Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу

[Doctor Boom]

мат-ламер
А теперь посчитайте ускорение для произвольной точки эллипса

[мат-ламер]

EUgeneUS в сообщении #1619258 писал(а):

А это бездоказательное утверждение, хотя и верное в данном случае.

В данном случае выполняется $f'(0)=0$ . Что будет в общем случае, посмотрим после того, как решу задачу, предложенную Doctor Boom .

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1619266 писал(а):

В данном случае выполняется $f'(0)=0$

И как это связано с Вашим утверждением о том, чему равна кривизна?
Связь-то есть, но она Вами не показана, а значит утверждение остаётся бездоказательным.

[мат-ламер]

На вопросы буду отвечать постепенно.

EUgeneUS в сообщении #1619267 писал(а):

И как это связано с Вашим утверждением о том, чему равна кривизна?
Связь-то есть, но она Вами не показана, а значит утверждение остаётся бездоказательным.

Тут вопрос упирается в нахождение кривизны параболы в её вершине. Этот вопрос составляет первый пункт в задаче 1.42 из Иродова (мы рассматривали второй пункт). Во-первых, это вопрос можно решить с помощью формулы, которую EUgeneUS привёл в начале второй страницы обсуждения. Предположим, однако, что мы эту формулу не знаем. Пусть у нас есть парабола $y=\alpha x^2$ . Стоит задача найти окружность, которая будет касаться нашей параболы в начале координат. Окружность будем искать в виде $y^2-2Ry+x^2=0$ . Легко видеть, что в окрестности нуля решение нашего уравнения (относительно $y$ ) представляется в виде $y=x^2/2R+o(x^2)$ . Отсюда видно, что для касания необходимо выполнения условия $\alpha = 1/2R =k/2$ , где $k$ - кривизна как параболы в вершине, так и окружности.

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1619281 писал(а):

Отсюда видно, что для касания необходимо выполнения условия $\alpha = 1/2R =k/2$ , где $k$ - кривизна как параболы в вершине, так и окружности.

Вообще-то, для касания, равенство кривизны не обязательно.

Но если подчистить все неточности изложения и собрать мысли в кучу, то из всего этого можно собрать решение.

[LLeonid3]

Doctor Boom в сообщении #1619260 писал(а):

А теперь посчитайте ускорение для произвольной точки эллипса

Модуль ускорения $A$ при постоянной скорости $V$ равен
$A = \frac{{Vab{(x^2+y^2)}}^3}{{(b^2x^4+a^2y^4)}^{1.5}}$
(Если не ошибся )

[мат-ламер]

Doctor Boom в сообщении #1619260 писал(а):

мат-ламер
А теперь посчитайте ускорение для произвольной точки эллипса

Поставим вопрос так. У нас есть эллипс $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ . По нашему эллипсу движется точка с постоянным модулем скорости $v$ . Требуется найти вектор скорости $\vec{}v$ и вектор ускорения $\vec{a}$ точки в зависимости от её положения $\vec{r}=\{x,y\}$

Для начала разберёмся со скоростью. Пусть у нас есть некоторая другая (фиктивная) точка, которая движется по эллипсу по закону $\vec{R}=\{a\cos t, b\sin t\}$ . Понятно, что она движется по эллипсу с непостоянной скоростью. Однако, предположим, что в некоторый момент времени $t$ её положение совпадает с положением нашей точки. Тогда нормированный вектор скорости фиктивной точки будет равен $\vec{V}_n= \frac{ \{ -a^2y, b^2x \} }{\sqrt{a^4y^2+b^4x^2}} $ . А вектор скорости исходной нашей точки будет равен $\vec{v}= v\frac{ \{ -a^2y, b^2x \} }{\sqrt{a^4y^2+b^4x^2}} $

-- Ср ноя 22, 2023 19:42:36 --

EUgeneUS в сообщении #1619283 писал(а):

Вообще-то, для касания, равенство кривизны не обязательно.

В этой теме имеется в виду, что касание имеет второй порядок.

-- Ср ноя 22, 2023 20:08:42 --

Переходим опять к задаче от Doctor Boom. Наша фиктивная точка имеет ускорение $\vec{A} = \left\{ -x,-y \right\}$ . А проекция этого ускорения на скорость нашей исходной точки будет $\vec{a_1}=\frac{ \left\{ a^2xy,-b^2xy \right\} }{\sqrt{a^4y^2+b^4x^2} }$ .

Чего-то меня в какие-то дебри занесло. Самому интересно - выкручусь ли?
P.S. выяснилось, что этот вектор можно было и не находить

-- Ср ноя 22, 2023 20:16:38 --

Пока план дальнейших действий таков. Вектор $\vec{A}-\vec{a}$ задаёт направление ускорения нашей исходной точки. А его модуль можно просто вычислить, исходя из кривизны эллипса.

