Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу

[EUgeneUS]

ihq.pl в сообщении #1619043 писал(а):

То, что в точках $x=0$ у вектора ускорения всего одна компонента, существенно упрощает задачу

Кривизна кривой, заданной в виде $y=f(x)$ равна $k=\frac{|f''|}{(\sqrt{1+(f')^2})^3}$
Легко видеть, что при $f'=0$, это всё упрощается до $k=|f''|$

[ihq.pl]

Рискну предположить, что задачка рассчитана скорее на физиков, чем на математиков. Ну и подход к решению, соответственно...

Эквивалентная запись данного в задаче уравнения эллипса:

$$x = a\cos\varphi, y = b\sin\varphi,$$

где $\varphi\in [0,2\pi]$. Ясно, что $x=0$ соответствует значениям параметра $\varphi = \pm\pi/2.$ Скорость $v$ постоянна по модулю и в т. $x=0$ равна $v(\pm\pi/2) = -a\dot{\varphi}(\pm\pi/2)$, откуда $\dot{\varphi}(\pm\pi/2) = \mp|v|/a.$ У ускорения в точках $x=0$ ненулевая только $y$-составляющая:

$$\ddot{y} = \mp b\dot{\varphi}^2(\pi/2) = \mp bv^2/a^2 = \mp \frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{v^2}{b}$$

[Утундрий]

Мазохистам на заметку. Если параметризовать эллипс не круговыми функциями, а эллиптическими функциями Якоби, то тот же результат можно получить с гораздо большими трудностями.

[mihiv]

Можно в качестве параметра просто взять время.
Дифференцируем дважды уравнение эллипса:

$$\left (\dfrac {\dot x}{a}\right )^2+\dfrac {x\ddot x}{a^2}+\left (\dfrac {\dot y}{b}\right )^2+\dfrac{y\ddot y}{b^2}=0\eqno (1)$$

И один раз дифференцируем квадрат модуля скорости:

$$\dot x\ddot x+\dor y\ddot y=0\eqno (2)$$

Учтем, что при $x=0:y=b,\dot y=0,\dot x=v,$ поэтому из (2) $\ddot x=0$, и тогда из (1) находим:

$$|\ddot y|=\dfrac {bv^2}{a^2}$$

[Geen]

Можно вообще без дифференцирований...
Например, раз модуль скорости постоянный, то ускорение всегда ортогонально скорости, в верхней точке эллипса скорость горизонтальная, а ускорение вертикально, сожмём эллипс по $x$ в $a$ раз, а по $y$ в $b$ раз - скорость изменится в $a$, а ускорение в $b$ раз, а движение получим по окружности единичного радиуса и ускорение будет равно $v^2$...

[EUgeneUS]

Geen в сообщении #1619107 писал(а):

Например, раз модуль скорости постоянный, то ускорение всегда ортогонально скорости, в верхней точке эллипса скорость горизонтальная, а ускорение вертикально,

Кстати, раз задача по общему курсу физики, то понятия нормального и тангенциального ускорения должны быть известны, и эти факты ($x=0: v_x=v, a=a_y$) можно действительно записать сразу.

Geen в сообщении #1619107 писал(а):

сожмём эллипс по $x$ в $a$ раз, а по $y$ в $b$ раз - скорость изменится в $a$, а ускорение в $b$ раз, а движение получим по окружности единичного радиуса и ускорение будет равно $v^2$...

олимпиадный способ решения

[мат-ламер]

Geen в сообщении #1619107 писал(а):

Например, раз модуль скорости постоянный

Geen в сообщении #1619107 писал(а):

сожмём эллипс по $x$ в $a$ раз, а по $y$ в $b$ раз - скорость изменится в $a$ ... раз

Вот здесь я затупил капитально

Может кто мне этот момент пояснит поподробнее? Если мы решили, что у нас модуль скорости постоянный, то с какой стати ему меняться? Какая сила его заставляет делать это?

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1619155 писал(а):

Если мы решили, что у нас модуль скорости постоянный, то с какой стати ему меняться? Какая сила его заставляет делать это?

Сила мысли, вестимо.

[pppppppo_98]

Утундрий в сообщении #1619091 писал(а):

Если параметризовать эллипс не круговыми функциями, а эллиптическими функциями Якоби

нет пределу совершенствам....

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1618882 писал(а):

Во втором способе я просто тупо вписал в эллипс окружность, которая касается эллипса в нужной точке. Затем я определил радиус этой окружности, исходя из требуемой степени касания.

Поясню свою мысль. Второй порядок касания определяется членом $\alpha x^2$ . Об этом можно было догадаться, решая пункт а из этой же задачи, в котором частица двигалась с постоянной скоростью по параболе. Для окружности величину $\alpha$ мы можем просто подсчитать, причём неважно, чему она будет равна. Нам важно, во сколько раз она изменится при деформации окружности в эллипс. Мы тут отвлеклись от понятий скорости (которую я считаю постоянной), ускорения. Остался сугубо радиус кривизны, который зависит сугубо от $\alpha$ . Осталось подсчитать, как у нас изменится $\alpha$ при линейной замене координат. Ответ у меня сошёлся с книжным и с полученным в первом способе.

Сейчас дошло, что масштабирование по оси $x$ имеет своим физическим смыслом величину изменения скорости. Однако, я в своих рассуждениях в какой-то момент полностью ушёл от физики и ушёл в геометрию (у меня остался сугубо радиус кривизны). Тут наглядно видно разность ходов мысли физического и математического.

