форуме есть знатоки программирования, и может быть, они подскажут, что и как отредактировать в коде типа приводимого ниже для его работоспособности на современном компьютере.

Вот этот код; если его скопировать отсюда в текстовый файл, сохранить в своём компьютере как файл типа html, и запустить на исполнение в браузере, то, предположительно, он выполнит простой расчёт $K\cdot a$ и $T$ по вашим исходным числам:

<HTML>
<HEAD>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=windows-1251">
<TITLE>Вычисление Т</TITLE>
</HEAD>
<BODY>
<H3> Вычисляем вероятность туннелирования T </H3>
<FORM name = "calc">
<P>Дано: барьер U = 0.4 эВ, a = 1 нм, m = масса электрона, E/U = 0.5.<BR>
<P>Нажмите кнопку 
<input name = "btnCalc" type = "button" value = "Вычислить K·a и T"
onClick = "

var K = Math.sqrt((2*9.109*6.409*0.5*1e-51))/(1.055*1e-34)
var Ka = K*1e-9
var Sh = Math.sinh(Ka)
var T = 1.0/(1+Math.pow(Sh,2)/(4*0.5*(1-0.5)))
var out_Ka = Math.trunc(Ka*10000+0.5)/10000
var out_T = Math.trunc(T*10000+0.5)/10000

calc.result_1.value = out_Ka
calc.result_2.value = out_T

" ><BR>
<P><B>Результат</B>:
<BR><BR>
K·a  =  <input type = "text" size = 10 name = "result_1"> 
T  =  <input type = "text" size = 10 name = "result_2"> <BR>
</FORM>
</BODY>
</HTML>

Вот так выглядит экран с результатом работы этой программки:




А вот упоминавшаяся выше (в терминах языка "Бейсик") программка на языке html с более универсальным расчётом:

<HTML>
<HEAD>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=windows-1251">
<TITLE>Вычисление Т</TITLE>

<script language="JavaScript">

function calcT(E, U, a, m)
{

if(E<0)
{E=-E}
if(m<0)
{m=0}

var Eta = E/U

var E1 = Math.pow(1.055,2)/(2*9.109*1.6022e-2)

var a1 = a/0.1

var U1 = U*m*Math.pow(a1,2)/E1

if(E>U)
{
var Ka = Math.sqrt(U1*(Eta-1))
var S = Math.sin(Ka)
Result = 1/(1+Math.pow(S,2)/(4*Eta*(Eta-1)))
}
else
{
var Ka = Math.sqrt(U1*(1-Eta))
var S = Math.sinh(Ka)
Result = 1/(1+Math.pow(S,2)/(4*Eta*(1-Eta)))
}

return Result
}

</script>

</HEAD>
<BODY>
<H3> Вычисляем вероятность T прохождения частицы за барьер или за яму</H3>
<FORM name = "calc">
<P><B>Задайте</B>:<BR>
энергию частицы E>0 (эВ), <BR>
энергию барьера или ямы U (эВ) и длину a>0 (нм), <BR>
отношение массы m частицы к массе электрона<BR><BR>

Е (зВ) = <input type = "text" size = 20 name = "arg1"><BR>
U (эВ) = <input type = "text" size = 20 name = "arg2"><BR>
a (нм) = <input type = "text" size = 20 name = "arg3"><BR>
m/m_эл = <input type = "text" size = 20 name = "arg4"><BR>

<P>И нажмите кнопку 
<input name = "btnCalc" type = "button" value = "Вычислить T"
onClick = "

var E = 1.0*calc.arg1.value
var U = 1.0*calc.arg2.value
var a = 1.0*calc.arg3.value
var m = 1.0*calc.arg4.value

var T = calcT(E,U,a,m)
var out_T = Math.trunc(T*10000+0.5)/10000

calc.result_1.value = out_T
calc.result_2.value = T

" ><BR>

<P><B>Результат</B>:
<BR>
<P>значение, округленное до 4 цифр после десятичной точки:<BR>
T  =  <input type = "text" size = 30 name = "result_1"> <BR>
<P>неокругленное значение:<BR>
T  =  <input type = "text" size = 30 name = "result_2"> <BR>

</FORM>
</BODY>
</HTML>

Вот скриншот с результатом для ваших первоначальных данных:




и вот для случая с частицей в 2000 раз более массивной, чем электрон, при прежних прочих условиях:



Видно, что результаты расчёта на Бейсике и в html-программках согласуются друг с другом; этот факт служит здесь проверкой машинного результата. А надо сказать, что проверка вычислений является одним из основных этапов в процессе вычислений. Этап проверок иногда занимает львиную долю всего времени расчётов.

