Еще раз об аксиоме выбора

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1615760 писал(а):

Вы не можете доказать (а часто даже сформулировать) теоремы. про которые любой нормальный человек скажет, что они являются теоремами о натуральных числах (типа той же теоремы Гудстейна)

Теорема Гудстейна является теоремой о натуральных числах. Она не является теоремой арифметики.

EminentVictorians в сообщении #1615760 писал(а):

Вы сами себе ограничили набор средств и потом удивляетесь, что существуют нестандартные модели.

Зато когда у нас возникнут разногласия о корректности доказательства, их можно решить способами, отличными от мордобоя.

EminentVictorians в сообщении #1615760 писал(а):

Вот если Вы сможете привести пример множества (которое можно построить в моем универсуме) и рассуждения (которое я посчитаю логичным) такие, что они приводят к противоречию

Поскольку Вы не описали допустимые правила рассуждений, то занятие изначально бесперспективное - Вы всегда можете сказать, что это рассуждение "не логичное".

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1615764 писал(а):

Теорема Гудстейна является теоремой о натуральных числах. Она не является теоремой арифметики.

Я согласен. Интересно, согласится ли epros.

mihaild в сообщении #1615764 писал(а):

Зато когда у нас возникнут разногласия о корректности доказательства, их можно решить способами, отличными от мордобоя.

С этим согласен, но частично. Да, способ действительно есть. Но в реальности он редко используется - настоящую формализацию практически никогда не делают. А я верю в то, что два человека, искренне заинтересованные в поиске ответа, могут справиться и без мордобоя, и без формализации. А если возникает честная спорная ситуация - так это наоборот повод для радости (но я таких не видел буквально ни разу).

mihaild в сообщении #1615764 писал(а):

Поскольку Вы не описали допустимые правила рассуждений, то занятие изначально бесперспективное - Вы всегда можете сказать, что это рассуждение "не логичное".

Могу, но не буду. Просто у меня презумпция другая. Я таких противоречивых рассуждений не избегаю, а наоборот пытаюсь найти их как можно больше. Если такое действительно найдется, это будет очень хорошим аргументом против моего основного тезиса, что строгость можно гарантировать без формализации.В этом случае я буду первым выгодоприобретателем от этого всего.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1615760 писал(а):

Вы сами себе ограничили набор средств и потом удивляетесь, что существуют нестандартные модели.

Но я никак не могу понять, каким образом это все должно относиться ко мне.

А к Вам, ещё большим формалистам, которые сами не замечают своей избыточной заформализованности, это относится ещё как: Ваш "набор средств" тоже ограничен, хотя Вы этого не замечаете, поэтому Вы даже не заметите, когда начёте пользоваться нестандартной моделью.

EminentVictorians в сообщении #1615760 писал(а):

У меня есть теория множеств, и натуральные числа построены внутри нее. Они являются полностью понятным и обозримым множеством.

Ну-ну, расскажите про "полную понятность" и даже " обозримость" бесконечности. Всё же в удивительных вещах могут убедить себя люди.

EminentVictorians в сообщении #1615760 писал(а):

Вот если Вы сможете привести пример множества (которое можно построить в моем универсуме) и рассуждения (которое я посчитаю логичным) такие, что они приводят к противоречию, вот тогда да - я сильно задумаюсь над своим отношением к жизни.

Разумеется, никто, кроме Вас, не приведёт примеров из "Вашего универсума". И в рассуждениях, которые Вы считаете логичными, Вы наверняка не увидите противоречий. Но вот попробуйте хотя бы определить счётный ординал, утверждение о существовании которого равносильно утверждению о непротиворечивости арифметики Пеано второго порядка. Это к вопросу "обозримости" натуральных чисел.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1615768 писал(а):

mihaild в сообщении #1615764 писал(а):

Теорема Гудстейна является теоремой о натуральных числах. Она не является теоремой арифметики.

Я согласен. Интересно, согласится ли epros.

Теорема Гудстейна не является теоремой арифметики Пеано первого порядка, но является теоремой арифметики Пеано второго порядка.

EminentVictorians в сообщении #1615768 писал(а):

mihaild в сообщении #1615764 писал(а):

Зато когда у нас возникнут разногласия о корректности доказательства, их можно решить способами, отличными от мордобоя.

С этим согласен, но частично. Да, способ действительно есть. Но в реальности он редко используется - настоящую формализацию практически никогда не делают. А я верю в то, что два человека, искренне заинтересованные в поиске ответа, могут справиться и без мордобоя, и без формализации. А если возникает честная спорная ситуация - так это наоборот повод для радости (но я таких не видел буквально ни разу).

