2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение20.02.2017, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8492
g______d в сообщении #1194129 писал(а):
которое уже будет компактным
Почему? Оно, конечно, замкнутое и ограниченное, но ведь дело не обязательно происходит в $\mathbb R^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение20.02.2017, 19:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Замкнутое подмножество компактного пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение20.02.2017, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8492
Я потерял нить.

Вы показали доказательство того, что пространство связно, если оно компактно и замыкание каждого открытого шара равно соответствующему замкнутому шару. Это доказательство я воспринял. Его можно повторить и для шара, доказав, что связен шар.
Потом Вы сказали, что чтобы доказать связность шара, не обязательно предполагать компактность пространства. Вот этого я не могу понять. И я думал, что мы это сейчас обсуждаем. А Вы вдруг говорите, что пространство компактное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение20.02.2017, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Anton_Peplov в сообщении #1194162 писал(а):
Его можно повторить и для шара, доказав, что связен шар.


Нельзя. Открытый шар не обязательно компактен.

-- Пн, 20 фев 2017 10:27:00 --

Лучше, наверное, всё сначала. Рассмотрим открытый шар $B(x,r)$. Предположим, что он не связен. Тогда он разбивается на два открыто-замкнутых нетривиальных непересекающихся подмножества $C_1$ и $C_2$. Не умаляя общности, можно считать, что $x\in C_1$. Покажем, что существует точка $y\in C_2$, такая что $\rho(x,y)=\rho(x,C_2)$. Проблема в том, что $C_2$ не обязано быть компактным. Тем не менее, пусть $y_0\in C_2$, $r_0=\rho(x,y_0)$. Тогда $C_2\cap D(x,r_0)$ непусто и компактно (как в исходной топологии, так и в индуцированной на шар), поэтому там есть точка $y$, ближайшая к $x$. Все остальные точки $C_2$ (не лежащие в $D(x,r_0)$) нас не интересуют, потому что они дальше от $x$, чем даже $y_0$.

Таким образом, мы нашли точку $y$, а дальше уже можно повторять рассуждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение20.02.2017, 20:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8492
g______d в сообщении #1194169 писал(а):
Тогда $C_2\cap D(x,r_0)$ непусто и компактно (как в исходной топологии, так и в индуцированной на шар)
С этим пунктом подробнее. $C_2$, раз оно замкнуто в топологии шара $B(x, r)$, равно $A \cap B(x, r)$, где $A$ - некоторое множество, замкнутое в исходном пространстве. $A \cap D(x, r_0)$, конечно, компактно в исходной топологии как замкнутое подмножество компактного пространства. С другой стороны, $D(x,r_0) \subset B(x, r)$, поэтому $A \cap D(x, r) = C_2 \cap D(x, r_0)$.Мы показали, что $C_2 \cap D(x, r_0)$ компактно в исходной топологии.

А вот почему оно компактно в топологии шара? Ведь шар не обязательно компактен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение20.02.2017, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Anton_Peplov в сообщении #1194180 писал(а):
А вот почему оно компактно в топологии шара? Ведь шар не обязательно компактен.


Открытое подмножество в топологии шара является открытым и в исходной топологии. Поэтому можно просто из определения компактности: если мы покрыли его открытыми подмножествами шара, это одновременно будет покрытием открытыми подмножествами исходной топологии, из которых можно выбрать конечное подпокрытие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение20.02.2017, 21:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8492
Черт. И правда, шар же открыт. А я привык, что для подпространства такая штука в общем случае не верна, и не подумал, что в случае открытого шара все лучше.
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение20.02.2017, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
g______d в сообщении #1194188 писал(а):
Поэтому можно просто из определения компактности: если мы покрыли его открытыми подмножествами шара

нужно любое покрытие, а не только то, которое от шара

-- Пн фев 20, 2017 21:41:20 --

Anton_Peplov в сообщении #1194180 писал(а):
А вот почему оно компактно в топологии шара? Ведь шар не обязательно компактен

Оно, конечно, компактно, но нам это не надо)) Нам достаточно того факта, что оно компактно во всем пространстве. Непрерывная функция достигает минимума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение20.02.2017, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
alcoholist в сообщении #1194195 писал(а):
нужно любое покрытие, а не только то, которое от шара


Мы же доказываем компактность в топологии шара; зачем нам покрытие не от шара?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение20.02.2017, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
g______d в сообщении #1194197 писал(а):
Мы же доказываем компактность в топологии шара; зачем нам покрытие не от шара?

alcoholist в сообщении #1194195 писал(а):
Оно, конечно, компактно, но нам это не надо)) Нам достаточно того факта, что оно компактно во всем пространстве. Непрерывная функция достигает минимума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение20.02.2017, 21:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Тогда и "любое покрытие" не нужно.

-- Пн, 20 фев 2017 12:20:38 --

g______d в сообщении #1194169 писал(а):
Таким образом, мы нашли точку $y$, а дальше уже можно повторять рассуждение.


