Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер

[Anton_Peplov]

В этой теме у меня будет несколько вопросов к форумчанам, Богу, жизни, Вселенной и вообще, относительно взаимосвязи вышеупомянутых внутренностей, замыканий и границ. Часть вопросов я уже решил самостоятельно, наклепав контрпримеров к наивной интуиции, часть нашел в учебниках, но на некоторых мозг сломался. Вопросы буду задавать по одному, следующий - после разрешения предыдущего.

Итак, Вопрос № 1. Задача 17.21 из Виро и К, "Элементарная топология".

Доказать, что если в компактном метрическом пространстве замыкание любого открытого шара $B(x, r)$ равно замкнутому шару $D(x, r)$, то любой открытый шар связен.

Первое, что приходит в голову - взять в упомянутом пространстве произвольный шар $B(x, r)$ такой, что $[B(x,r)] = D(x, r)$ и показать, что он связен. Увы, такое утверждение неверно. Рассмотрим, например, пространство $[-10, -5] \cup \{1\} \cup \{2\} \cup [5, 10]$ с канонической топологией и в нем открытый шар $B(1, 3) = \{1, 2\}$. $[B(1, 3)] = D(1, 3)$, но $B(1, 3)$ несвязен. Контпримером к исходному утверждению это, однако, не является, т.к. оно было про "замыкание любого открытого шара $B(x, r)$ равно замкнутому шару $D(x, r)$", а в построенном пространстве это не так, например, для шара $B(2, 3)$. Таким образом, если доказывать от противного, мы не можем взять первый попавшийся несвязный шар и доказать, что для него $[B(x, r)] \ne D(x, r)$ - для него-то это равенство может не выполняться, но существует шар, для которого оно не выполняется - где-то там, вдали, покатись, клубочек, где тут мои семь пар железных сапог? Значит, ткнуть пальцем в несвязный шар - неверный путь. Какой тогда верный?

Далее, неясно, как использовать компактность. Из нее, конечно, следует, что и всякий замкнутый шар компактен, он же замкнутый. Перспектива строить (от противного) открытое покрытие, из которого невозможно выделить конечное подпокрытие, наполняет меня таким суеверным ужасом, что я лучше подумаю о центрированных системах замкнутых множеств. Но и тут я ничего не придумал. Ну, допустим, выберем мы $\varepsilon > 0$ и построим систему замкнутых шаров диаметра $\varepsilon$ с центрами во всех точках. Из компактности следует, что пересечение такой системы непусто. Ну и дальше что? Или, может быть, все-таки про покрытия, покрыть что-нибудь открытыми шарами?

В общем, пните меня, please, в правильном направлении.

[g______d]

Указание: в компактном пространстве имеет смысл расстояние от точки до замкнутого множества (которое равно нулю титтк точка лежит в этом множестве).

[Mikhail_K]

g______d в сообщении #1193437 писал(а):

в компактном пространстве имеет смысл расстояние от точки до замкнутого множества (которое равно нулю титтк точка лежит в этом множестве).

Это верно во всех метрических пространствах, не только в компактных.
Для любого метрического пространства $X$, для любого множества $M\subset X$ и точки $x\in X$ определим $\rho(x,M)=\inf\limits_{y\in M}\rho(x,y)$.
Тогда $\rho(x,M)=0$ в том и только том случае, когда $x$ есть точка прикосновения множества $M$.
Для замкнутых множеств это равносильно $x\in M$.

[g______d]

Да, сорри, я плохо выразился. В этой задаче важно, что $\inf \rho(x,y)$ достигается на некоторой точке $y\in M$.

[Anton_Peplov]

Спасибо, после выходных я над этим подумаю.

[alcoholist]

$A\Rightarrow B$ равносильно $\neg B\Rightarrow \neg A$
в нашем случае вторая импликация хороша тем, что там как раз надо просто пример построить: если найдется несвязный открытый шар, то найдется и открытый шар, замыкание которого не совпадает с соответствующим замкнутым шаром

[Anton_Peplov]

alcoholist в сообщении #1193515 писал(а):

если найдется несвязный открытый шар, то найдется и открытый шар, замыкание которого не совпадает с соответствующим замкнутым шаром

Проблема в том, что это не обязательно будет этот же шар. И как по одному шару построить другой, я пока не знаю.

g______d в сообщении #1193461 писал(а):

В этой задаче важно, что $\inf \rho(x,y)$ достигается на некоторой точке $y\in M$.

Всегда считал, что это так для любого замкнутого $M$ (не обязательно компактного). Ошибался?

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1193559 писал(а):

Ошибался?

Да. Тривиальный контрпример: пространство, состоящее из двух интервалов.

По задаче. Возьмите несвязный открытый шар. У него есть компонента связности, содержащая центр и хотя бы одна компонента, не содержащая. Рассмотрите открытый шар с тем же центром радиуса, равного расстоянию от центра до второй компоненты. Его замыкание захватит какую-то точку замыкания второй компоненты (и вот тут-то компактность и существенна). Далее два варианта -- принадлежит эта точка замыканию первой компоненты или нет.