Не знаю, что именно Вы подразумеваете под "найти ответ без формализации", но я знаю только один способ, как обойтись без мордобоя при решении вопросов, интересных нескольким сторонам: договориться о правилах. А это, по-сути, и есть формализация. Не знаю, за что Вы её постоянно проклинаете, хотя и прибегаете к ней повсеместно, зачастую даже в большей степени, чем нужно.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1615826 писал(а):

А к Вам, ещё большим формалистам, которые сами не замечают своей избыточной заформализованности, это относится ещё как: Ваш "набор средств" тоже ограничен, хотя Вы этого не замечаете, поэтому Вы даже не заметите, когда начёте пользоваться нестандартной моделью.

Я понимаю так, что формалисты рассуждают строго в рамках логики первого порядка. Т.е. буквально следят, чтобы одни строчки выводились из других по известным правилам вывода. Я такой фигней не занимаюсь. Я рассуждаю в рамках обычной человеческой логики. Если я занимаюсь математикой и мне нужно какое-то множество, я обращаюсь к своему универсуму. Просто мне не известно ни одного случая, когда обычная нормальная логика (не формализованная!) нас подводила бы. Интересно, существует ли хоть один реальный парадокс? Все известные мне математические парадоксы рассыпаются не из-за формализации, а из-за обычного наведения строгости, по типу введения моего универсума. А все нематематические парадоксы вроде бы сводятся к игре словами естественного языка. И при наведении строгости так же рассыпаются. Формализация не привлекается ни там, ни там.

Я подчеркну, что я не против формальных систем. Мы берем какую-нибудь полностью строгую и корректно определенную математическую сущность (например те же натуральные числа) и строим для них некоторую формальную теорию (например PA первого порядка). Эта формальная теория является просто моделью натуральных чисел (а не определением!). Как и любая модель, она часть свойств ухватывает, а часть нет (теорема Гудстейна как раз является примером такого свойства). Так что я не против формальной логики. Я против сведения математических объектов к их формальным моделям (которые даже из описания, очевидно, являются другими математическими объектами).

epros в сообщении #1615826 писал(а):

Но вот попробуйте хотя бы определить счётный ординал

(Оффтоп)

Плохо у меня с этими ординалами-кардиналами, так что могу ерунды наговорить, но попробую ответить..

Какой из? Их же несчетное число.

Ну я возьму, допустим, вот это множество:

EminentVictorians в сообщении #1615746 писал(а):

$$\mathbb N = \Bigg\{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}, \Big \{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \} \Big \}, \ldots \Bigg\} \eqno$$

Это же в точности ординал омега и есть. Определив омегу, мы тем самым определили (один из) счетных ординалов. Или надо было определить, что такое "счетность" применительно к ординалам?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1615837 писал(а):

Я понимаю так, что формалисты рассуждают строго в рамках логики первого порядка.

Неправильно понимаете. Логика первого порядка - всего лишь одна из возможных.

EminentVictorians в сообщении #1615837 писал(а):

Т.е. буквально следят, чтобы одни строчки выводились из других по известным правилам вывода.

Это уже ближе.

EminentVictorians в сообщении #1615837 писал(а):

Я такой фигней не занимаюсь. Я рассуждаю в рамках обычной человеческой логики.

Не лукавьте. Рассуждения “в рамках обычной человеческой логики" - это и есть те же самые выводы одних предложений из других. Хорошо, если "по известным правилам". Если же не по известным правилам, то можно смело говорить об "отсутствии логики" и даже прямо о "демагогии".

EminentVictorians в сообщении #1615837 писал(а):

Если я занимаюсь математикой и мне нужно какое-то множество, я обращаюсь к своему универсуму.

Это что-то типа снискания озарения посредством медитаций?

EminentVictorians в сообщении #1615837 писал(а):

Просто мне не известно ни одного случая, когда обычная нормальная логика (не формализованная!) нас подводила бы.

Да сколько угодно, называется это "логические ошибки". Решается посредством разъяснения субъекту правил.

EminentVictorians в сообщении #1615837 писал(а):

Интересно, существует ли хоть один реальный парадокс? Все известные мне математические парадоксы рассыпаются не из-за формализации, а из-за обычного наведения строгости, по типу введения моего универсума.

А как разрешился известный нам с Вами парадокс Рассела? И чем, собственно, "наведение строгости" отличается от "формализации"?

EminentVictorians в сообщении #1615837 писал(а):

А все нематематические парадоксы вроде бы сводятся к игре словами естественного языка. И при наведении строгости так же рассыпаются. Формализация не привлекается ни там, ни там.

Я прямо в недоумении, что бы могло означать "наведение строгости" без привлечения формализации? Скажем, как Вы разберётесь с парадоксальным утверждением: "Я сейчас несу чушь"?

EminentVictorians в сообщении #1615837 писал(а):

Я подчеркну, что я не против формальных систем. Мы берем какую-нибудь полностью строгую и корректно определенную математическую сущность (например те же натуральные числа) и строим для них некоторую формальную теорию (например PA первого порядка). Эта формальная теория является просто моделью натуральных чисел (а не определением!).

У Вас какая-то нестандартная терминология. Формальная теория - определённо не "модель", но она как раз в некотором смысле является именно "определением" тех термов, которые выразимы в её языке.

