Четыре трагических заблуждения интерпретаторов и пахарей ОТО

[nestoklon]

pc20b в сообщении #161250 писал(а):

Она найдена.

Нет. Вы приводите ответ, отличающийся от приведённого в рецензируемой литературе? Вы хотите, чтобы я искал у вас арифметические ошибки? Я этого делать не буду. Попробуйте свои выкладки опубликовать -- вам квалифицированно укажут на все арифметические ошибки.
Тем более что Someone уже это сделал.

pc20b в сообщении #161250 писал(а):

Значит, модель где-то неверна.

А ссылки, которые вам предоставил Munin -- они тоже все неправильные? Все ошиблись, причём одинаково, один вы знаете как надо. Пожалуйста, разберитесь как надо и опишите всю совокупность наблюдательных данных. Ещё хорошо бы это опубликовать, тогда не надо будет искать арифметические ошибки. Потом будете давать всем сомневающимся ссылку на себя и всё.

Добавлено спустя 7 минут 46 секунд:

pc20b в сообщении #161250 писал(а):

К чему бы "общественность" ни склонялась. В физике мнением большинства решения не принимаются.

Вы упорно истолковываете мои ссылки на научную общественность неверно. Ссылаясь на "общественность", я полагаю, что она в некотором роде гарантирует относительную свободу от арифметических ошибок, ничего больше. Вы утверждаете, что обсуждаемая идея внутренне противоречива, что бы там ни публиковали тысячи квалифицированных учёных по всему миру. Мне такая постановка вопроса кажется сомнительной. Неучёт каких-то факторов -- да. Не совсем корректная модель -- может быть. Но внутренняя противоречивость и масса арифметических ошибок -- этого не может быть, потому что не может быть никогда.

[Someone]

pc20b в сообщении #161275 писал(а):

Ничего похожего на $\varepsilon+3p=-2\Lambda$ в уравнения не входит, такого объекта в принципе не существует в ОТО, если под понимать гидродинамическое давление изотропной идеальной среды.

Ну, Вы мне ещё расскажите, что входит, а что не входит. Для метрики Робертсона -- Уокера

$$ds^2=dt^2-a^2(t)\left(\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2\right)\right)$$

уравнения имеют вид

$$\begin{cases}\dot a^2=\frac G3\varepsilon a^2-k\text{,}\\ \ddot a=-\frac G6(\varepsilon+3p)a\text{.}\end{cases}$$

pc20b в сообщении #161275 писал(а):

Это статическое решение, но другое - в нем гауссова кривизна не постоянна.

А Вы считали? Я считал: $R=-4\Lambda$.

pc20b в сообщении #161275 писал(а):

Найдены условия его существования и показано, что при допускаемой в обзоре УФН 2001 $\Lambda=0,8$ на него не выйти. Только и всего.

Ну конечно, все специалисты в мире ошибаются, только Вы арифметических ошибок не делаете.
Вы просто не умеете правильно ставить задачу и правильно её решать.

[pc20b]

Someone в сообщении #161372 писал(а):

pc20b в сообщении #161275 писал(а):
Это статическое решение, но другое - в нем гауссова кривизна не постоянна.


А Вы считали? Я считал: $R=-4\Lambda$.

Да, согласен, это так : скалярная кривизна мира Шварцшильда с "лямбда-членом" постоянна : $R=-T=-4\Lambda$. Это я ошибся **.

** Отождествил её с гауссовой кривизной поверхностей, ортогональных радиальной координате $r$ (cфер) :

$$K_r =\frac{1}{r^2}(1-e^{-\lambda})=\frac{r_g}{r^3}(1-\frac{\Lambda}{3r_g}r^3)$$

,-

которая для приведенного мной статического решения, как и полная гауссова кривизна $K$, постоянна и равна

$$\frac{1}{R^2}$$

.

