Удовольствие и интерес при изучении математики

[EminentVictorians]

ozheredov в сообщении #1619689 писал(а):

Давайте на примере - школьная тригономертия. Синусы и косинусы - это фильтрация сигналов, и основа вейвлет-теории для анализа временных рядов, расчеты электрических цепей и т.д. Но у школоло не может быть нужного бэкграунда, чтобы все это понять. Он видит перед собой гавкающую уродливую училку красивую аспирантку с мягким голосом, бегающую вокруг непонятно зачем существующего на доске и в природе набора символов $\cos (2x) = 0$. Откуда возмется интерес?

Тригонометрия может быть интересна связью с геометрией. В том смысле, что тригонометрия дает язык для формулировки очень лаконичных и сильных теорем, типа теоремы синусов или косинусов. Сама по себе концепция "решения треугольников" довольно приятна своей универсальностью и простотой.

По поводу школьной программы вообще отдельный разговор. Я когда учился в школе, очень любил различные текстовые и "практические" задачи (поэтому, я нормально относился, в частности, к геометрии). Так что у меня не было проблемы с мотивацией - я учил те же символьные преобразования чтобы использовать их в геометрии или в текстовых задачах. Я даже могу привести характерный пример. У меня так получилось, что я решал какую-то задачу и самостоятельно вышел на квадратное уравнение. Как его решать - я не знал. Крутил его и так и этак. После всех этих телодвижений, у меня получилось самостоятельно нагуглить о факте существования такого класса уравнений и я сам освоил способ их решения. Очень этому рад был, кстати. Было ощущение, что море по колено и я сейчас смогу кучу текстовых задач нарешать

ozheredov в сообщении #1619687 писал(а):

Удовольствие должно быть перед и после, но не во время.

Да с чего бы? Тоже история. У Маклейна в первых главах книги есть параграф о категориях с конечными произведениями. Когда я его читал в первый раз, я вообще не понял, в чем прикол. Потом я посмотрел в упражнения, там были нарисованы какие-то дикие диаграммы, и я просто решил забить. "Потом прочитаю и пойму", подумал я. И забыл о том параграфе. Потом, где-то через пол года я занимался другими вещами - линейной алгеброй (я там доказывал, что если моноидальная категория достаточно хорошая, т.е. замкнутая + симметрическая + кополная, то забывающий функтор из категории ее моноидальных объектов в нее саму будет иметь левый сопряженный). Ну и в процессе меня осенило. Я подумал: "Так ведь любая категория с бинарными произведениями и терминальным объектом будет моноидальной! Я даже знаю, чем будет являться ассоциатор!". Я был очень рад, причем прямо в процессе доказательства этого факта про категории с бинарными произведениями. Вот прямо непосредственно в моменте занятий математикой. А тот параграф, который был совершенно диким при первом чтении, оказался по итогу абсолютно элементарным.

И таких историй было полным полно. Был случай с учебником Винберга, глава о группах. Я даже писал об этом в теме "Что Вас потрясло в математике".

EminentVictorians в сообщении #1564259 писал(а):

Сегодня читал у Маклейна про категории функторов. Там был пример с моноидом $\mathbf{M}$ (категорией с единственным объектом) и категорией $\mathbf{Set^M}$ (категорией функторов из $\mathbf{M}$ в $\mathbf{Set}$). Я начинаю читать строчку: "Если $M$ - моноид... ", останавливаюсь на слове "моноид", чтобы воспроизвести в уме оставшийся абзац, а затем сравнить с текстом. Сразу пришла в голову мысль: "рассмотрю ка я вместо моноида сначала группу, а потом уже моноид". Все легко: под группой $\mathbf{G}$ подразумевается категория с одним объектом, где все стрелки обратимы (категории, где все стрелки обратимы, называются группоидами). Рассмотрим вместо $\mathbf{Set}$ категорию с теми же объектами, но вместо стрелок будем брать не любые функции между множествами, а только биекции (не знаю, как эту категорию обозначить, пусть будет $\mathbf{Set_{1-1}}$). Первая радость: функтор из $\mathbf{G}$ в $\mathbf{Set_{1-1}}$ - это действие группы $G$ на множестве $X$ - образе этого функтора! Значит категория функторов $\mathbf{Set_{1-1}^G}$ будет состоять из действий группы $G$ - очень неплохо. Стрелками будут естественные преобразования действий. Раз в $\mathbf{Set_{1-1}}$ у нас только биекции, значит и естественные преобразования - биективные функции. Хочется назвать стрелки в $\mathbf{Set_{1-1}^G}$ "изоморфизмами действий". Ловлю себя на мысли, что такое словосочетание я где-то уже слышал. Полез в "Курс алгебры" Винберга в параграф о действиях групп. Читаю и офигеваю - там как раз написано об эквивариантных отображениях и изоморфизмах действий. Весь этот сюжет для меня поразительный, но самое поразительное в другом. Эти эквивариантные отображения (когда я их читал у Винберга) заняли в моем личном рейтинге первую строчку в списке самых неестественных конструкций из теории групп (да и из всей алгебры). Я без преувеличения несколько дней безуспешно пытался осознать ту страницу у Винберга и каждый раз бросал с мыслью: "Какая же все это искусственная дичь". По итогу кстати так ничего и не осознал и никогда бы не вспомнил, если бы меня попросили воспроизвести ту страницу по памяти. Но сейчас, когда я понял категорную интерпретацию этой темы, я могу сказать, что это максимально естественные объекты. И сейчас они занимают первые строчки уже в другом моем рейтинге - самых приятных конструкций. Наверное в этом и заключается самая большая радость в математике - ловить такие взлеты после казалось бы мертвых падений.