EminentVictorians в сообщении #1615837 писал(а):

Как и любая модель, она часть свойств ухватывает, а часть нет (теорема Гудстейна как раз является примером такого свойства). Так что я не против формальной логики. Я против сведения математических объектов к их формальным моделям (которые даже из описания, очевидно, являются другими математическими объектами).

Ну хорошо, Вы "против" аксиоматики. А за что Вы "за"? Вот как Вы натуральные числа определите бе аксиоматики?

EminentVictorians в сообщении #1615837 писал(а):

epros в сообщении #1615826 писал(а):

Но вот попробуйте хотя бы определить счётный ординал

Определив омегу, мы тем самым определили (один из) счетных ординалов. Или надо было определить, что такое "счетность" применительно к ординалам?

Вы не поняли постановку задачи, прочитайте внимательнее (всё предложение целиком, а не только процитированную часть). Поясню на примере: Непротиворечивость арифметики Пеано первого порядка доказывается трансфинитной индукцией до ординала $\varepsilon_0$. Это доказательство неосуществимо в самой арифметике Пеано первого порядка, потому что в ней невозможно определить (доказать существование) данного ординала. Для арифметики Пеано второго порядка тоже есть счётный ординал, трансфинитной индукцией до которого должна доказываться её непротиворечивость. Но никто не знает, как его определить. См. сюда.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1615845 писал(а):

Неправильно понимаете. Логика первого порядка - всего лишь одна из возможных.

Да, конечно. Я понимаю, что существует много вариантов формализованных логик. Просто я держал в голове образ классического формалиста математика, который живет в ZFC. Можно считать, что речь шла о нем.

epros в сообщении #1615845 писал(а):

Не лукавьте. Рассуждения “в рамках обычной человеческой логики" - это и есть те же самые выводы одних предложений из других.

Выводы по обычной логике, не формальной. Дано два утверждения:
1)Все люди смертны
2)Сократ - человек.

Делаем вывод, что Сократ смертен.

Это пример обычной человеческой логики.

Я не вводил формальный язык, я не представлял 1-ое утверждение в виде формальной строчки с всякими разными буквами типа $\forall$, я не вводил исчисление предикатов, не проверял выводимость одной строчки из другой по правилу вывода. Ничего этого не было.

epros в сообщении #1615845 писал(а):

Это что-то типа снискания озарения посредством медитаций?

Это что-то типа критерия, с помощью которого я отличаю корректные совокупности (множества) от некорректных. Некорректные совокупности, конечно, тоже иногда сами собой возникают, но пока я их не проинтерпретирую в рамках своего универсума, я их не могу использовать в доказательствах. Парадокс Рассела не является парадоксом именно по этой причине: оно не является доказательством и, соответственно, ничего не доказывает. "Множество всех множеств" просто не является множеством, а является некорректной совокупностью.

epros в сообщении #1615845 писал(а):

Я прямо в недоумении, что бы могло означать "наведение строгости" без привлечения формализации?

Я могу прямо сейчас доказать Вам, что, например, интеграл Римана от неотрицательной функции будет неотрицательным действительным числом. Я вполне могу навести строгость в одномерном анализе: объяснить, что такое действительное число, что такое функция, как определяется интеграл Римана и т.п. Но я не буду вводить никакие формальные языки и/или формальные теории. Другими словами, я не буду делать формализацию.

epros в сообщении #1615845 писал(а):

Скажем, как Вы разберётесь с парадоксальным утверждением: "Я сейчас несу чушь"?

Разобрать парадокс лжеца? Хорошо.

Формулировка:
Некоторый человек говорит: "Я лгу".

Мой разбор:
Если включить обычную человеческую логику, то непонятно, что в точности означает фраза "Я лгу". Я вижу два варианта:

1)Некоторый человек говорит: "Каждое произнесенное мной предложение является ложью."
Разберем этот случай.
Если человек действительно таков, что каждое произнесенное им предложение является ложным, и он действительно произнес предложение выше, значит он сказал правду. Получили противоречие. Это значит, что если человек действительно всегда говорит ложь, он просто не мог произнести это предложение. Поэтому если некоторый человек таки произнес это предложение, значит он точно не может быть всегда лгущим человеком.

2) Некоторый человек говорит: "Предложение, которое я сейчас произношу, является ложью."
Опять включаем обычную человеческую логику. Замечаем, что человек говорит на русском языке. Очевидно, что не каждая строка, составленная из символов русского алфавита, является высказыванием. Например, строки "Который час?" или "Авждплвплдв вдаповждлэцв лповдоп" высказываниями не являются. Первая строка является вопросительным предложением, а вторая строка такова, что в ней фигурируют не определенные слова. Таким образом, чтобы некоторая строка являлась высказыванием, как минимум в нее должны входить сущности, которые определены до собственно формулировки этого высказывания. Таким образом, строка "Предложение, которое я сейчас произношу, является ложью." не является высказыванием, а значит относительно нее нельзя ожидать, что ей присвоено однозначное истинностное значение "И" или "Л" и выполняется закон исключенного третьего.