Это, кстати, тоже не совсем честно с моей стороны. В исходном рассуждении я употреблял замыкание по отношению к $C_1$ -- в топологии шара, а по отношению к маленькому шару -- в топологии исходного пространства. Но поскольку речь идёт о шарах с одним и тем же центром, это без разницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение03.12.2023, 15:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8492
Вопрос № 2. Каноническая открытость шаров

У $\mathbb R^n$ есть приятное свойство. Каждый открытый шар канонически открыт, т.е. является внутренностью своего замыкания. Обозначим это свойство (*).

Пусть $X$ - метрическое пространство. Можно ли обеспечить свойство (*), потребовав от $X$ каких-то стандартных вещей?

Прежде всего замечу, что свойство (*) - не наследственное. Вот пример подпространства $\mathbb R$, не обладающего свойством (*):

$X_1 = [0, 2]$. Рассмотрим открытый шар $B(1,1)$ радиуса 1 с центром в точке 1. Имеем $B(1,1)  = (0, 2), \operatorname{Cl} B(1,1) = X_1,  \operatorname{int} X_1 =  X_1 \ne B(1,1)$.

Бросается в глаза, что пространство $X_1$, в отличие от $\mathbb R$, компактное. Можно построить и некомпактный контрпример с тем же самым шаром $B(1,1)$:

$X_2 = (- \infty, -1) \cup [0, 2]$.

Пространство $X_2$ некомпактное, зато несвязное.

Мне пока не удалось построить пример некомпактного связного метрического пространства, НЕ обладающего свойством (*). Но я уверен, что такое пространство существует, поэтому не пытаюсь выводить свойство (*) из связности и некомпактности. Или, быть может, я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение04.12.2023, 02:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4835
Anton_Peplov в сообщении #1620830 писал(а):
$X_1 = [0, 2]$. Рассмотрим открытый шар $B(1,1)$ радиуса 1 с центром в точке 1. Имеем $B(1,1)  = (0, 2), \operatorname{Cl} B(1,1) = X_1,  \operatorname{int} X_1 =  X_1 \ne B(1,1)$.
Искомое некомпактное связное пространство можно получить незначительным изменением этого примера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение04.12.2023, 02:21 


02/07/23
118
Anton_Peplov в сообщении #1620830 писал(а):
Вопрос № 2. Каноническая открытость шаров

У $\mathbb R^n$ есть приятное свойство. Каждый открытый шар канонически открыт, т.е. является внутренностью своего замыкания. Обозначим это свойство (*).

Пусть $X$ - метрическое пространство. Можно ли обеспечить свойство (*), потребовав от $X$ каких-то стандартных вещей?

Прежде всего замечу, что свойство (*) - не наследственное. Вот пример подпространства $\mathbb R$, не обладающего свойством (*):

$X_1 = [0, 2]$. Рассмотрим открытый шар $B(1,1)$ радиуса 1 с центром в точке 1. Имеем $B(1,1)  = (0, 2), \operatorname{Cl} B(1,1) = X_1,  \operatorname{int} X_1 =  X_1 \ne B(1,1)$.

Бросается в глаза, что пространство $X_1$, в отличие от $\mathbb R$, компактное. Можно построить и некомпактный контрпример с тем же самым шаром $B(1,1)$:

$X_2 = (- \infty, -1) \cup [0, 2]$.

Пространство $X_2$ некомпактное, зато несвязное.

Мне пока не удалось построить пример некомпактного связного метрического пространства, НЕ обладающего свойством (*). Но я уверен, что такое пространство существует, поэтому не пытаюсь выводить свойство (*) из связности и некомпактности. Или, быть может, я не прав?

Рассмотрите проколотый круг $(x^2+y^2\leqslant1) \backslash (1/2,1/2)$ на плоскости. Если вам захочется потребовать ещё и односвязность, то возьмите проколотый шар в пространстве, если 2-связность - то шар в $R^4$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение04.12.2023, 12:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8492
(Я написал ерунду и стер ерунду, попробуем еще раз).

Leeb в сообщении #1620912 писал(а):
Рассмотрите проколотый круг $(x^2+y^2\leqslant1) \backslash (1/2,1/2)$ на плоскости. Если вам захочется потребовать ещё и односвязность, то возьмите проколотый шар в пространстве, если 2-связность - то шар в $R^4$ и т.д.
Давайте убедимся, что я правильно понимаю Вашу запись. Конструируя пространство $X$, Вы выбросили из круга ровно одну точку, с координатами $x = 1/2, y = 1/2$, так? Тогда я не вижу, где в этом пространстве открытый шар, который не является внутренностью своего замыкания.

Пусть центр открытого шара $B$ - точка $x = 0, y = 0$, радиус шара обозначим $r$. Обозначим $S$ сферу $S \subset \mathbb R^2$ с тем же центром того же радиуса. Рассмотрим случай $r = 1/2$. Тогда $\operatorname {Fr} B = S \setminus (1/2,1/2), \operatorname {Cl} B = B \cup \operatorname {Fr} B,  \operatorname {int \, Cl} B = B$. Шар канонически открыт. В случае $r > 1/2$ имеем $\operatorname {Fr} B = S$ и шар снова канонически открыт. Случай $r < 1/2$ интереса не представляет.

Что я упускаю?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group