Вот скажите, будь я студентом, правильно было бы задалбывать меня этим неудачным параграфом из Винберга и требовать знания от зубов про эти эквивариантные отображения? Или лучше дать мне время, чтобы я сам в тихой спокойной обстановке все бы понял так как надо, и без прессинга со стороны?

[Geen]

Джентльмены, хм... А вам не кажется ли, что тема совсем не о ваших личных тараканах?

[ozheredov]

Dedekind в сообщении #1619698 писал(а):

Так наоборот, чем больше тебе подходит стиль преподавания конкретного препода - тем больше ты сможешь понять.

Тут есть подводный камень - ложное впечатление, что ты чего-то понял. Особенно если препод мягкий.

Dedekind в сообщении #1619698 писал(а):

Да и потом, что считать "пониманием" - вопрос открытый.

Скажем так, понимание - это пучок связей между сущностями, объем которого достаточен для возникновения устойчивого интереса. В наше время интерес появляется от ощущения того, что а) область востребована (с обоснованием того, что она востребована) и б) ты осваиваешь знания с (субъективно) достаточной скоростью, чтобы к концу обучения влиться туда, где эта область востребована.

-- 25.11.2023, 00:33 --

EminentVictorians в сообщении #1619702 писал(а):

Или лучше дать мне время, чтобы я сам в тихой спокойной обстановке все бы понял так как надо, и без прессинга со стороны?

Пока Вы в тихой спокойной обстановке всё поймете, Вас десять раз отчислят. Если конечно Вы не гений.

Geen в сообщении #1619703 писал(а):

А вам не кажется ли, что тема совсем не о ваших личных тараканах?

По-моему, это самые распространенные и самые противные тараканы. Если их потравить, остальные сами уйдут не будут представлять никакой угрозы. Поправьте меня, если не так.
Возможно, имеет смысл отделить последние N сообщений от исходного треда про ЕГЭ и ментальные состояния.

[EminentVictorians]

ozheredov в сообщении #1619704 писал(а):

Пока Вы в тихой спокойной обстановке всё поймете, Вас десять раз отчислят.

Вот именно. Моя мысль в том и заключалась, что если хочется стать профессиональным математиком, надо на берегу понимать характер времяпровождения в вузе. Я вот посмотрел на себя в зеркало и понял, что мне в профессионалы не светит. Мне придется тратить слишком много усилий на неотносящиеся к обучению активности (вроде сессий, контрольных работ и так далее).

[Mikhail_K]

ozheredov в сообщении #1619701 писал(а):

Можете привести пример?

