Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер

[Leeb]

Anton_Peplov в сообщении #1620931 писал(а):

(Я написал ерунду и стер ерунду, попробуем еще раз).

Leeb в сообщении #1620912 писал(а):

Рассмотрите проколотый круг $(x^2+y^2\leqslant1) \backslash (1/2,1/2)$ на плоскости. Если вам захочется потребовать ещё и односвязность, то возьмите проколотый шар в пространстве, если 2-связность - то шар в $R^4$ и т.д.

Давайте убедимся, что я правильно понимаю Вашу запись. Конструируя пространство $X$, Вы выбросили из круга ровно одну точку, с координатами $x = 1/2, y = 1/2$, так? Тогда я не вижу, где в этом пространстве открытый шар, который не является внутренностью своего замыкания.

Пусть центр открытого шара $B$ - точка $x = 0, y = 0$, радиус шара обозначим $r$. Обозначим $S$ сферу $S \subset \mathbb R^2$ с тем же центром того же радиуса. Рассмотрим случай $r = 1/2$. Тогда $\operatorname {Fr} B = S \setminus (1/2,1/2), \operatorname {Cl} B = B \cup \operatorname {Fr} B, operatorname {int Cl} B = B[math]$. Шар канонически открыт. В случае $r > 1/2$ имеем $\operatorname {Fr} B = S$ и шар снова канонически открыт. Случай $r < 1/2$ интереса не представляет.

Что я упускаю?

Вы правильно понимаете запись, в качестве всего пространства мы рассматриваем точки плоского диска радиуса 1, у которого выкинула точка $1/2,1/2$ (можно и любую другую нецентральную, или вообще любое подмножество точек, лишь бы оно не было всюду плотным и точки не были все на границе и не попадали в центр, хотя это я просто перестраховываюсь) - точно так же, как вы в прошлом примере брали в качестве всего пространства отрезок. Теперь рассматриваем открытый шар радиуса 1 с центром в точке $0,0$. Метрика индуцирована с плоскости, поэтому этот шар является единичным плоским диском без границы с проколом. Его замыканием является плоский диск с границей и с проколом. Но т.к. данный плоский диск с границей и проколом является всем пространством, то его внутренность совпадает с ним самим, а не с открытым шаром. Это полная аналогия с вашим примером с отрезком, с той лишь разницей, что плоский диск с границей и проколом не является компактным пространством.

[Anton_Peplov]

Так, теперь понял. Упустил, что круг $x^2 + y^2 \le 1$, а не $x^2 + y^2 < 1$, и тем не менее некомпактный из-за прокола. И ведь вертелось в голове что-то подобное, и контрпримеры на плоскости пытался строить, но заплутал в трех соснах, увы мне. Спасибо за помощь.

Однако исходный вопрос остается:

Anton_Peplov в сообщении #1620830 писал(а):

Можно ли обеспечить свойство (*), потребовав от $X$ каких-то стандартных вещей?

Подозреваю, что ответ - "нет", но хотелось бы услышать мнение профессиональных математиков, лучше меня знакомых с топологией.

[Leeb]

А вы конкретизируйте, что вы подразумеваете под "стандартными вещами". Хотя бы как-то . Это ведь даже не слово "естественный", которое и так сильно зависит от контекста. Все-таки общая топология слишком уж патологической бывает.
Пока в порядке тривиального наблюдения - это всегда так в нормированных пространствах, по крайней мере, над "хорошими" полями (заметьте, что предыдущие примеры в нормированные не превращаются никак, ни над каким полем). В совсем общем случае наверное никак, ибо ни полноты, ни свойства "когда замыканием открытого шара является замкнутый шар", как показывают примеры не хватает. Можно было бы подумать, что полнота и некомпактность, но тогда контрпримером будет замкнутый шар в любом бесконечномерном банаховом пространстве, опять же по прямой аналогии с нашим примером выше.

[Anton_Peplov]

Leeb в сообщении #1620936 писал(а):

А вы конкретизируйте, что вы подразумеваете под "стандартными вещами".

Стандартные вещи - это свойства, у которых есть общепринятые названия: все виды компактности (обычная, счетная, локальная, секвенциальная и т.д.), все виды связности и какие там еще топологические свойства не фиксированы для метрического пространства. Плюс чисто метрические свойства со своими названиями - та же полнота.

Меня бы вполне устроил и ответ "свойство (*) называется кузявостью (см. параграф в учебнике таком-то) и, вообще говоря, не гарантируется никакими другими стандартными свойствами".

[Leeb]

Хмм, да, такое свойство оказывается есть. Правда, формулируется не только для метрических пространств, называется регулярное открытое множество, https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_open_set
Там же есть немного ссылок, и еще см. https://en.wikipedia.org/wiki/Semiregular_space - там, где регулярные открытые пространства образуют базу. А сюда как раз входят искомые вами метрические пространства с указанным свойством. И да, нормированные, конечно же, сюда очевидно входят.
Не силен в общей топологии, но чем смог тем помог.

(Оффтоп)

Но если нужна помощь в алгебраической - обращайтесь.

[Anton_Peplov]

Leeb в сообщении #1620938 писал(а):

Правда, формулируется не только для метрических пространств, называется регулярное открытое множество

Мне оно известно под названием "канонически открытое множество", я его упоминал в первом посте.

