2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение04.12.2023, 12:37 


02/07/23
118
Anton_Peplov в сообщении #1620931 писал(а):
(Я написал ерунду и стер ерунду, попробуем еще раз).

Leeb в сообщении #1620912 писал(а):
Рассмотрите проколотый круг $(x^2+y^2\leqslant1) \backslash (1/2,1/2)$ на плоскости. Если вам захочется потребовать ещё и односвязность, то возьмите проколотый шар в пространстве, если 2-связность - то шар в $R^4$ и т.д.
Давайте убедимся, что я правильно понимаю Вашу запись. Конструируя пространство $X$, Вы выбросили из круга ровно одну точку, с координатами $x = 1/2, y = 1/2$, так? Тогда я не вижу, где в этом пространстве открытый шар, который не является внутренностью своего замыкания.

Пусть центр открытого шара $B$ - точка $x = 0, y = 0$, радиус шара обозначим $r$. Обозначим $S$ сферу $S \subset \mathbb R^2$ с тем же центром того же радиуса. Рассмотрим случай $r = 1/2$. Тогда $\operatorname {Fr} B = S \setminus (1/2,1/2), \operatorname {Cl} B = B \cup \operatorname {Fr} B,  operatorname {int Cl} B = B[math]$. Шар канонически открыт.  В случае  $r > 1/2$ имеем $\operatorname {Fr} B = S$ и шар снова канонически открыт. Случай $r < 1/2$ интереса не представляет.

Что я упускаю?

Вы правильно понимаете запись, в качестве всего пространства мы рассматриваем точки плоского диска радиуса 1, у которого выкинула точка $1/2,1/2$ (можно и любую другую нецентральную, или вообще любое подмножество точек, лишь бы оно не было всюду плотным и точки не были все на границе и не попадали в центр, хотя это я просто перестраховываюсь) - точно так же, как вы в прошлом примере брали в качестве всего пространства отрезок. Теперь рассматриваем открытый шар радиуса 1 с центром в точке $0,0$. Метрика индуцирована с плоскости, поэтому этот шар является единичным плоским диском без границы с проколом. Его замыканием является плоский диск с границей и с проколом. Но т.к. данный плоский диск с границей и проколом является всем пространством, то его внутренность совпадает с ним самим, а не с открытым шаром. Это полная аналогия с вашим примером с отрезком, с той лишь разницей, что плоский диск с границей и проколом не является компактным пространством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение04.12.2023, 12:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8506
Так, теперь понял. Упустил, что круг $x^2 + y^2 \le 1$, а не $x^2 + y^2 < 1$, и тем не менее некомпактный из-за прокола. И ведь вертелось в голове что-то подобное, и контрпримеры на плоскости пытался строить, но заплутал в трех соснах, увы мне. Спасибо за помощь.

Однако исходный вопрос остается:
Anton_Peplov в сообщении #1620830 писал(а):
Можно ли обеспечить свойство (*), потребовав от $X$ каких-то стандартных вещей?
Подозреваю, что ответ - "нет", но хотелось бы услышать мнение профессиональных математиков, лучше меня знакомых с топологией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение04.12.2023, 12:59 


02/07/23
118
А вы конкретизируйте, что вы подразумеваете под "стандартными вещами". Хотя бы как-то . Это ведь даже не слово "естественный", которое и так сильно зависит от контекста. Все-таки общая топология слишком уж патологической бывает.
Пока в порядке тривиального наблюдения - это всегда так в нормированных пространствах, по крайней мере, над "хорошими" полями (заметьте, что предыдущие примеры в нормированные не превращаются никак, ни над каким полем). В совсем общем случае наверное никак, ибо ни полноты, ни свойства "когда замыканием открытого шара является замкнутый шар", как показывают примеры не хватает. Можно было бы подумать, что полнота и некомпактность, но тогда контрпримером будет замкнутый шар в любом бесконечномерном банаховом пространстве, опять же по прямой аналогии с нашим примером выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение04.12.2023, 13:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8506
Leeb в сообщении #1620936 писал(а):
А вы конкретизируйте, что вы подразумеваете под "стандартными вещами".
Стандартные вещи - это свойства, у которых есть общепринятые названия: все виды компактности (обычная, счетная, локальная, секвенциальная и т.д.), все виды связности и какие там еще топологические свойства не фиксированы для метрического пространства. Плюс чисто метрические свойства со своими названиями - та же полнота.

Меня бы вполне устроил и ответ "свойство (*) называется кузявостью (см. параграф в учебнике таком-то) и, вообще говоря, не гарантируется никакими другими стандартными свойствами".

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение04.12.2023, 13:33 


02/07/23
118
Хмм, да, такое свойство оказывается есть. Правда, формулируется не только для метрических пространств, называется регулярное открытое множество, https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_open_set
Там же есть немного ссылок, и еще см. https://en.wikipedia.org/wiki/Semiregular_space - там, где регулярные открытые пространства образуют базу. А сюда как раз входят искомые вами метрические пространства с указанным свойством. И да, нормированные, конечно же, сюда очевидно входят.
Не силен в общей топологии, но чем смог тем помог.

(Оффтоп)

Но если нужна помощь в алгебраической - обращайтесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение04.12.2023, 13:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8506
Leeb в сообщении #1620938 писал(а):
Правда, формулируется не только для метрических пространств, называется регулярное открытое множество
Мне оно известно под названием "канонически открытое множество", я его упоминал в первом посте.