Машинный счёт дело хорошее, однако надо всегда стремиться заранее оценить хотя бы порядок (десятичный) интересующих величин. Мы знаем (так как раньше уже вычисляли), что характерная энергия $E_1=\frac{\hbar^2}{2\,m_1\,a_1^2},$ где $m_1$ - масса электрона, $a_1=0.1\text{ нм},$ приблизительно равна $3.8\text{ эВ}.$ Значит, с вашими исходными данными величина

$K\cdot a = \sqrt{(U/E_1)(a/a_1)^2(m/m_1)(1-\eta)}$

при $m=m_1,$ длине барьера $a=1\text{ нм},$ энергии барьера $U=0.4 \text{ эВ},$ и $\eta=0.5$ равна

$K\cdot a \approx \sqrt{(0.4/3.8)\cdot 10^2\cdot 1\cdot 0.5} \approx 2.29 \approx 2.3.$

Полезно помнить, что $\ln(10) \approx 2.3.$ Значит, у нас $e^{K\cdot a} \approx e^{2.3} \approx 10.$

Следовательно:

$\sinh ^2 (K\cdot a)=\frac{1}{4}(e^{K\cdot a}- e^{-K\cdot a})^2 \approx \frac{1}{4}(10 - 0.1)^2 \approx \frac{1}{4}\, 100.$

Т.е. в данном примере величина $e^{K\cdot a}$ значительно превышает единицу, поэтому $\sinh(K\cdot a) \approx \frac{1}{2}e^{K\cdot a},$ и следовательно искомая вероятность туннелирования оценивается как

$T=(1+\frac{1}{4\eta (1-\eta)}\sinh ^2 (K\cdot a))^{-1} \approx 16\eta (1-\eta)e^{-K\cdot a}\approx 16\cdot 0.5\cdot 0.5\,\frac{1}{100}=0.04.$

В случае с $m/m_1=2000$ показатель экспоненты $K\cdot a$ увеличивается в $\sqrt{2000}\approx 44.5$ раз. Поэтому прежний результат $0.04,$ имевший порядок $10^{-2}$ превращается в число порядка $(10^{-2})^{44.5}=10^{-89}.$ Вот мы и проверили машинные ответы. Заодно из этой оценки видно, что вероятность туннелирования резко убывает с ростом массы частицы. Понятно также, что она резко убывает и с увеличением длины барьера $a$ или его высоты $U$ - ведь эти величины тоже входят в выражение для показателя экспоненты: чем они больше, тем показатель экспоненты $K\cdot a$ больше.

[Cos(x-pi/2)]

Исправляю свою опечатку (двойку потерял в показателе экспоненты), правильная запись вот такая: искомая вероятность туннелирования оценивается как

$T=(1+\frac{1}{4\eta (1-\eta)}\sinh ^2 (K\cdot a))^{-1} \approx 16\eta (1-\eta)e^{-2\cdot K\cdot a}\approx 16\cdot 0.5\cdot 0.5\,\frac{1}{100}=0.04.$

Чем показатель экспоненты $2\cdot K\cdot a$ больше, тем вероятность туннелирования меньше; при большой величине $2\cdot K\cdot a$ оценка для вероятности туннелирования с точностью до предэкспоненциальных множителей есть $e^{-2\cdot K\cdot a} \ll 1.$

[B3LYP]

Cos(x-pi/2)

Да, опять я спутал. Что ж такое то… У вас всё правильно. Только коэффициент прохождения это T в квадрате (T=C/A).
Считать можно на чём угодно – калькуляторе или Delphi. Мне кажется проще на Origin-e, можно также на Excel-e. У меня была ошибка – забыл поставить скобку в формуле. С Оригином можно заранее выписать формулы, сохранить файл, чтобы в случае правок не набирать все цифры заново.
У вас в этом сообщении есть картинки волновых пакетов. Эти картинки можно получить и из приведённых мной формул, если перевести стационарное УШ в форму нестационарного?

[Cos(x-pi/2)]

B3LYP в сообщении #1624825 писал(а):

У вас в этом сообщении есть картинки волновых пакетов. Эти картинки можно получить и из приведённых мной формул, если перевести стационарное УШ в форму нестационарного?

