Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер

[schmetterling]

Нет его.

[Anton_Peplov]

Тогда буду доказывать (но уже не сегодня, а на свежую голову).
Спасибо. Кажется, получается очень красиво.

[Anton_Peplov]

Эх, ну как же я прошел мимо такой очевидной вещи! Построил сослепу неправильный контрпример и все, развернулся и пошел. Спасибо schmetterling, что пнул в нужную сторону.

Итак, следующие два условия эквивалентны:

Anton_Peplov в сообщении #1622755 писал(а):

Граница замкнутого шара $D(x, r)$ есть сфера $S(x, r)$

schmetterling в сообщении #1622758 писал(а):

В любой окрестности точки $y \neq x$ найдётся точка $z$, которая дальше от $x$, чем сама $y$

Докажем это в одну сторону. Пусть граница замкнутого шара $D(x, r)$ есть сфера $S(x, r)$. Положим $r = \rho(x, y)$. По условию, точка $y$ граничная для $D(x, r)$, значит, в любой ее окрестности найдется точка $z \notin D(x, r)$, что по определению означает $\rho(x, z) > \rho(x, y)$.
Обратно, пусть в любой окрестности точки $y \neq x$ найдётся точка $z$, которая дальше от $x$, чем сама $y$. В любом пространстве $\operatorname{Fr} D(x, r) \subset S(x, r)$, так что остается доказать включение $S(x, r) \subset \operatorname{Fr} D(x, r)$, т.е. что каждая точка сферы - граничная. Если сфера пуста, то условие выполняется. Возьмем $y \in S(x,r)$ По условию, в любой ее окрестности найдется точка $z \notin D(x, r)$, т.е. точка $y$ не внутренняя для $D(x, r)$. Но по определению $S(x,r) \subset D(x, r)$, и раз точка не внутренняя, она может быть только граничной. Теорема доказана.

Надо же, как все получилось легко и красиво. А я-то плутал в трех соснах.

[Anton_Peplov]

Итого имеем две удивительно простые и красивые теоремы, симметричные друг другу.

Теорема 1. Следующие три условия эквивалентны:
1.1. В любой окрестности точки $y \ne x$ найдется точка $z$, которая ближе к $x$, чем сама $y$.
1.2. Для любых $x, r$ верно $\operatorname{Cl} B (x, r) = D(x, r)$.
1.3. Для любых $x, r$ верно $\operatorname{Fr} B (x, r) = S(x, r)$.

Теорема 2. Следующие три условия эквивалентны:
2.1. В любой окрестности точки $y \ne x$ найдется точка $z$, которая дальше от $x$, чем сама $y$.
2.2. Для любых $x, r$ верно $\operatorname{int} D (x, r) = B(x, r)$.
2.3. Для любых $x, r$ верно $\operatorname{Fr} D (x, r) = S(x, r)$.

Если в пространстве одновременно выполняются условия 1.1 и 2.1, то каждый открытый шар $B(x, r)$ канонически открыт, каждый замкнутый шар $D(x, r)$ канонически замкнут, открытый шар есть внутренность замкнутого, замкнутый есть замыкание открытого и сфера есть граница обоих. То есть в точности то, что к чему мы привыкли.

Однако само по себе условие (*) "каждый открытый шар канонически открыт" и даже его усиление (**) "каждый открытый шар канонически открыт и каждый замкнутый шар канонически замкнут" не равносильно ни условию 1.1, ни 1.2. Например, (**) выполняется в дискретном пространстве.

При этом условие (*) и, вероятно, (**), 1.1 и 2.1 - существенно метрические, то есть не сохраняются при гомеоморфизме. Следовательно, их нельзя получить комбинируя топологические свойства.

Спасибо Leeb, schmetterling и Mikhail_K, вопрос № 2 "Каноническая открытость шаров" закрыт.