А вот связь с аксиомой регулярности (третьей аксиомой отделимости) для меня внове. Оказывается, каждое регулярное пространство полурегулярно, т.е. канонически открытые множества образуют базу. В метрическом случае с очевидностью будет база из канонически открытых шаров, даже если и не каждый открытый шар канонически открыт. Это новое для меня знание.

Не совсем то, что я искал. Но того, что я искал, вполне возможно, просто не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение10.12.2023, 14:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8506
Продолжаю размышлять на ту же тему.

Anton_Peplov в сообщении #1620830 писал(а):
У $\mathbb R^n$ есть приятное свойство. Каждый открытый шар канонически открыт, т.е. является внутренностью своего замыкания. Обозначим это свойство (*).
Вопрос: сохраняется ли свойство (*) при гомеоморфизме? Скорее всего, нет, поскольку "открытый шар" - не чисто топологическое понятие, он определяется метрически: $B(x, r) = \{y|\rho (x, y) < r \}$. По-видимому, нет никакого способа определить открытый шар в чисто топологических терминах. А если так, то свойство (*) не обязано сохранятся гомеоморфизмом, как не сохраняются расстояния или полнота.

Если эти рассуждения верны, то свойство (*) невозможно получить, комбинируя чисто топологические требования вроде (не)связности, (не)компактности и т.д.

Однако для полной ясности я не отказался бы от примера, когда пространство $X$ обладает свойством (*), а гомеоморфное ему пространство $Y$ - не обладает. Увы, я не так искусен в построении примеров, как хотелось бы. Может быть, эта задача заинтересует кого-то из математиков?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение10.12.2023, 14:38 


02/07/23
118
Замкнутая полоса в $R^2$ с проколом гомеоморфна $D^2$ с выкинутым диском $D^2$, для полосы ваше свойство очевидно выполнено, для диска с выкинутым дисков - нет по причинам, которые мы разбирали выше (пример обобщается на $R^n$). Можно и проще - полупространство $R^n$ и $D^n$ с выкинутым куском границы или проколотое полупространство $R^n\backslash pt$ и $D^n$ с проколом и выкинутым куском границы. Да даже и проколы не нужны, на самом деле, они ж только для прошлого вопроса с некомпактностью нужны были.

Вообще, всегда, когда надо построить контрпример, показывающий, что какое-то метрическое свойство не сохраняется при гомеоморфизме, надо смотреть в сторону гомеоморфизмов ограниченных и неограниченных пространств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение10.12.2023, 20:27 


02/07/23
118
Тут я должен поправиться - полупространство, естественно, не подходит (берём шары радиуса r, с центром в точке на расстоянии от граничной плоскости меньше r). Зато подойдёт само $R^n$ - оно гомеоморфно $S^n\backslash pt$, которое можно вложить как метрическое подпространство $R^{n+1}$ и в котором будет работать прошлая идея (берём любую точку и смотрим открытый и замкнутый шары радиуса, равного диаметру сферы). Об этом примере я думал еще в первый раз, но почему-то решил привести другие. Короче, идея с гомеоморфностью между ограниченным и неограниченным все равно всегда работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение16.12.2023, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8506
Интересно, что дискретное пространство обладает свойством (*). То есть, хотя свойство (*) выглядит полезным, оно не гарантирует никаких других полезных свойств. Нет менее полезного метрического пространства, чем дискретное. Оно годится разве что для построения контрпримеров к ученическим гипотезам вроде моих.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение17.12.2023, 12:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8506
Очевидно, для свойства (*) достаточно, но не необходимо, сочетание двух условий:
1. Замкнутый шар $D(x, r)$ есть замыкание открытого шара $B(x,r)$.
2. Граница замкнутого шара $D(x, r)$ есть сфера $S(x, r)$ (откуда автоматически открытый шар $B(x,r) = \operatorname{int} D(x, r)$).


Условие 1 эквивалентно очень красивому требованию: "в любой окрестности точки $y \ne x$ найдется точка $z$, которая ближе к $x$, чем сама $y$". Хотелось бы осмыслить и условие 2 в терминах точек, окрестностей и расстояний, а не шаров и сфер. Но (пока?) не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение17.12.2023, 12:50 


16/12/23
9
"В любой окрестности точки $y \neq x$ найдётся точка $z$, которая дальше от $x$, чем сама $y$"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение17.12.2023, 13:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8506
schmetterling в сообщении #1622758 писал(а):
"В любой окрестности точки $y \neq x$ найдётся точка $z$, которая дальше от $x$, чем сама $y$"?
Нет, не годится.
Рассмотрим пространство $X = (- \infty, 2]$ с метрикой, унаследованной из $\mathbb R$. Очевидно, Ваше условие в $X$ выполняется. Тем не менее $D(1, 1) = [0, 2], \  \operatorname{Fr} D(1, 1) = \{0\}$ (точка 2 - внутренняя для этого шара), но $S(1, 1) = \{0, 2\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение17.12.2023, 13:17 


16/12/23
9
Положим $x = 1$, $y = 2$, $\text{окрестность }y = (\frac32; 2]$. Пожалуйста, укажите $z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер
Сообщение17.12.2023, 13:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8506
schmetterling, Вы правы, я перепутал точки и написал глупость (погубит меня невнимательность). Мой пример не подходит.
Я бы предложил поискать контрпример на плоскости.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Ivan 09


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group