[Anton_Peplov]

ewert в сообщении #1193563 писал(а):

Тривиальный контрпример: пространство, состоящее из двух интервалов.

Спасибо. Все-таки неистребима привычка, не проверяя, тащить утверждения из $\mathbb R$ в произвольное метрическое пространство. Следишь за собой, следишь - и все равно на чем-нибудь да проколешься.

-- 18.02.2017, 12:16 --

g______d в сообщении #1193461 писал(а):

В этой задаче важно, что $\inf \rho(x,y)$ достигается на некоторой точке $y\in M$.

Да, у этого факта красивое доказательство - через непрерывность метрики.

[Anton_Peplov]

ewert в сообщении #1193563 писал(а):

Возьмите несвязный открытый шар. У него есть компонента связности, содержащая центр и хотя бы одна компонента, не содержащая. Рассмотрите открытый шар с тем же центром радиуса, равного расстоянию от центра до второй компоненты. Его замыкание захватит какую-то точку замыкания второй компоненты (и вот тут-то компактность и существенна). Далее два варианта -- принадлежит эта точка замыканию первой компоненты или нет.

Берем несвязный открытый шар $B(x, r)$. У него есть хотя бы две различные компоненты связности, причем они не могут одновременно содержать центр, т.к. пересекающиеся компоненты связности совпадают. Обозначим компоненту связности, содержащую центр, как $C_1$. Пусть среди остальных компонент связности есть ближайшая к $C_1$. Обозначим ее $C_2$. Рассмотрим открытый шар $B(x, \rho(x, C_2))$. Т.к. $C_2$ - замкнутое (как любая компонента связности) подмножество компактного пространства, оно компактно, и поэтому найдется точка $y \in C_2$ такая, что $\rho(x, C_2) = \rho(x, y)$. По условию, $[B(x, \rho(x, C_2))] = D(x, \rho(x, C_2))$. То есть $y \in [B(x, \rho(x, C_2))]$. При этом $y \notin C_1$, т.к. пересекающиеся компоненты связности совпадают.
Остается показать, что $y \in C_1$, и тем самым придти к противоречию. Для этого достаточно показать, что $B(x, \rho(x, C_2)) \subset C_1$. Но это очевидно из того, что $C_2$ - ближайшая к $C_1$ компонента связности, отличная от $C_1$. Следовательно, $B(x, \rho(x, C_2))$ связен, его замыкание связно, и $y_1 \in C_1$. Мы пришли к противоречию, и теорема доказана для случая, когда есть ближайшая к $C_1$ отличная от нее компонента связности $C_2$. А если не существует?

[g______d]

Идея такая же, но компоненты связности не нужны. Предположим, что всё пространство является объединением двух открыто-замкнутых нетривиальных непересекающихся подмножеств $C_1$ и $C_2$. Пусть $x\in C_1$, $y\in C_2$, $\rho(x,y)=\rho(x,C_2)=d$. Рассмотрим открытый шар $B(x,d)$. Он целиком лежит в $C_1$. Его замыкание -- тоже (поскольку $C_1$ замкнуто). С другой стороны, в его замыкании есть точка $y$.

-- Вс, 19 фев 2017 10:31:24 --

Это я случайно доказал, что всё пространство связно. Из этого, вообще говоря, не следует, что любой открытый шар связен, но доказательство можно повторить для открытого шара.

[g______d]

Кстати, тут есть забавный момент, что в случае, когда мы применяем рассуждение к шару, $C_2$ не обязано быть компактным; тем не менее, точка $y$ всё равно найдётся. Пока не буду подсказывать, почему.

[Anton_Peplov]

Спасибо!

Интересно, что обратной теоремы не существует: легко построить связное компактное подмножество плоскости, в котором найдется $[B(x, r)] \ne D(x, r)$.

-- 19.02.2017, 21:56 --

g______d в сообщении #1193884 писал(а):

когда мы применяем рассуждение к шару, $C_2$ не обязано быть компактным; тем не менее, точка $y$ всё равно найдётся. Пока не буду подсказывать, почему.

Я беру паузу, чтобы почесать в затылке.

[Anton_Peplov]

g______d в сообщении #1193884 писал(а):

когда мы применяем рассуждение к шару, $C_2$ не обязано быть компактным; тем не менее, точка $y$ всё равно найдётся. Пока не буду подсказывать, почему.

Сдаюсь. Не знаю, как использовать то, что речь идет именно о шаре, все рассуждения получаются для пространства вообще, а там без компактности не доказывается...

[g______d]

У меня была ошибка в рассуждении. Если $x$ -- произвольная точка $C_1$, то может и не найтись.

Нужно дополнительно использовать, что $x$ -- центр исходного шара (при необходимости поменяв местами $C_1$ и $C_2$. Тогда точку $y$ можно искать не во всём $C_2$, а в пересечении $C_2$ с некоторым замкнутым шаром меньшего радиуса, которое уже будет компактным.