Парадокса не получилось.

epros в сообщении #1615845 писал(а):

У Вас какая-то нестандартная терминология. Формальная теория - определённо не "модель", но она как раз в некотором смысле является именно "определением" тех термов, которые выразимы в её языке.

Просто слово "модель" перегружено. Есть модель некоторой формальной теории - это множество с операциями и отношениями, удовлетворяющими аксиомам формальной теории. А есть модель в общенаучном смысле, как, например, мы считаем моделью физического процесса течения времени множество действительных чисел $\mathbb R$. В данном случае у нас есть математический объект "натуральные числа" и есть его модель (понимаемая в этом, общенаучном смысле) - арифметика Пеано первого порядка.

epros в сообщении #1615845 писал(а):

Ну хорошо, Вы "против" аксиоматики. А за что Вы "за"? Вот как Вы натуральные числа определите бе аксиоматики?

Я не против аксиоматических определений. Давайте на примере аксиом группы. Я считаю, что это очень хорошее определение. Причины известны: теория групп является достаточно приятной наукой, групп бывает много разных, а значит мы можем использовать общую развитую теорию групп для многих частных случаев, а не воспроизводить (как раньше, до изобретения теории групп) похожие доказательства в разных частных случаях. Т.е. я "за" аксиоматическое определение группы. Но я против сведения теории групп к формальной теории (одной) группы. В этой формальной теории, по-моему, Вы даже не сможете элементарно сказать: "Рассмотрим конечную группу $G$". А я считаю, что такое предложение является вполне типичным для теории групп. Ограничивать себя тремя аксиомами и логикой первого порядка я не собираюсь.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1615863 писал(а):

Выводы по обычной логике, не формальной. Дано два утверждения:
1)Все люди смертны
2)Сократ - человек.

Делаем вывод, что Сократ смертен.

Это пример обычной человеческой логики.

Ба, Вы вдруг решили встать в ряды пропагандистов этой средневековой мудрости по названием "силлогизмы". И как же именно Вы сделали этот вывод? Почему, например, не так:
1) Все люди смертны.
2) Барсик - не человек
Вывод: Барсик не смертен.

Вы хотите сказать, что заучивали все виды "правильных" силлогизмов? Так я Вам скажу, что не нужно этого делать, ибо современная (она же - математическая) логика позволяет определить всё это же самое в сто раз проще и в тысячу раз продуктивнее, чем у средневековых схоластов. Для начала, нужно перестать пугаться значков $\forall$, $\exists$, $\to$ и $\neg$, ибо они - всего лишь сокращения слов.

EminentVictorians в сообщении #1615863 писал(а):

Парадокс Рассела не является парадоксом именно по этой причине: оно не является доказательством и, соответственно, ничего не доказывает. "Множество всех множеств" просто не является множеством, а является некорректной совокупностью.

Я не понял, откуда Вы это взяли? Почему одно - "множество", а другое - "некорректная совокупность". По моим понятиям класс всех множеств - вполне себе корректная совокупность.

EminentVictorians в сообщении #1615863 писал(а):

Я могу прямо сейчас доказать Вам, что, например, интеграл Римана от неотрицательной функции будет неотрицательным действительным числом. Я вполне могу навести строгость в одномерном анализе: объяснить, что такое действительное число, что такое функция, как определяется интеграл Римана и т.п. Но я не буду вводить никакие формальные языки и/или формальные теории.

Так и не вводите. Кто Вам сказал, что доказательства должны быть формализованы до такой степени? Тем не менее, любое уточнение правил - это формализация. Но Вы почему-то упорно уже не в первой теме утверждаете, что Ваши оппоненты как раз такие формалисты, которые жить не могут без формальных грамматик и всего такого.

EminentVictorians в сообщении #1615863 писал(а):

Таким образом, строка "Предложение, которое я сейчас произношу, является ложью." не является высказыванием

А Вы в курсе, что та штука, которая определяет, что является или не является высказыванием, как раз и есть грамматика? Грамматика естественного языка позволяет упоминать "сущности", которые не определены до формулировки предложения. Но Вы почему-то с этим не согласны и пытаетесь определять свои правила.

EminentVictorians в сообщении #1615863 писал(а):

В данном случае у нас есть математический объект "натуральные числа" и есть его модель (понимаемая в этом, общенаучном смысле) - арифметика Пеано первого порядка.

То, что Вы обозвали теорию "моделью в общенаучном смысле", это ладно. Но то, что Вы утверждаете, что якобы у нас есть математический объект "натуральные числа" и без всяких его определений, это непонятно. В каком смысле и где они "есть"? Это ведь не стул, который есть в реальности, а совершенно воображаемые объекты. Пока Вы их как-то не определите, вообще не о чём говорить.