-- Ср ноя 22, 2023 09:38:56 --

мат-ламер в сообщении #1619155 писал(а):

Geen в сообщении #1619107 писал(а):

Например, раз модуль скорости постоянный

Geen в сообщении #1619107 писал(а):

сожмём эллипс по $x$ в $a$ раз, а по $y$ в $b$ раз - скорость изменится в $a$ ... раз

Вот здесь я затупил капитально

Тут я ещё затупил, потому как подумал, что при сжатии эллипса у нас уже не будет постоянным модуль скорости. А это важно нам для вычислений.

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1619235 писал(а):

Второй порядок касания определяется членом $\alpha x^2$

Это не точно. В таком виде утверждение верно только при некоторых условиях. Вопрос Вам на понимание - при каких?

мат-ламер в сообщении #1619235 писал(а):

Об этом можно было догадаться, решая пункт а из этой же задачи, в котором частица двигалась с постоянной скоростью по параболе

Не есть хорошо, что об этом приходится догадываться при решении задач. Нужно иметь знания, которые уже и применять при решении задач.

мат-ламер в сообщении #1619235 писал(а):

Для окружности величину $\alpha$ мы можем просто подсчитать, причём неважно, чему она будет равна.

Именно она и важна.

мат-ламер в сообщении #1619235 писал(а):

Нам важно, во сколько раз она изменится при деформации окружности в эллипс

При этом подходе никакой деформации окружности в эллипс не происходит. Вы просто ищете окружность, которая будет наиболее близка к кривой в окрестности заданной точки.
Впрочем, Вы не описали полностью ход своего решения, так что - что там у Вас происходит на самом деле, с уверенностью сказать нельзя.

мат-ламер в сообщении #1619235 писал(а):

Сейчас дошло, что масштабирование по оси $x$ имеет своим физическим смыслом величину изменения скорости

Опять какое-то странное утверждение. Масштабирование по оси $Ox$ - это масштабирование по оси $Ox$. Формально замена переменной $\tilde{x} = k x$.
А то, что при этом "масштабируются" скорости и ускорения, так это следует из их определения и линейности дифференцирования.

[ihq.pl]

Geen в сообщении #1619107 писал(а):

сожмём эллипс по $x$ в $a$ раз, а по $y$ в $b$ раз - скорость изменится в $a$, а ускорение в $b$ раз

мат-ламер в сообщении #1619235 писал(а):

Сейчас дошло, что масштабирование по оси $x$ имеет своим физическим смыслом величину изменения скорости

вместо двух, сжимаем раз - по $x$ в $a/b$ раз

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1619235 писал(а):

Второй порядок касания определяется членом $\alpha x^2$ .

EUgeneUS в сообщении #1619239 писал(а):

Это не точно. В таком виде утверждение верно только при некоторых условиях. Вопрос Вам на понимание - при каких?

Во-первых, я не знаю ответ на ваш вопрос. Во-вторых, я его вообще не понял. Поэтому просто напишу, какие у меня есть мысли на этот счёт. Для простоты будем говорить не о кривых, а о явных функциях. Пусть у нас есть две функции $f(x)$ и $g(x)$ , которые мы будем рассматривать в окрестности точки $x=0$ . Будем предполагать, что у нас выполняется $f(0)=g(0)$ и обе функции дважды непрерывно дифференцируемы в нуле. Тогда говорим, что эти функции имеют первый порядок касания в нуле, если $f'(0)=g'(0)$ . Если эти функции имеют первый порядок касания и кроме того выполняется $f''(0)=g''(0)$ , то мы говорим, что имеется и второй порядок касания. (Возможно тут подразумевается, что при этом сохраняется и первый порядок, но тут я не в курсе терминологии). В любом случае мы можем значения наших функций в окрестности нуля представить формулой Тейлора. И если есть первый порядок касания, то вопрос о том, есть ли второй порядок касания, определяется коэффициентами при $x^2$ в формуле Тейлора. Если они равны, то второй порядок касания есть. Если неравны, то нет.

Данные рассуждения можно распространить не только на функции, но и на кривые. При этом рассуждения повторяются в локальном базисе касательного пространства.

Тут я в учебники не смотрел. Написал, как понимаю. Если что не так, поправьте.

-- Ср ноя 22, 2023 11:44:51 --

EUgeneUS в сообщении #1619239 писал(а):

Впрочем, Вы не описали полностью ход своего решения, так что - что там у Вас происходит на самом деле, с уверенностью сказать нельзя.

Ко мне были большие претензии, что я тут на форуме пишу большие простыни. Поэтому решил особо в детали не распространяться. Если будут вопросы, с удовольствием отвечу на любой.

[мат-ламер]

Ещё немного поясню своё решение. Пусть мы имеем абстрактный математический объект, который в окрестности начала координат записывается формулой: $y=\alpha x^2 +o(x^2)$ . Вводим новые координаты по формулам $X=ax$ , $Y=by$ . В этих новых координатах наш объект будет описываться так: $Y=\alpha 'X^2+o(X^2)$ , где $\alpha ' = b\alpha / a^2$ . При такой замене координат у нас некая единичная окружность (уравнение её $x^2+y^2-2y=0$ , но не суть) переходит в некий эллипс с полуосями $a$ и $b$ . Уравнение этого эллипса выписывать не буду. Важно, что он проходит через начало координат. И нам важно найти кривизну его в этой точке. Так я говорю, что она определяется членом $\alpha '$ и она будет будет больше кривизны единичной окружности в $b/a^2$ раз. Эта кривизна и скорость частицы определяет ответ (ускорение) в задаче, который получается $bv^2 / a^2$ . Что совпадает с ответом в задачнике.

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1619254 писал(а):

И нам важно найти кривизну его в этой точке

Это - да. Можно и через кривизну кривой.

мат-ламер в сообщении #1619254 писал(а):

Так я говорю, что она определяется членом $\alpha '$

А это бездоказательное утверждение, хотя и верное в данном случае.