[pc20b]

nestoklon в сообщении #161293 писал(а):

Нет. Вы приводите ответ, отличающийся от приведённого в рецензируемой литературе? Вы хотите, чтобы я искал у вас арифметические ошибки? Я этого делать не буду. Попробуйте свои выкладки опубликовать -- вам квалифицированно укажут на все арифметические ошибки.
Тем более что Someone уже это сделал.

Нет не хочу. Делать Вы не будете. Но и Someone еще ничего не сделал. Но он как всегда стимулирует нас на проведение дополнительных исследований. Никакие рецензенты никаких "арифметических ошибок", конечно же, указать не могут, в этом деле надо самим разбираться. Т.к. у меня появился ряд новых соображений насчет "космологического члена" и насчет интерпретации некоторых астрофизических наблюдений, то я попробую выложить ход решения уравнений ОТО для этого случая, рассуждения, по которым оставлено приведенное выше частное решение и исследование другой ветви решения, ранее отбрасываемой (периодический статический мир), которое вроде бы качественно намекает, почему мы не видим область вблизи рождения вселенной, которая должна бы светиться неимоверно ярко. Ну и показать, что с арифметикой всё в ажуре. А поглядеть на выкладки-то ведь можно.

[nestoklon]

pc20b в сообщении #161445 писал(а):

почему мы не видим область вблизи рождения вселенной, которая должна бы светиться неимоверно ярко.

Отлично мы её видим. Реликтовое излучение называется.

[pc20b]

nestoklon в сообщении #161488 писал(а):

pc20b в сообщении #161445 писал(а):
почему мы не видим область вблизи рождения вселенной, которая должна бы светиться неимоверно ярко.

Отлично мы её видим. Реликтовое излучение называется.

Так считают некоторые астрофизики. Мы видим покрасневший привет из той области.

[nestoklon]

pc20b в сообщении #161526 писал(а):

Так считают некоторые астрофизики.

У вас есть альтернативная версия? Или пример астрофизиков которые считают иначе?

[pc20b]

Статический материальный мир постоянной кривизны

Рассмотрим статические центрально – симметричные миры из вещества, электромагнитного поля и «лямбда-материи» с плотностями энергии соответственно $\varepsilon_s, \varepsilon_f, \Lambda$ (положим постоянную Эйнштейна $\kappa=1$ в сопутствующей веществу системе отсчета в ортогональной метрике :

(1)

$$ds^2=e^{\nu}dt^2-e^{\lambda}dr^2-e^{\mu}d\sigma^2$$

,

$$d\sigma^2=d\theta^2+\sin^2{\theta}d\phi^2, e^{\mu}=R^2$$

.

Тензор энергии-импульса материи

(2)

$$T^{\mu}_{\nu}=T^{\mu}_{\nu}_{s}+ T^{\mu}_{\nu}_{f}+ T^{\mu}_{\nu}_{\Lambda}=diag (\varepsilon_s+\varepsilon_f+\Lambda , - p_s+\varepsilon_f+\Lambda, - p_s-\varepsilon_f+\Lambda, - p_s-\varepsilon_f+\Lambda )$$

,

где $p_s$ - давление идеального вещества.

В этом случае уравнения ОТО :

(3)

$$G_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}$$

,
(4)

$$ F^{\mu\nu}_{;\nu}=-j^{\mu}$$

,-

выглядят так (ЛЛ2, 1967, с.388) :

(5)

$$T^0_0=\varepsilon_s+\varepsilon_f+\Lambda=\frac{1}{R^2}-e^{-\lambda}(\mu^{''}+\frac{3}{4}\mu^{'}^{2}-\frac{1}{2}\mu^{'}\lambda^{'})$$

,
(6)

$$T^1_1=- p_s+\varepsilon_f+\Lambda= \frac{1}{R^2}-\frac12e^{-\lambda}(\frac12\mu^{'}^2+\mu^{'}\nu^{'})$$

,
(7)

$$T^2_2=- p_s-\varepsilon_f+\Lambda=-\frac14e^{-\lambda}(2\nu^{''}+\nu^{'}^2+2\mu^{''}+\mu^{'}^2-\mu^{'}\lambda^{'}-\nu^{'}\lambda^{'}+\mu^{'}\nu^{'})$$

,

Из уравнений Максвелла остается одно уравнение :

(8)

$$\varepsilon_f^{'}+4\frac{R^{'}}{R}\varepsilon_f=\sqrt{2\varepsilon_f}e^{\frac{\lambda}{2}}\rho_f$$

,

где $^{'}=\frac{\partial}{\partial r}$, $\rho_f$ - плотность заряда (положено также $e=c=4\pi=1$).

