Вопрос № 2. Каноническая открытость шаров У
есть приятное свойство. Каждый открытый шар канонически открыт, т.е. является внутренностью своего замыкания. Обозначим это свойство (*).
Пусть
- метрическое пространство. Можно ли обеспечить свойство (*), потребовав от
каких-то стандартных вещей?
Прежде всего замечу, что свойство (*) - не наследственное. Вот пример подпространства
, не обладающего свойством (*):
. Рассмотрим открытый шар
радиуса 1 с центром в точке 1. Имеем
.
Бросается в глаза, что пространство
, в отличие от
, компактное. Можно построить и некомпактный контрпример с тем же самым шаром
:
.
Пространство
некомпактное, зато несвязное.
Мне пока не удалось построить пример некомпактного связного метрического пространства, НЕ обладающего свойством (*). Но я уверен, что такое пространство существует, поэтому не пытаюсь выводить свойство (*) из связности и некомпактности. Или, быть может, я не прав?