EminentVictorians в сообщении #1615863 писал(а):

Но я против сведения теории групп к формальной теории (одной) группы. В этой формальной теории, по-моему, Вы даже не сможете элементарно сказать: "Рассмотрим конечную группу $G$". А я считаю, что такое предложение является вполне типичным для теории групп. Ограничивать себя тремя аксиомами и логикой первого порядка я не собираюсь.

Я ничего не понял. Аксиоматика групп - это и есть определение аксиоматической теории групп.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1615924 писал(а):

Вы хотите сказать, что заучивали все виды "правильных" силлогизмов?

Нет. Но это не мешает мне логично мыслить. Без всяких силлогизмов, формализованных логик и т.д. И я утверждаю, что вот эта обычная человеческая логика является надежным фундаментом математики. Вы поймите, чтобы показать несостоятельность моей точки зрения, Вам достаточно просто предъявить пример логичного с обычной точки зрения рассуждения, но которое приводит к противоречию. И это сразу уничтожит на корню всю мою философию.

epros в сообщении #1615924 писал(а):

Почему одно - "множество", а другое - "некорректная совокупность"

Множество - это то, что существует в моем универсуме $U$.

Пусть $M$ - множество всех множеств. Докажем, что $M \notin U$.

Действительно, если бы $M \in U$, тогда для $M$ выполнялось бы $M \in M$, что противоречит аксиоме номер 8 (регулярности). Чтд.

Таким образом, в моем универсуме множества всех множеств нету. А значит оно не является множеством.

epros в сообщении #1615924 писал(а):

Кто Вам сказал, что доказательства должны быть формализованы до такой степени?

Не бывает формализации "до такой степени" и "не до такой степени". Формализация - она либо есть, либо ее нету. Не ввели в полном объеме формальную систему - ни о какой формализации говорить не можете.

В данном случае я использую обычное определение формальной системы, которое (с небольшой вариативностью) есть в любом учебнике математической логики. Если Вы под формализацией понимаете что-то иное, приведите определение.

epros в сообщении #1615924 писал(а):

Тем не менее, любое уточнение правил - это формализация.

Я считаю, что это не так. Уточнение правил - это уточнение правил. Формализация - это построение формальной системы, со всеми ее атрибутами типа алфавита, индуктивных определений термов и формул, прямого введения формального исчисления предикатов со всеми аксиомами и правилами вывода и так далее.

epros в сообщении #1615924 писал(а):

Но Вы почему-то упорно уже не в первой теме утверждаете, что Ваши оппоненты как раз такие формалисты, которые жить не могут без формальных грамматик и всего такого.

Да нету у меня претензий к формалистам. У меня претензия к устоявшемуся мифу считать формализм основанием математики.

epros в сообщении #1615924 писал(а):

Пока Вы их как-то не определите, вообще не о чём говорить.

Так я их уже определял, причем даже в этой теме. Могу еще раз, мне не сложно:

Множеством $\mathbb N$ натуральных чисел называется упорядоченная четверка $\mathbb N = (\mathbb N_0, + , \cdot, 0, 1)$, где $\mathbb N_0 = \Bigg\{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}, \Big \{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \} \Big \}, \ldots \Bigg\} \eqno$ - носитель, $+, \cdot$ - понятно как определенные операции, т.е. функции виде $\mathbb N_0 \times \mathbb N_0 \to \mathbb N_0$, ноль и единица - тоже операции, правда нульарные (т.е. функции из одноточечного множества в носитель). Доказательство корректности этого определения было в этой теме:

EminentVictorians в сообщении #1614071 писал(а):

1)Обозначим множество наследственно конечных множеств буквой $\Sigma$. Тогда $\Sigma \in U$ (по аксиоме множества наследственно конечных множеств).
2) $\Sigma \in U \Rightarrow 2^\Sigma \in U$ (аксиома булеана)
3) Положим $\mathbb N_0$ - носитель множества натуральных чисел. $\mathbb N_0 \subset \Sigma \Rightarrow \mathbb N_0 \in 2^\Sigma \in U \Rightarrow \mathbb N_0 \in U$ (использовалась вторая аксиома).
4) Легко доказать, что операции сложения и умножения (имеющие вид $\mathbb N_0 \times \mathbb N_0 \to \mathbb N_0$), так же принадлежат универсуму. Если хочется считать ноль и единицу операциями (нульарными), тоже легко показать, что они (как функции вида $\circ \to \mathbb N_0$ (где кружочек - это какое-нибудь одноточечное множество универсума) тоже принадлежат универсуму.
5) Таким образом, вся структура $\mathbb N = (\mathbb N_0, + , \cdot, 0, 1)$ принадлежит универсуму.

epros в сообщении #1615924 писал(а):

Аксиоматика групп - это и есть определение аксиоматической теории групп.