В выборе метрики (1) остается произвол из-за допустимости произвольного преобразования $r(\tilde {r})$. Потратим его на то, чтобы положить

(9)$\lambda=0$.

Посмотрим, существует ли статический однородный мир :

(10)

$$\varepsilon_s=const, \varepsilon_f=const, \Lambda>0$$

постоянного радиуса кривизны

(11)

$$R=const$$

с полной скалярной кривизной

(12)

$$T=\varepsilon_s-3p_s+4\Lambda=const$$

?

Из уравнения (8) следует в этих условиях, что вещество не заряжено, нейтрально :

(13)

$$\rho_f=0$$

,

т. е. электромагнитное поле создается зарядами, расположенными в особенностях внутренней геометрии этого статического мира.
Соотношения (5)-(7) в этих условиях резко упрощаются :

(14)

$$ \varepsilon_s+\varepsilon_f+\Lambda=\frac{1}{R^2}$$

,

(15)

$$ - p_s+\varepsilon_f+\Lambda= \frac{1}{R^2}$$

,

(16)

$$ - p_s-\varepsilon_f+\Lambda=-\frac14(2\nu^{''}+\nu^{'}^2)$$

Из (14), (15) следует уравнение состояния вещества :

(17)

$$p_s=-\varepsilon_s<0$$

и связь квадрата радиуса кривизны радиальных сфер с плотностью материи :

(18)

$$R^2=\frac{1}{\varepsilon_s+\varepsilon_f+\Lambda}$$

.

Из (16) и (17) получаем уравнение на $\nu$ :

(19)

$$\frac14(2\nu^{''}+\nu^{'}^2)=\varepsilon_f-\varepsilon_s-\Lambda$$

.

(продолжение следует)

[pc20b]

(продолжение)

Проведя замену

(20)

$$e^{\frac{\nu}{2}}=y$$

,

приводим последнее уравнение (19) к линейному виду :

(21)

$$y^{''}-Ay=0$$

,

где

(22)

$$A=\varepsilon_f-\varepsilon_s-\Lambda$$

.

Общее решение данного уравнения

(23)

$$y=C_1e^{k_1r}+C_2e^{k_2r}$$

,

где

$$C_{1,2}$$

- константы интегрирования,

(24)

$$k_{1,2}=\pm \sqrt{A}$$

-

корни характеристического уравнения

$$k^2-A=0$$

.

Из (24) видно, что возможны три случая : действительных корней разных знаков ($A>0$), комплексно сопряженных корней($A<0$) и нулевого корня кратности 2 ($A=0$). Рассмотрим первые два случая.

1) $A>0$, т. е.

$$\varepsilon_f>\varepsilon_s+\Lambda$$

.
Случай, возможный только при наличии электромагнитного поля (но не обязательно в присутствии вещества с экзотическим отрицательным давлением, по сути ничем не отличающимся от «лямбда-материи», и самой «лямбда-материи»).
В этом случае, определяя константы интегрирования из граничных условий, скажем, при $r=0$, получаем, к примеру :

а) При $y(0)=0, y^{'}(0)=0$ :

(25)

$$y=e^{\frac{\nu}{2}}=\sqrt{g_{00}}=Csh(\sqrt{A}r)$$

,

б) При $y(0)=1, y^{'}(0)=0$

(26)

$$y=e^{\frac{\nu}{2}}=\sqrt{g_{00}}=C{ch(\sqrt{A}r)}$$

.

$C$-постоянная. (Решение (26) было приведено ранее).