Нет. Стационарное у.Ш. не "переводится в форму нестационарного", это два разных уравнения.

В квантовой механике (КвМ) есть одно единственное фундаментальное уравнение для волновой функции - нестационарное у.Ш. В процессе его решения могут появляться и другие уравнения, как бы вспомогательные, но основным является именно нестационарное у.Ш.

Если хотите продолжить разбираться, то начните с внимательного разбора нестационарного у.Ш.; хотя бы маленькими шажками, с подсказками, но обязательно и с самостоятельными выкладками-выводами всех новых для Вас формул.

(Советую для подобных занятий завести конспект или даже два, если не три, - по классической физике, по КвМ и по математике. Причём, не в виде тетрадей, а в виде пачек листов бумаги А4; потому что по ходу дела придётся часто возвращаться к ранее пройденному и дополнять либо полностью изменять - совершенствовать - свои записи и справочные материалы по мере усложнения образующейся картины знаний в голове. Многие начинающие ученики делают серьёзную методическую ошибку: думают, будто знания в голове можно накопить по тому же принципу, как строят здание - сначала фундамент, на него возводится 1-й этаж, затем 2-й этаж и так до самого верха без изменений ранее возведённого. В физике это не так! Знания накапливаются методом, скорее напоминающим метод последовательных приближений, или даже что-то вроде создания методом проб и ошибок мозаичной картины из разрозненных фрагментов, притом не двумерной, а многомерной, многосвязной, и заранее не очевидной; готовая картина в целом может выглядеть понятнее, чем её части в ходе построения.)

Выводить само нестационарное у.Ш. на этом этапе Вам не надо - считайте, что оно (как и вообще все фундаментальные уравнения физики) является просто счастливой догадкой учёных, следствия из которой замечательно подтвердились и продолжают подтверждаться многочисленными и разнообразными опытами.

В простейшем виде, очень схематичном, но зато самом удобном при первоначальном знакомстве с КвМ, нестационарное у.Ш. - это уравнение для зависящей от времени $t$ и всего лишь от одной пространственной координаты $x$ (c размерностью длины) волновой функции $\Psi(x,t)$ нерелятивистской частицы с заданной массой $m>0:$

$$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\hat{H}\Psi\,,$$

где так называемый оператор Гамильтона (он же гамильтониан) $\hat{H}$ не содержит и не затрагивает переменную $t,$ а действует на $\Psi$ только двукратным дифференцированием по $x$ и, плюс к этому дифференцированию, добавляет результат умножения $\Psi$ на заданную функцию $U(x),$ называемую потенциальной энергией или, более жаргонно но и кратко, потенциалом:

$$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\, \frac{\partial^2 }{\partial x^2}+U(x).$$

Примите предположение (опять же на правах чужой догадки, пока нет своих знаний и опыта в решении уравнений матфизики), что одно из возможных решений $\Psi(x,t)$ указанного выше нестационарного у.Ш. может быть записано в так называемом виде "функции с разделёнными переменными".

А именно - попробуем искать неизвестную функцию $\Psi(x,t)$ в виде произведения двух новых неизвестных функций, $\psi(x)$ и $\phi(t),$ одна из которых, как видно из обозначений, зависит только от $x,$ но не зависит от $t,$ а другая зависит только от $t,$ но от $x$ не зависит:

$$\text{ищем частное решение в виде }\, \Psi(x,t)=\psi(x)\phi(t)\,.$$

(Отличаем большую букву $\Psi$ от маленькой $\psi,$ не путаем их!) Вот начальная часть задания для самостоятельного вывода, это первый маленький шажок из множества предстоящих:

a) подставьте $\Psi(x,t)=\psi(x)\phi(t)$ в $i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}$ и запишите в ответе, как здесь проявляется разделение переменных;

б) подставьте $\Psi(x,t)=\psi(x)\phi(t)$ в $\hat{H} \Psi$ (не выписывая явного выражения для гамильтониана) и запишите в ответе, как здесь проявляется разделение переменных;

в) подставьте $\Psi(x,t)=\psi(x)\phi(t)$ в нестационарное уравнение Ш. $i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\hat{H}\Psi$ и запишите результат с учётом ответов (а) и (б).