"Аксиоматической теории групп"? Я знаю обычную аксиоматическую теорию (одной) группы (там 3 аксиомы). Сконструировать формальную теорию групп, где будет не одна группа, наверное можно, но это совсем не общеупотребительная вещь. Если Вы о ней говорите, поясните пожалуйста подробнее, какие аксиомы в нее входят.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1615952 писал(а):

И я утверждаю, что вот эта обычная человеческая логика является надежным фундаментом математики. Вы поймите, чтобы показать несостоятельность моей точки зрения, Вам достаточно просто предъявить пример логичного с обычной точки зрения рассуждения, но которое приводит к противоречию

Выйдите на улицу и проведите опрос, верен ли предложенный epros силлогизм.
Даже математики только 200 лет назад поняли, что хорошо бы давать определения используемым словам. До того "обычная человеческая логика" считала вполне нормальным рассуждать о том, неизвестно о чем.

EminentVictorians в сообщении #1615952 писал(а):

Не бывает формализации "до такой степени" и "не до такой степени". Формализация - она либо есть, либо ее нету. Не ввели в полном объеме формальную систему - ни о какой формализации говорить не можете.

Кроме формализации предлагаю рассмотреть еще ИМХО очень важное понятие формализуемости.
Рассуждение является формализуемым, если можно написать формальный вывод, про который большинство математиков, занимающихся соответствующей областью, согласятся, что он является формализацией рассуждения (если их запереть в комнате и не выпускать, пока они не проанализируют этот вывод). Причем формализуемость утверждения можно в некотором разумном смысле проверять без его полной формализации.
И я предполагаю, что любое интересное (которое можно опубликовать в журнале) математическое рассуждение можно формализовать в ZF.

EminentVictorians в сообщении #1615952 писал(а):

где $\mathbb N_0 = \Bigg\{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}, \Big \{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \} \Big \}, \ldots \Bigg\} \eqno$

А что это за загадочный символ $\ldots$?

[talash]

epros в сообщении #1615924 писал(а):

Почему, например, не так:
1) Все люди смертны.
2) Барсик - не человек
Вывод: Барсик не смертен.

Ответ: Потому что.
Логика это интуитивная вещь, получаемая из опыта.
Если появляется некая группа деятелей, которые заявляют, что вот у нас есть правильная логика, формализованная, а ваша интуитивная неправильная и все кто не знает нашу логику тот и не математик вовсе, то как должен разрешаться спор, по какому принципу? Я считаю, что по принципу "практика - критерий истины". (Если не согласны, то предложите свой принцип.) Кто хочет пользуется формализованной, кто хочет интуитивной и потом сравнивают достижения. Одна группа математиков должна была показать преимущества своего подхода другой группе математиков, противников этого подхода. Вот это был бы конструктивный спор и на его основе мог бы быть достигнут добровольный консенсус какая логика правильна, то есть полезна или быть может полезны обе.

А поскольку добровольного консенсуса не было, то есть вероятность, что все эти сложности, внедрённые в основания математики, ничего полезного не дали. Исходя из этого, я читаю тех авторов, логику которых понимаю, например, Пуанкаре, Коши. А книги, где используется так называемый теоретико-множественный подход не читаю, потому что логику не понимаю.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1615966 писал(а):

Выйдите на улицу и проведите опрос, верен ли предложенный epros силлогизм.

Так это будет проблема людей, а не логики. Люди и таблицу умножения могут не знать, но Вы же не будете говорить, что это проблема натуральных чисел.

mihaild в сообщении #1615966 писал(а):

Даже математики только 200 лет назад поняли, что хорошо бы давать определения используемым словам. До того "обычная человеческая логика" считала вполне нормальным рассуждать о том, неизвестно о чем.

А я, кстати, не считаю это каким-то преступлением против логики. Эйлер, кажется, очень вольно обращался с математическими объектами (суммировал расходящиеся ряды и все такое) и приходил к интересным результатам. Просто я считаю, что такие сюжеты имеют несколько иную познавательную ценность, нежели обычное нормальное доказательство. А так да, надо бы давать определения тем объектам, над которыми производятся математические манипуляции. Вот только формализация к этому, по-моему, не имеет никакого отношения.

mihaild в сообщении #1615966 писал(а):

А что это за загадочный символ $\ldots$?

А вот это похоже самый важный вопрос во всей этой истории. Да, если попытаться определить $\mathbb N_0$ рекурсивно в духе

Пусть $a_1 = \varnothing$
Положим $a_n = \{a_1, ... , a_{n-1} \}$

то возникнут резонные вопросы вроде "что такое $n$ и $n-1$?".

Я знаю, как это обходится в ZFC, но вот надо ли оно?

Тут есть 4 варианта:
1) Как в ZFC
2)Считать, что всем людям (которым нужна математика) известны "протонатуральные" числа, которые можно использовать для того, чтобы давать индуктивные определения.
3)Сказать "Смотри!", чтобы человек сам понял, что это за множество и из каких элементов оно состоит.
4)Или вообще самый наглый вариант: в принципе считать натуральные числа данными без предварительных условий всем людям. А потом просто сказать, что вот она - теоретико-множественная модель натуральных чисел, дальше для определенности с ней и будем работать.