2)$A<0$, т. е.

$$\varepsilon_f<\varepsilon_s+\Lambda$$

.
Случай, возможный и без электромагнитного поля зарядов, при наличии одной лишь материи с отрицательным давлением. Здесь, при граничных условиях, скажем,

$$ y(0)=0, y^{'}(0)=0$$

, имеем пространственно периодическое решение *** :

(27)

$$y=e^{\frac{\nu}{2}}=\sqrt{g_{00}}=C\sin{\sqrt{|A|}r)$$

,

*** (Оно было ранее опущено из соображения, что наша вселенная экспериментально не проявляет свойства периодичности. Теперь же, учитывая, что на границах периода могут располагаться электрические заряды (противоположных знаков), в новом нестационарном «нормальном» (т. е. без экзотики) решении уравнений Эйнштейна — Максвелла, образованные (образующие) двумя горловинами (норами) в пространстве-времени, мы его рассмотрим).

Световые траектории в статическом «материальном» мире

Световые траектории (радиальные) определяются из равенства нулю их квадрата интервала :

(28)

$$ds^2=g_{00}dt^2+g_{11}dr^2=0$$

,

их уравнение :

(29)

$$\frac{dr}{dt}=\pm \sqrt{\frac{g_{00}}{-g_{11}}$$

Для приведенных решений это дает :
1. Для мира (25) :

(30)

$$\frac{dr}{dt}=\pm Csh(\sqrt{A}r)$$

,

2. Для мира (26) :

(31)

$$\frac{dr}{dt}=\pm C{ch(\sqrt{A}r)}$$

,

3. Для мира (27) :

(32)

$$\frac{dr}{dt}=\pm C\sin{(\sqrt{|A|}r)}$$

,

4.Для мира Шварцшильда с «лямбда-членом» (мерика приведена выше Someone'ом)

(33)

$$\frac{dr}{dt}=\pm (1-\frac{r_g}{r}+\frac{1}{3}\Lambda r^2)$$

.

Что из касательных к световым траекториям (30) — (33) видно?

1) Мир 1а) (25) обладает одним горизонтом событий $r=0$ (типа черной дыры).
2) Мир 1б) (26) не имеет горизонтов и весь доступен наблюдению.
3) Мир 2 (27) имеет 2 горизонта в областях $r=0$ и

$$r=\frac{1}{4\sqrt{|A|}}$$

, где расположены заряды, создающие электромагнитное (радиальное электрическое в данном случае) поле. Т.е. он любопытен тем, что, если бы мы находились в нем, то не могли бы видеть ни наше прошлое (если его рассматривать как асимптотику расширяющегося нестационарного мира), т. е., очевидно, области вблизи рождения, ни наше будущее — оно тоже скрыто за горизонтом ****

**** "Там, за горизонтом, там за горизонтом, там там тарам там тарам".
4) Мир Шварцшильда с «лямбда-членом» похож на мир (25), у него горизонт расположен в точке $0<r_1<r_g$.

Т.о., статический однородный мир постоянной кривизны может существовать и без "лямбда-материи" - в электромагнитном поле, скажем. При больших $\Lambda$, т.е. когда

$$\varepsilon_f<\varepsilon_s+\Lambda$$

, статический мир постоянной кривизны должен обладать двумя горизонтами событий. Насколько это приложимо к нашей вселенной, пока непонятно. Но в таком случае у нашей вселенной должны быть две горловины, что описывается решением для внутреннего мира из пыли и с зарядами. Тогда неизбежно надо согласиться с тождественностью частицы и вселенной.
Остается непонятным вещество с уравнением состояния $p_s=-\varepsilon_s<0$, которому тождественна "лямбда-материя".