[B3LYP]

Продолжаю смотреть Дэйва:

https://www.youtube.com/watch?v=yG_Ot9rsNaw
https://www.youtube.com/watch?v=l29vbExLSak
https://www.youtube.com/watch?v=ocB9V8Dnb3o

В этом блоге очень удобный формат, вроде как всё излагается понятно, но подозреваю что с ошибками.

Мы имеем УШ:

$-\frac{\hbar}{2m}\frac{d^2 \psi(x)}{dx^2}+\frac{1}{2}k x^2 \psi(x)-E \psi(x)=0$

Для упрощения меняем x на X:

$\frac{d^2 \psi(X)}{dx^2}+\varepsilon \psi(X)-X^2 \psi(X)=0$

Далее Дэйв говорит, что это уравнение решается через Эрмитовы многочлены, и мне совершенно непонятно, куда девается эпсилон?

Cos(x-pi/2) в сообщении #1624889 писал(а):

А именно - попробуем искать неизвестную функцию $\Psi(x,t)$ в виде произведения двух новых неизвестных функций, $\psi(x)$ и $\phi(t),$ одна из которых, как видно из обозначений, зависит только от $x,$ но не зависит от $t,$ а другая зависит только от $t,$ но от $x$ не зависит:

Я уже смотрел у Дэйва, как вывести TISE из TDSE; хотелось бы вернуться к этому позже.

https://www.youtube.com/watch?v=l4fFG2utivw

[Cos(x-pi/2)]

B3LYP в сообщении #1625283 писал(а):

мне совершенно непонятно, куда девается эпсилон?

Это объяснено во всех учебниках по КвМ (совершенно непонятно ваше упрямое нежелание изучать нормальные учебники вместо ютубовских комиксов): $\varepsilon = 2n+1,$ где $n=0,1,2,3,...\,.$

[pppppppo_98]

B3LYP в сообщении #1625283 писал(а):

Далее Дэйв говорит, что это уравнение решается через Эрмитовы многочлены, и мне совершенно непонятно, куда девается эпсилон?

Cos(x-pi/2) в сообщении #1625292 писал(а):

$\varepsilon = 2n+1,$ где $n=0,1,2,3,...\,.$

примите этот факт на веру ... вам ничего не остается делать... его даже в большинстве курсов квантовой механике до конца не доводят, поелику это специлизированный раздел математической физики- специальные функции ... есть специальная книга Никифорова уварова об ортогональных полиномах - но с вашим уровнем знаний лезть туда категорически не советую...

[B3LYP]

Просьба заглянуть в эту тему:

topic156625.html

[B3LYP]

Если можно, буду тут выписывать формулы, мне так проще запомнить и ещё потом останется, смогу пересмотреть тему если надо что-то вспомнить.
Итак, имеем УШ:

$\frac{d^2 \psi(X)}{dx^2}+(2n+1) \psi(X)-X^2 \psi(X)=0$

Для решения удобно использовать $g(x)$:

$\psi(X)=g(X) e^{-X^2/2}$

Решение будет таким:

$g_n(X)=(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}(e^{-X^2/2})$

$g_0(X)=1$

$\psi_0(X)=e^{-X^2/2}$

$\frac{d^2(e^{-X^2/2})}{dX^2}+e^{-X^2/2}-X^2 e^{-X^2/2}=\frac{d(-X e^{-X^2/2})}{dx}+e^{-X^2/2}-X^2 e^{-X^2/2}=$
$=-e^{-X^2/2}+X^2 e^{-X^2/2}+e^{-X^2/2}-X^2 e^{-X^2/2}=0$

$g_1(X)=2X$

$\psi_1(X)=2X e^{-X^2/2}$

$\frac{d^2(2X e^{-X^2/2})}{dX^2}+3 \cdot 2X \cdot e^{-X^2/2}-X^2 \cdot 2X \cdot e^{-X^2/2}=$
$=\frac{d(2 e^{-X^2/2}-2 X^2 e^{-X^2/2})}{dx}+3 \cdot 2X \cdot e^{-X^2/2}-X^2 \cdot 2X \cdot e^{-X^2/2}=$
$=-2X e^{-X^2/2}-4X e^{-X^2/2} +2X^3 e^{-X^2/2}+3 \cdot 2X \cdot e^{-X^2/2}-X^2 \cdot 2X \cdot e^{-X^2/2}=0$

Кажется получилось. Теперь мне надо найти собственные значения энергий. Это можно сделать одним путём или двумя? Прошу прощения если туплю, но если интегрировать, тут ещё надо обязательно перевести X в x?