Даже не знаю, какой конкретно пример привести. Скажу вкратце. Конечно, если мат.анализ начинать с рассказа о сечениях Дедекинда, особенно без внятного объяснения зачем их вообще придумали - то вряд ли он многих заинтересует. Для вчерашних школьников сечения Дедекинда - это слишком абстрактная вещь, до неё надо созреть. Я начинаю свой курс с экскурса в историю мат.анализа, затем вспоминаем со студентами что такое производная и какой у неё физический смысл, затем я кратко рассказываю о её многочисленных применениях, в том числе о своих собственных прикладных исследованиях и где там нужна производная (на самом деле, она там нужна совершенно везде, но несколько ярких примеров привести можно). Дальше моя цель - прийти к строгому определению производной как можно быстрее, приводя только те теоремы из теории пределов и непрерывных функций, которые для этого непосредственно необходимы. Эти теоремы идут цепочкой, так что предыдущие используются в следующих. К другим теоремам про пределы и непрерывность мы вернёмся позже, когда в них увидится необходимость. Когда производная уже введена, надо показать, что она возникает совершенно везде - при описании остывания чайника, движения планет, фундаментальных законов природы, при программировании нейросетей. Как-то так.
В курсе математического анализа есть некоторые темы, которые нужны не сразу - например, критерий Коши и равномерная непрерывность. Ну так можно их поначалу пропустить и перейти к более интересным темам, а рассказать о них тогда, когда без них станет нельзя.

ozheredov в сообщении #1619704 писал(а):

Тут есть подводный камень - ложное впечатление, что ты чего-то понял. Особенно если препод мягкий.

Я уверен, что преподаватель должен как можно меньше говорить со студентами на языке оценивания и тем более на языке запугивания. Но что он должен делать - это предоставлять студенту честную и подробную обратную связь. И, прежде всего, не в виде оценки, а в виде подробного комментария, что студент понимает правильно, а в чём ошибается; а также в виде специально построенных примеров, в которых ложное понимание приводит к ошибкам.

ozheredov в сообщении #1619704 писал(а):

Пока Вы в тихой спокойной обстановке всё поймете, Вас десять раз отчислят.

И это плохо. Хорошо, что я и учился, и работаю сейчас совсем не в "топовом" вузе, где студентов не стремятся "десять раз отчислить". Я думаю, что цель образования вовсе не в том, чтобы заставить кого-то что-то знать, а в том, чтобы научить тому, чему человек сам хочет научиться, или помочь ему найти свои интересы.

[ozheredov]

Mikhail_K в сообщении #1619708 писал(а):

что такое производная

Хороший пример, чтоб начать. Вот производная - это мгновенная скорость... чего-то. Тачка не движется равномерно, она то ускоряется, то замедляется. Струя воды тоже то широкая, то тонкая. Используя производные, можно посчитать, сколько проедет тачка и сколько будет по итогу воды в ванной. И ЧО? - спросят одаренные студенты.

Хорошим ходом было бы показать сверх-реалистичные анимации течения воды, столкновения и разрушения объектов и т.д., объяснив, что для всего этого необходим аппарат производных. Но: как объяснить нубам, что такое дифур (и еще в частных производных, в случае сплошных и квази-сплошных сред) и что такое решение дифура?

[Mikhail_K]

ozheredov в сообщении #1619710 писал(а):

Но: как объяснить нубам, что такое дифур (и еще в частных производных, в случае сплошных и квази-сплошных сред) и что такое решение дифура?

Да можно это сделать. Дифференциальные уравнения даже в некоторых школьных учебниках по алгебре есть. И да, примеры диф.уравнений необходимы при рассказе о производных. Нельзя диф.уравнения откладывать до предмета "диф.уравнения".

[Padawan]

EminentVictorians в сообщении #1619707 писал(а):

на неотносящиеся к обучению активности (вроде сессий, контрольных работ и так далее).

Это Вам кажется, что они не относятся к обучению (странно, что Вам так кажется). Вообще, ситуация тут такая, что ты не знаешь, что и когда тебе может пригодиться. Если студенту вдруг показалось - вот Алгебра (или Логика, или Анализ, или Теория Категорий, прости господи) - это его, а все остальное нафиг не нужно, и он не станет эти дисциплины учить, он не получит полноценного мат. образования, и в той же Алгебра не сможет эффективно работать. Потому что математика едина. А все с одинаковым удовольствием, вдумчиво и осознанно учить не получится - время ограничено (от 4 до 6 лет). Поэтому и приходится часть предметов учить на скорую руку. А потом, через несколько лет, вспоминать с благодарностью учителей, которые в тебя эти знания все-таки впихнули. Я вот жалею, что мало меня в студенческие годы нагружали. Легко было, я бы мог больше выучить.

-- Сб ноя 25, 2023 04:15:50 --

Mikhail_K в сообщении #1619708 писал(а):

Я думаю, что цель образования вовсе не в том, чтобы заставить кого-то что-то знать, а в том, чтобы научить тому, чему человек сам хочет научиться

Человек хочет водку пить и по клубам шататься. И иногда чисто для удовольствия что-то порешать, почитать, подоказывать, чтобы своё самолюбие потешить.

