Продолжаю размышлять на ту же тему.
У
![$\mathbb R^n$ $\mathbb R^n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/c/b6c7cadec618bfd8eac2edf55746ded582.png)
есть приятное свойство. Каждый открытый шар канонически открыт, т.е. является внутренностью своего замыкания. Обозначим это свойство (*).
Вопрос: сохраняется ли свойство (*) при гомеоморфизме? Скорее всего, нет, поскольку "открытый шар" - не чисто топологическое понятие, он определяется метрически:
![$B(x, r) = \{y|\rho (x, y) < r \}$ $B(x, r) = \{y|\rho (x, y) < r \}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/2/cc204e4c5ae1803af102a468f71aec8882.png)
. По-видимому, нет никакого способа определить открытый шар в чисто топологических терминах. А если так, то свойство (*) не обязано сохранятся гомеоморфизмом, как не сохраняются расстояния или полнота.
Если эти рассуждения верны, то свойство (*) невозможно получить, комбинируя чисто топологические требования вроде (не)связности, (не)компактности и т.д.
Однако для полной ясности я не отказался бы от примера, когда пространство
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
обладает свойством (*), а гомеоморфное ему пространство
![$Y$ $Y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/a/91aac9730317276af725abd8cef04ca982.png)
- не обладает. Увы, я не так искусен в построении примеров, как хотелось бы. Может быть, эта задача заинтересует кого-то из математиков?