Продолжаю размышлять на ту же тему.
У
есть приятное свойство. Каждый открытый шар канонически открыт, т.е. является внутренностью своего замыкания. Обозначим это свойство (*).
Вопрос: сохраняется ли свойство (*) при гомеоморфизме? Скорее всего, нет, поскольку "открытый шар" - не чисто топологическое понятие, он определяется метрически:
. По-видимому, нет никакого способа определить открытый шар в чисто топологических терминах. А если так, то свойство (*) не обязано сохранятся гомеоморфизмом, как не сохраняются расстояния или полнота.
Если эти рассуждения верны, то свойство (*) невозможно получить, комбинируя чисто топологические требования вроде (не)связности, (не)компактности и т.д.
Однако для полной ясности я не отказался бы от примера, когда пространство
обладает свойством (*), а гомеоморфное ему пространство
- не обладает. Увы, я не так искусен в построении примеров, как хотелось бы. Может быть, эта задача заинтересует кого-то из математиков?