P.S. Вроде бы есть неиспользованная возможность объяснить результаты наблюдения далеких сверхновых на "периферии" вселенной (при больших "красных смещениях") без привлечения "лямбда-материи" и вывода о расширении вселенной с ускорением : при большой кривизне пространства-времени и больших скоростях расширения связь величины смещения спектра излучения со скоростью, во первых, не описывается лоренц-инвариантным эффектом Доплера, во-вторых, надо учесть, что на космологических временах постоянная Хэббла зависит от времени и меняется от, грубо говоря, бесконечности (в состоянии максимального сжатия вселенной) до нуля (в состоянии максимального расширения).

[pc20b]

Движение тел не зависит от "лямбда-материи"

Доказательство :

Уравнения ОТО с $\Lambda$-членом можно записать в виде :

(1)

$$G_{\mu}^{\nu} = \kappa {(T_{\mu}^{\nu}}_{norm.}+\Lambda g_{\mu}^{\nu})$$

.

Как известно (ЛЛ2), тензор Эйнштейна удовлетворяет тождествам Бианки :

(2)

$$G_{\mu}^{\nu}_{;\nu}=0$$

.

Отсюда, из (1) и (2) следуют уравнения движения :

(3)

$$ {{(T_{\mu}^{\nu}}_{norm.}+\Lambda g_{\mu}^{\nu})}_{;\nu}=0$$

.

Т.к. $\Lambda = const$, а метрический тензор ковариантно постоянен, член с "лямбда-членом" в уравнении движения тождественно зануляется :

(4)

$$(\Lambda g_{\mu}^{\nu})_{;\nu}\equiv 0$$

.

Поэтому в уравнении движения любой материи остается только "нормальный" тензор энергии-импульса :

(5)

$$ {{T_{\mu}^{\nu}}_{norm.}}_{;\nu}=0$$

.

Следовательно, "лямбда-материя" с уравнением состояния

$$\varepsilon = -p=\frac{\Lambda}{\kappa}=const$$

не влияет на движение тел во вселенной (хотя на кривизну пространства-времени, естественно, влияет).

#

Вот такое забавное следствие.

[VladTK]

Цитата:

...Вот такое забавное следствие.

По видимому это ошибка. Метрический тензор входит в ТЭИ $ T^{\mu \nu} $ "вещества" и поскольку он содержит в себе $ \Lambda $ (как решение уравнений Эйнштейна), то и уравнения движения также будут содержать, и таким образом зависеть, от космологической постоянной.

[pc20b]

VladTK в сообщении #163116 писал(а):

По видимому это ошибка. Метрический тензор входит в ТЭИ $ T^{\mu \nu} $ "вещества" и поскольку он содержит в себе $ \Lambda $ (как решение уравнений Эйнштейна), то и уравнения движения также будут содержать, и таким образом зависеть, от космологической постоянной.

Я имел в виду только то, что ТЭИ "лямбда-материи" не вошел явно в уравнения движения

$$T_{\mu}^{\nu}_{;\nu}=0$$

. И отметил, что он будет
влиять через кривизну пространства-времени :

pc20b в сообщении #162793 писал(а):

Следовательно, "лямбда-материя" с уравнением состояния

$$\varepsilon = -p=\frac{\Lambda}{\kappa}=const$$

не влияет на движение тел во вселенной (хотя на кривизну пространства-времени, естественно, влияет).

[VladTK]

Кстати, можно ли считать уравнение

$$ D_{\nu} T^{\mu \nu} $$

уравнением движения полей? Точнее достаточно ли его одного? Ведь если динамических переменных много, то одного уравнения маловато будет.

[pc20b]

VladTK в сообщении #163536 писал(а):

Кстати, можно ли считать уравнение

$$ D_{\nu} T^{\mu \nu} $$

уравнением движения полей?

Его, очевидно, скорее всего можно рассматривать как дифференциальное уравнение состояния, связывающее плотности энергии, давления и т.п.

[VladTK]

Извиняюсь за формулу. Имелось ввиду конечно

$$ D_{\nu} T^{\mu \nu} =0 $$

Цитата:

Его, очевидно, скорее всего можно рассматривать как дифференциальное уравнение состояния, связывающее плотности энергии, давления и т.п.

Тогда вряд ли Вы сможете восстановить все физические поля по кривизне.