-- Ср ноя 22, 2023 20:21:49 --

мат-ламер в сообщении #1619286 писал(а):

Пока план дальнейших действий таков. Вектор $\vec{A}-\vec{a}$ задаёт направление ускорения нашей исходной точки.

Ну, меня тут действительно занесло в дебри. Для нахождения этого направления достаточно взять любой вектор, ортогональный к вектору $\{-a^2y,b^2x\}$ .

-- Ср ноя 22, 2023 20:23:39 --

Например, это может быть вектор $\{b^2x,a^2y\}$ .

[мат-ламер]

Кривизна эллипса в точке ${x,y}$ равна $k =\frac{ a^4b^4 }{ (a^4y^2+b^4x^2)^{3 \slash 2} }$ . Отсюда модуль ускорения нашей точки равен $\left| \vec{a} \right|=v^2\frac{ a^4b^4 }{ (a^4y^2+b^4x^2)^{3 \slash 2} }$ .

-- Ср ноя 22, 2023 21:15:27 --

Итак, направление вектора ускорения мы нашли, модуль его тоже. Получаем, что вектор ускорения у нас равен $\vec{a} = -\frac{ v^2a^4b^4 }{ (a^4y^2+b^4x^2)^2 }\left\{ b^2x,a^2y \right\}$ .

Выражаю Doctor Boom благодарность за интересную задачу. Если у кого есть замечания по предложенному решению, с интересом выслушаю.

-- Ср ноя 22, 2023 21:20:03 --

Что-то у меня результат не совпал с результатом от LLeonid3 . Уже завтра проверю у себя ещё раз.

[ihq.pl]

мат-ламер в сообщении #1619302 писал(а):

Если у кого есть замечания по предложенному решению

А если без кривизны? Скажем, из соображения размеренности:

$$\omega_x = \frac{v^2}{a}g_x(tv/a), \omega_y = \frac{v^2}{b}g_y(tv/b)$$

($\omega$ - ускорение), а задача - найти безразмерные функции $g_x, g_y$, основываясь по возможности только на общих рассуждениях, не противоречащих здравому смыслу?

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1618882 писал(а):

Частица движется равномерно со скоростью $v$ , по плоской траектории, задаваемой уравнением $(x/a)^2+(y/b)^2=1$ (это эллипс). Найти ускорение частицы в точке $x=0$ .

$$x = v t + o(t^2)$$

$$y = b\sqrt {1 - (x/a)^2} = -\frac {b x^2} {2 a^2} + o(x^2) = -\frac {b v^2 t^2} {2 a^2} + o(t^2)$$

$$y = -\frac {g t^2} 2 + o(t^2)$$

$$g = \frac {b v^2} {a^2}$$

[LLeonid3]

LLeonid3 в сообщении #1619285 писал(а):

Если не ошибся

Не ошибся, но опечатался
Конечно $V^2$, пропустил степень.
$A = \frac{{V^2ab{(x^2+y^2)}}^3}{{(b^2x^4+a^2y^4)}^{1.5}}$

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1619286 писал(а):

Пока план дальнейших действий таков.

а ранее было:

мат-ламер в сообщении #1619286 писал(а):

А вектор скорости исходной нашей точки будет равен $\vec{v}= v\frac{ \{ -a^2y, b^2x \} }{\sqrt{a^4y^2+b^4x^2}} $

Тут же уже можно стандартно.
$\mathbf{a} = \frac{d \mathbf{v}}{dt}$

При дифференцировании $\mathbf{v}$ по времени получим нечто вида:

$\mathbf{a} = \left\lbrace A(x,y) \dot{x} + B(x,y) \dot{y}; C(x,y) \dot{x} + D(x,y) \dot{y} \right\rbrace$

Далее воспользуемся $\dot{x} = v_x, \dot{y} = v_y$, и всё.

[мат-ламер]

EUgeneUS в сообщении #1619327 писал(а):

Тут же уже можно стандартно.

EUgeneUS в сообщении #1619327 писал(а):

и всё.

Это у вас только план действий или вы прошли этот путь до конца?
Интересно послушать мнение о разумности этого пути от того, кто найдёт время довести этот план до конца и подтвердит (или наоборот, опровергнет) правильность моих ответов.

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1619363 писал(а):

Это у вас только план действий или вы прошли этот путь до конца?

У Вас какие-то сомнения в возможности этого пути?
Или какие-то сложности с взятием производной $\frac{d F(x(t), y(t))}{d t}$?

[zykov]

мат-ламер в сообщении #1618882 писал(а):

Во втором способе я просто тупо вписал в эллипс окружность, которая касается эллипса в нужной точке. Затем я определил радиус этой окружности, исходя из требуемой степени касания.

Так оно и делается, только описывается другими словами.
Находите радиус кривизны в данной точке (элементарное упражнение на взятие производной).
Зная радиус кривизны и скорость находите ускорение по известной школьной формуле.