Я сам пользуюсь четвертым вариантом. Я верю в существование натуральных чисел больше, чем в весь формальный подход вместе взятый. И не считаю это чем-то нестрогим.

В конце концов, сам формальный подход использует неявно и натуральные числа, и индукцию по построению формул. Так что строгости у формалистов в этом плане не больше, чем у меня.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1615983 писал(а):

Люди и таблицу умножения могут не знать, но Вы же не будете говорить, что это проблема натуральных чисел

Я скажу, что это проблема "обычного человеческого представления о натуральных числах".

EminentVictorians в сообщении #1615983 писал(а):

Эйлер, кажется, очень вольно обращался с математическими объектами (суммировал расходящиеся ряды и все такое) и приходил к интересным результатам

Эйлер был очень умным. Если бы я начал такое делать, то получился бы бред. И без строгих определений никто не смог бы даже мне объяснить, где и почему бредовость, и почему у Эйлера всё получается, а у меня нет. Коши, кстати, благодаря обычному человеческому пониманию бесконечномалых доказал, что поточечный предел последовательности непрерывных функций непрерывен.

EminentVictorians в сообщении #1615983 писал(а):

В конце концов, сам формальный подход использует неявно и натуральные числа, и индукцию по построению формул

Сам формальный подход их использует совершенно явно. Я могу определить в ZF (и даже в PA) понятие формулы первого порядка, и доказательства таких формул.

[epros]

epros в сообщении #1615924 писал(а):

Вы хотите сказать, что заучивали все виды "правильных" силлогизмов?

EminentVictorians в сообщении #1615952 писал(а):

Нет. Но это не мешает мне логично мыслить. Без всяких силлогизмов, формализованных логик и т.д.

Вы лукавите. Применять правильные силлогизмы и не применять неправильные возможно только в результате обучения, которого Вы, очевидно, не избежали. И если обучение было недостаточным, то мы получим кучу ошибок, что случается сплошь и рядом.

talash в сообщении #1615978 писал(а):

Логика это интуитивная вещь, получаемая из опыта.

Никакой "интуитивной" логики не существует. И "опыт" вряд ли имеет отношение к формированию у человечества "единственно верной" логики. Логика - это сконструированная человечеством система правил рассуждения, которую каждый отдельный человек как-то усваивает в ходе обучения, начиная с ясельного возраста.

talash в сообщении #1615978 писал(а):

Если появляется некая группа деятелей, которые заявляют, что вот у нас есть правильная логика, формализованная, а ваша интуитивная неправильная и все кто не знает нашу логику тот и не математик вовсе, то как должен разрешаться спор, по какому принципу? Я считаю, что по принципу "практика - критерий истины". (Если не согласны, то предложите свой принцип.)

Обсуждение того, что этот принцип - глупость, заслуживает отдельной темы. А "спор о логике" на самом деле разрешается довольно просто, потому что какая именно будет логика большинству людей в общем-то наплевать. Поэтому те, кто заинтересованы во взаимопонимании, обычно выбирают наиболее проработанную и общеизвестную логику.

EminentVictorians в сообщении #1615952 писал(а):

чтобы показать несостоятельность моей точки зрения, Вам достаточно просто предъявить пример логичного с обычной точки зрения рассуждения, но которое приводит к противоречию.

А вот давайте не будем предлагать собеседникам заведомо нечестных правил.

EminentVictorians в сообщении #1615952 писал(а):

что противоречит аксиоме номер 8 (регулярности)

Откуда она взялась в "Вашем универсуме"? Вообще-то, со времён Кантора до Рассела "в универсуме" у математиков преобладало мнение, что множество можно сформировать по любому свойству. А вот никакой аксиомы регулярности в этом универсуме не было.

EminentVictorians в сообщении #1615952 писал(а):

Я считаю, что это не так. Уточнение правил - это уточнение правил. Формализация - это построение формальной системы, со всеми ее атрибутами типа алфавита, индуктивных определений термов и формул, прямого введения формального исчисления предикатов со всеми аксиомами и правилами вывода и так далее.

Это вопрос терминологии. Я говорю об уточнении правил. А тот случай, когда оно (уточнение правил) доходит до формальных грамматик и аксиоматики, это просто тот частный случай, который обычно считается "достаточным в самом сложном случае".

EminentVictorians в сообщении #1615952 писал(а):

Да нету у меня претензий к формалистам. У меня претензия к устоявшемуся мифу считать формализм основанием математики.

Я не знаю, что Вы считаете "основанием математики". По моим понятиям исследованиями оснований математики занимается reverse mathematics. Формализация языка там - это чисто технический момент, вся суть исследований - в том, какая аксиоматика для чего нужна.