А вот связь с аксиомой регулярности (третьей аксиомой отделимости) для меня внове. Оказывается, каждое регулярное пространство полурегулярно, т.е. канонически открытые множества образуют базу. В метрическом случае с очевидностью будет база из канонически открытых шаров, даже если и не каждый открытый шар канонически открыт. Это новое для меня знание.

Не совсем то, что я искал. Но того, что я искал, вполне возможно, просто не существует.

[Anton_Peplov]

Продолжаю размышлять на ту же тему.

Anton_Peplov в сообщении #1620830 писал(а):

У $\mathbb R^n$ есть приятное свойство. Каждый открытый шар канонически открыт, т.е. является внутренностью своего замыкания. Обозначим это свойство (*).

Вопрос: сохраняется ли свойство (*) при гомеоморфизме? Скорее всего, нет, поскольку "открытый шар" - не чисто топологическое понятие, он определяется метрически: $B(x, r) = \{y|\rho (x, y) < r \}$. По-видимому, нет никакого способа определить открытый шар в чисто топологических терминах. А если так, то свойство (*) не обязано сохранятся гомеоморфизмом, как не сохраняются расстояния или полнота.

Если эти рассуждения верны, то свойство (*) невозможно получить, комбинируя чисто топологические требования вроде (не)связности, (не)компактности и т.д.

Однако для полной ясности я не отказался бы от примера, когда пространство $X$ обладает свойством (*), а гомеоморфное ему пространство $Y$ - не обладает. Увы, я не так искусен в построении примеров, как хотелось бы. Может быть, эта задача заинтересует кого-то из математиков?

[Leeb]

Замкнутая полоса в $R^2$ с проколом гомеоморфна $D^2$ с выкинутым диском $D^2$, для полосы ваше свойство очевидно выполнено, для диска с выкинутым дисков - нет по причинам, которые мы разбирали выше (пример обобщается на $R^n$). Можно и проще - полупространство $R^n$ и $D^n$ с выкинутым куском границы или проколотое полупространство $R^n\backslash pt$ и $D^n$ с проколом и выкинутым куском границы. Да даже и проколы не нужны, на самом деле, они ж только для прошлого вопроса с некомпактностью нужны были.

Вообще, всегда, когда надо построить контрпример, показывающий, что какое-то метрическое свойство не сохраняется при гомеоморфизме, надо смотреть в сторону гомеоморфизмов ограниченных и неограниченных пространств.

[Leeb]

Тут я должен поправиться - полупространство, естественно, не подходит (берём шары радиуса r, с центром в точке на расстоянии от граничной плоскости меньше r). Зато подойдёт само $R^n$ - оно гомеоморфно $S^n\backslash pt$, которое можно вложить как метрическое подпространство $R^{n+1}$ и в котором будет работать прошлая идея (берём любую точку и смотрим открытый и замкнутый шары радиуса, равного диаметру сферы). Об этом примере я думал еще в первый раз, но почему-то решил привести другие. Короче, идея с гомеоморфностью между ограниченным и неограниченным все равно всегда работает.

[Anton_Peplov]

Интересно, что дискретное пространство обладает свойством (*). То есть, хотя свойство (*) выглядит полезным, оно не гарантирует никаких других полезных свойств. Нет менее полезного метрического пространства, чем дискретное. Оно годится разве что для построения контрпримеров к ученическим гипотезам вроде моих.

[Anton_Peplov]

Очевидно, для свойства (*) достаточно, но не необходимо, сочетание двух условий:
1. Замкнутый шар $D(x, r)$ есть замыкание открытого шара $B(x,r)$.
2. Граница замкнутого шара $D(x, r)$ есть сфера $S(x, r)$ (откуда автоматически открытый шар $B(x,r) = \operatorname{int} D(x, r)$).


Условие 1 эквивалентно очень красивому требованию: "в любой окрестности точки $y \ne x$ найдется точка $z$, которая ближе к $x$, чем сама $y$". Хотелось бы осмыслить и условие 2 в терминах точек, окрестностей и расстояний, а не шаров и сфер. Но (пока?) не получается.

[schmetterling]

"В любой окрестности точки $y \neq x$ найдётся точка $z$, которая дальше от $x$, чем сама $y$"?

[Anton_Peplov]

schmetterling в сообщении #1622758 писал(а):

"В любой окрестности точки $y \neq x$ найдётся точка $z$, которая дальше от $x$, чем сама $y$"?

Нет, не годится.
Рассмотрим пространство $X = (- \infty, 2]$ с метрикой, унаследованной из $\mathbb R$. Очевидно, Ваше условие в $X$ выполняется. Тем не менее $D(1, 1) = [0, 2], \ \operatorname{Fr} D(1, 1) = \{0\}$ (точка 2 - внутренняя для этого шара), но $S(1, 1) = \{0, 2\}$

[schmetterling]

Положим $x = 1$, $y = 2$, $\text{окрестность }y = (\frac32; 2]$. Пожалуйста, укажите $z$.

[Anton_Peplov]

schmetterling, Вы правы, я перепутал точки и написал глупость (погубит меня невнимательность). Мой пример не подходит.
Я бы предложил поискать контрпример на плоскости.