[Mikhail_K]

Padawan в сообщении #1619715 писал(а):

время ограничено (от 4 до 6 лет)

Время не ограничено (и уж точно, не ограничено 4-6 годами). Если есть интерес к обучению - то с окончанием университета оно только начинается, а не заканчивается.

-- 25.11.2023, 02:29 --

Padawan в сообщении #1619715 писал(а):

Вообще, ситуация тут такая, что ты не знаешь, что и когда тебе может пригодиться.

Это верно; но, на самом деле, и преподаватели этого не знают тоже.

[EminentVictorians]

Padawan в сообщении #1619715 писал(а):

Это Вам кажется, что они не относятся к обучению (странно, что Вам так кажется).

Я там везде имел в виду себя. Я понимаю, что у других людей будет другая психология и другие образовательные трэки. Но да, я действительно считаю, что все эти процедуры типа сессий и контрольных работ, к моему образовательному процессу отношение не имеют (точнее, имели бы отрицательное - оттягивали бы ограниченные ресурсы).

Могу эту мысль раскрыть подробнее. Вообще, я как-то научился отличать хорошую теорию от плохой. У меня сейчас не стоят вопросы вроде что и в каком порядке делать - я сам знаю ответы на них. Раньше мне казалось, что математика вся такая индуктивная, от простого к сложному, дальнейшие вещи опираются на предыдущие, что у нее есть ступени (Вы, насколько я понимаю, придерживаетесь такого представления) и все такое. Но сейчас я поменял взгляды на 180 градусов. Я пришел к выводу, что нету никакой последовательности. Что огромные куски могут быть построены множеством разных способов и знать все способы необязательно - главное найти "свой" способ, который ложиться на конкретную твою психологию. Я очень часто буду готов перевывести какой-нибудь фрагмент из ясных условий, чем запоминать какую-то мутную теорему, которая экономит 1 калорию усилий.

[ozheredov]

Padawan в сообщении #1619715 писал(а):

Человек хочет водку пить и по клубам шататься. И иногда чисто для удовольствия что-то порешать, почитать, подоказывать, чтобы своё самолюбие потешить.

Да, я был именно таким студентом (только вместо водки - бабы, вместо клубов - походы с пацанами и компьютерные игры). И обо всех остальных я сужу по себе. Но Mikhail_K убедительно показывает, что есть другие. И несмотря на мою уверенность, что таких, как я, минимум в 1000 раз больше, чем тех, о ком рассказывает Mikhail_K, вполне может статься, что такие как я просто балласт.

EminentVictorians в сообщении #1619718 писал(а):

Вообще, я как-то научился отличать хорошую теорию от плохой.

Весь Пургаторий отличает хорошую теорию от плохой, со своей точки зрения. Есть какие-то указания на то, что Ваши критерии объективны, то есть позволили (пусть лично Вам и только лишь Вам) добиться того-то и того-то?

[EminentVictorians]

ozheredov в сообщении #1619720 писал(а):

Есть какие-то указания на то, что Ваши критерии объективны, то есть позволили (пусть лично Вам и только лишь Вам) добиться того-то и того-то?

Вот у Вас даже лексика характерная: "объективны", "добиться".

Основная суть того, о чем я пишу, к тому и сводится, что нету ничего объективного. Математика - это мешанина из достаточно хаотичных объектов, созданных очень разными людьми с очень по-разному работающими головами, часто в случайном порядке и с большой избыточностью. Критерии должны быть субъективными. Я сам постоянно останавливаюсь на одних абстракциях ("хороших") и игнорирую другие ("плохие"). Плохие и хорошие - это субъективные категории. Они плохи или хороши конкретно для меня - для моей психологии, жизненного опыта, целей и т.п. Одна и та же абстракция может быть "плохой" для меня и "хорошей" для другого человека. Более того, одна и та же абстракция может переходить из одного состояния в другое даже в рамках меня одного: что-то понял новое, посмотрел как-то по другому на известное старое и все - получил новый опыт, на который может лечь вещь, которая раньше никуда не ложилась.

А теперь сравните с тем, как проходит процесс обучения в вузе. Некоторые более менее случайные люди, не имеющие к тебе никакого отношения, часто совершенно далекие от тебя по психологии, зафиксировали некий набор "обязательных" абстракций, зафиксировали порядок их познания, ограничили тебе время, а потом еще и требуют с тебя "знания" этих абстракций. Дичь полная.