EminentVictorians в сообщении #1615952 писал(а):

где $\mathbb N_0 = \Bigg\{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}, \Big \{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \} \Big \}, \ldots \Bigg\} \eqno$

Это зачем? По моим понятиям натуральные числа не имеют никакого отношения к множествам. Конечно, их можно моделировать и множествами, но счётными палочками и зарубками на дереве - как то даже более удобно.

EminentVictorians в сообщении #1615952 писал(а):

$+, \cdot$ - понятно как определенные операции

Не надо говорить "понятно как", скажите как именно определённые. Иначе я это расцениваю как попытку увильнуть от признания того, что операции определяются аксиомами.

EminentVictorians в сообщении #1615952 писал(а):

Я знаю обычную аксиоматическую теорию (одной) группы (там 3 аксиомы).

Я не понимаю, как аксиомы могут определять "одну группу".

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1615997 писал(а):

Коши, кстати, благодаря обычному человеческому пониманию бесконечномалых доказал, что поточечный предел последовательности непрерывных функций непрерывен.

Давайте все же разделять. Есть набросок доказательства, а есть собственно доказательство. Эйлер оперировал не определенными понятиями "число", "функция", "бесконечно малая" и т.п., и, следовательно, с логической точки зрения, эти тексты не считаются доказательствами. И по-моему, во времена Эйлера было очевидно, что надо давать определения тем сущностям, с которыми работаешь (не просто ведь так Ролль и епископ Беркли критиковали бесконечно малые). Относительно Коши все то же самое. Его "доказательство" не было доказательством не из-за каких-то формалистических аргументов, а просто с точки зрения элементарной человеческой логики (рассуждал об объектах, которым не были даны определения).

mihaild в сообщении #1615997 писал(а):

Я могу определить в ZF (и даже в PA) понятие формулы первого порядка, и доказательства таких формул.

Я не об этом. Я о том, что в основании формализма натуральные числа все равно лежат, хоть и неявно. Если представить человека, который вообще не в курсе о натуральных числах, то такого не научить формализму (он просто не будет понимать, что такое нумерация переменных в алфавите, что такое счетное число переменных (в случае бесконечного алфавита), как определяются свободные и связанные вхождения переменных, может быть что-то еще).

epros в сообщении #1616059 писал(а):

Применять правильные силлогизмы и не применять неправильные возможно только в результате обучения, которого Вы, очевидно, не избежали.

Понятно, что я не в лесу родился и худо-бедно чему-то учился. Но я утверждаю, что можно научиться правильно и логично рассуждать, не имея ни малейшего представления о формальных логиках.

epros в сообщении #1616059 писал(а):

А вот давайте не будем предлагать собеседникам заведомо нечестных правил.

Да я не то чтобы хотел Вас как-то подловить или подколоть. Мне правда интересно, существует ли хоть один парадокс, не раскалываемый обычной человеческой логикой. А раз таких, на сколько я понимаю, нету, чего тогда люди бояться брать в качестве основания обычную нормальную логику.

epros в сообщении #1616059 писал(а):

Откуда она взялась в "Вашем универсуме"?

А ее вообще можно было и не брать - все множества в моем универсуме вроде бы и так регулярны без нее (я пока это не доказал, но сильно удивлюсь, если это не так). Так что противоречие будет не с аксиомой регулярности, а с теоремой регулярности.

epros в сообщении #1616059 писал(а):

Это вопрос терминологии. Я говорю об уточнении правил.

Ну тогда неудивительно, что я не понимал Вас несколько тем подряд. Обычно под формализацией имеют в виду именно построение формальной системы. С этим разобрались.

epros в сообщении #1616059 писал(а):

Это зачем? По моим понятиям натуральные числа не имеют никакого отношения к множествам.

Это просто теоретико-множественная модель натуральных чисел. Мне вообще нравится теория множеств. Неудивительно, что я не прошел мимо такой хорошей модели.

epros в сообщении #1616059 писал(а):

Не надо говорить "понятно как", скажите как именно определённые. Иначе я это расцениваю как попытку увильнуть от признания того, что операции определяются аксиомами.

Хорошо, распишу. Сейчас немного не успеваю, но позже сделаю.

epros в сообщении #1616059 писал(а):

Я не понимаю, как аксиомы могут определять "одну группу".

Речь идет о формальной теории (одной) группы. Та, в которой 3 аксиомы, на которые Вы дали ссылку. Эта теория, по-сути - внутренний язык группы. Вы не сможете в ней формализовать даже такое простейшее рассуждение как: "Рассмотрим конечную группу $G$". И про гомоморфизмы в ней тоже, кажется, не поговорить. А Вы ее хотите отождествить со всей теорий групп. Ситуация абсолютно аналогична тому, что Вы отождествляете натуральные числа с формальной арифметикой.

-- 04.11.2023, 14:59 --

EminentVictorians в сообщении #1616078 писал(а):

И про гомоморфизмы в ней тоже, кажется, не поговорить.

Хотя не уверен. Частично про гомоморфизмы кажется можно поговорить. В общем надо вникать.