Ускорение точки, движущейся равномерно по эллипсу

[мат-ламер]

Моё внимание привлекла задача 1.42.б из сборника Иродова.

Частица движется равномерно со скоростью $v$ , по плоской траектории, задаваемой уравнением $(x/a)^2+(y/b)^2=1$ (это эллипс). Найти ускорение частицы в точке $x=0$ .

Задачу я решил. Причём двумя способами. В первом способе я ввёл некоторую параметризацию эллипса. Она хоть и не была натуральной (а у нас ведь частица движется равномерно), но позволила применить стандартную формулу для кривизны плоской кривой.

Во втором способе я просто тупо вписал в эллипс окружность, которая касается эллипса в нужной точке. Затем я определил радиус этой окружности, исходя из требуемой степени касания.

Хоть мой ответ совпал с ответом задачника, но сомнения всё же остались. Дело в том, что задача предлагается студентам в самом начале обучения в ВУЗе. Они могут ничего не знать ни о кривизне кривой, ни о касании кривых. Нет ли тут элементарного решения, имеющего простой физический смысл?

[Gagarin1968]

мат-ламер в сообщении #1618882 писал(а):

Во втором способе я просто тупо вписал в эллипс окружность, которая касается эллипса в нужной точке.

мат-ламер
Этот способ непонятен. У Вас вписанная окружность касается только одной точки эллипса? Как это?
В эллипс можно вписать лишь одну окружность, радиус которой равен малой полуоси эллипса, она имеет общий центр с эллипсом и касается его в двух точках — концах малой оси.
А иначе что Вы понимаете под вписанной окружностью?

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1618882 писал(а):

Дело в том, что задача предлагается студентам в самом начале обучения в ВУЗе. Они могут ничего не знать ни о кривизне кривой, ни о касании кривых.

Ситуация при изучении физики вполне характерная. Некоторые элементы математики приходится рассказывать непосредственно на физике, на "физическом уровне строгости". Скажем, физики-первокурсники в процессе решения физических задач нередко составляют и решают простенькие дифференциальные уравнения, хотя систематическое изучение обыкновенных дифференциальных уравнений у них начнётся лишь на втором курсе. С кривизной и радиусом кривизны - аналогично.

[warlock66613]

\begin{gather*} (x/a)^2+(y/b)^2=1\\ x = a \cos \varphi \\ y = b \sin \varphi \\ v_x = -a \sin \varphi \left(\frac {d\varphi} {dt}\right) \\ v_y = b \cos \varphi \left(\frac {d\varphi} {dt}\right) \\ v^2 = v_x^2 + v_y^2 = (a^2 \sin^2 \varphi + b^2 \cos^2 \varphi) \left(\frac {d\varphi} {dt}\right)^2 \\ \frac {d\varphi} {dt} = \frac v {\sqrt{a^2 \sin^2 \varphi + b^2 \cos^2 \varphi}} \\ \frac {d^2\varphi} {dt^2} = \frac { v^2 (b^2-a^2)\sin\varphi\cos\varphi } {(a^2 \sin^2 \varphi + b^2 \cos^2 \varphi)^{2}}\\ a_x = -a \cos \varphi \left(\frac {d\varphi} {dt}\right) -a \sin \varphi \left(\frac {d^2\varphi} {dt^2}\right)\\ a_y = -b \sin \varphi \left(\frac {d\varphi} {dt}\right) +b \cos \varphi \left(\frac {d^2\varphi} {dt^2}\right) \end{gather*}
Подставляем $\varphi=\frac {\pi} 2$ и находим всё без формул кривизны и касания.

[DimaM]

Gagarin1968 в сообщении #1618888 писал(а):

Этот способ непонятен. У Вас вписанная окружность касается только одной точки эллипса? Как это?
В эллипс можно вписать лишь одну окружность, радиус которой равен малой полуоси эллипса, она имеет общий центр с эллипсом и касается его в двух точках — концах малой оси.

Имеется в виду окружность, касающаяся эллипса в одном из полюсов. Слово "вписанная", конечно, неаккуратно употреблено.

[rascas]

warlock66613 в сообщении #1618890 писал(а):

$a_x = -a \cos \varphi \left(\frac {d\varphi} {dt}\right) -a \sin \varphi \left(\frac {d^2\varphi} {dt^2}\right)$
$a_y = -b \sin \varphi \left(\frac {d\varphi} {dt}\right) +b \cos \varphi \left(\frac {d^2\varphi} {dt^2}\right)$

Формулы ускорения не проходят проверку по размерности.

[warlock66613]

rascas в сообщении #1618902 писал(а):

Формулы ускорения не проходят проверку по размерности.

Главное чтобы идея была понятна.

[DimaM]

rascas в сообщении #1618902 писал(а):

Формулы ускорения не проходят проверку по размерности.

Должно быть $\left(\dfrac{d\varphi}{dt}\right)^2.$

[мат-ламер]

Gagarin1968 в сообщении #1618888 писал(а):

мат-ламер
Этот способ непонятен. У Вас вписанная окружность касается только одной точки эллипса? Как это?

DimaM в сообщении #1618892 писал(а):

Слово "вписанная", конечно, неаккуратно употреблено.

Прошу прощения у форума за корявую терминологию. Слов "вписанная окружность" я не произносил. И не знаю, что точно они обозначают. Я писал:

мат-ламер в сообщении #1618882 писал(а):

я просто тупо вписал в эллипс окружность, которая касается эллипса в нужной точке.

Здесь слова "тупо вписал" имеют не математический, а вульгарно-разговорный смысл. Я имел в виду, что построил нужную мне окружность.

мат-ламер в сообщении #1618882 писал(а):

Затем я определил радиус этой окружности, исходя из требуемой степени касания.

Здесь слова "степень касания" тоже имеют вульгарно-разговорный смысл. Правильно говорить "порядок касания".

[pppppppo_98]

Gagarin1968 в сообщении #1618888 писал(а):

Этот способ непонятен. У Вас вписанная окружность касается только одной точки эллипса? Как это?

похоже касательная окружность, и он тогда прав...
вот тебе в помощь... общий случай

https://arxiv.org/pdf/2309.02857.pdf

[Gagarin1968]

pppppppo_98 в сообщении #1618913 писал(а):

и он тогда прав

Кто он?

pppppppo_98 в сообщении #1618913 писал(а):

вот тебе в помощь

Кому именно?
pppppppo_98
На форуме принято обращаться к участнику на "Вы".

[мат-ламер]

Gagarin1968 в сообщении #1618917 писал(а):

Кто он?

Gagarin1968 в сообщении #1618917 писал(а):

Кому именно?

А какая разница? Ведь

warlock66613 в сообщении #1618903 писал(а):

Главное чтобы идея была понятна.

[Ende]

pppppppo_98
На этом форуме принято обращаться друг к другу на "вы" (или на "Вы", по желанию), но не на "ты".

[reterty]

Кстати, вот еще один похожий небезинтересный случай: движение вдоль параболы тела, брошенного под углом к горизонту. Пусть по условию задана парабола: $y=-kx^2$ и задано ускорение свободного падения $g$. Хорошо бы запомнить, что радиус кривизны параболы в ее вершине $r=1/2k$. Тогда нормальное ускорение в ней $a_n=g=v^2/r=2kv^2$. Отсюда $v=\sqrt{g/2k}$.

[ihq.pl]

мат-ламер в сообщении #1618882 писал(а):

Хоть мой ответ совпал с ответом задачника, но сомнения всё же остались.

То, что в точках $x=0$ у вектора ускорения всего одна компонента, существенно упрощает задачу.