-- 25.11.2023, 11:02 --

ozheredov в сообщении #1619720 писал(а):

вполне может статься, что такие как я просто балласт.

Никто не балласт. Балластом человека делает неадекватная система образования. Или он сам (внушив себе деструктивные установки).

[Утундрий]

EminentVictorians в сообщении #1619733 писал(а):

Балластом человека делает неадекватная система образования. Или он сам (внушив себе деструктивные установки).

Вроде следующих:

EminentVictorians в сообщении #1619733 писал(а):

нету ничего объективного. Математика - это мешанина из достаточно хаотичных объектов, созданных очень разными людьми с очень по-разному работающими головами, часто в случайном порядке и с большой избыточностью. Критерии должны быть субъективными.

[Anton_Peplov]

ozheredov в сообщении #1619687 писал(а):

вот пришел первокур. Он ничего не знает, следовательно ничего не понимает. Откуда возьмется интерес?

Я когда-то учился на специальности, включавшей несколько математических и физических дисциплин. Это был не мехмат и не физфак, да и вуз далеко не топовый, но какой-никакой студенческий опыт у меня есть.
Итак, три примера, откуда брался интерес (не все описанные события были на первом курсе).

- На первой лекции по абстрактной алгебре, когда "прекрасная аспирантка с мягким голосом" ввела понятие группы и объяснила, что $\mathbb Z$, векторное пространство и $\mathbb R$ - группы, причем $\mathbb R$ - и по сложению, и по умножению. Мысль в моей юной голове: "А что, так можно было? Серьезно? Три простые аксиомы, которые сразу описывают кучу вещей? Ну это же офигеть как круто!"
- На первой лекции по численным методам, когда пожилая тетенька написала на доске два-три уравнения вроде $x^2 + \tg x + 2 = 0$ и спросила: "Как мы будем решать такое уравнение?" Мысль в моей юной голове: "А действительно, как? Нам со школы показывали только такие уравнения, которые известно как решать. Шаг влево, шаг вправо, и мы уже бессильны. Неужели сейчас меня научат, что делать с произвольными уравнениями? Это ж я буду всемогущ как боженька".
- На лекции по матану про дифференциал функции одной переменной: "Г-ди, наконец мне расскажут, что такое этот дифференциал, а то физик их все время пишет, а что это такое - толком непонятно".

А вот преподаватель линейной алгебры начал с матриц и определителей, ничего не объяснив ни про СЛАУ, ни про линейную независимость векторов. То есть нам дали таблички чисел, которые неизвестно для чего нужны и умножаются по странному громоздкому правилу, и заставили вычислять еще более странную и громоздкую функцию от них. До сих пор не могу смотреть на разложение по базисным минорам без отвращения. Но это был недостаток конкретного курса и ошибка конкретного преподавателя. Все можно было сделать гораздо осмысленнее, если захотеть. И то я сразу принялся размышлять, какие бы условия наложить на матрицу, чтобы ее можно было однозначно восстановить по определителю (и тогда можно вместо двумерного изображения передавать единственное число, ха-ха!).

В общем, при наличии профессионализма у преподавателя и здорового любопытства у студента проблема мотивации вполне решается. Конечно, если преподаватель притворяется магнитофоном, нудно талдыча текст из учебника (такие, увы, у нас тоже были), то ничего не получится. Если студент поступил за корочкой и ему вся эта математика до фонаря, то тоже ничего не получится.

[Padawan]

Anton_Peplov в сообщении #1619772 писал(а):

Конечно, если преподаватель притворяется магнитофоном, нудно талдыча текст из учебника (такие, увы, у нас тоже были), то ничего не получится.

А это распознаваемо, притворился или нет? Какие критерии? Как узнать , талдычишь ты, или нет, или нечто привносишь?

-- Сб ноя 25, 2023 23:44:05 --

Anton_Peplov в сообщении #1619772 писал(а):

то есть нам дали таблички чисел, которые неизвестно для чего нужны и умножаются по странному громоздкому правилу, и заставили вычислять еще более странную и громоздкую функцию от них.

Вопрос эффективности!
Я считаю, что самый эффективный метод введения определителя - это та самая формула через сумму по всем перестановкам. Зачем? Потому что надо поверить, что тебя не обманывают и формула работает! Полилинейность, антисимметричность и нормировка - очевидны. Единственность функции с такими свойствами - позже. Хороший студент обязан верить, что его учат хорошим вещам.