Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]

[Vladimir Pliassov]

EminentVictorians в сообщении #1612525 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1612521 писал(а):

пустое множество состоит из натуральных чисел, но при этом не содержит ни одного натурального числа. Правильно?

Правильно. ... оборот "множество $A$ состоит из элементов множества $B$" при переводе на строгий математический язык расшифровывается как $A \subset B$. В нашем случае $\varnothing \subset \mathbb N$, т.е. ответ "да, состоит".

Пустое множество не содержит элементов, и при этом о нем говорят, что оно из них состоит. Это мне кажется неудачным: любой нормальный человек, не знакомый с терминологией теории множеств, скажет, что "множество содержит элементы (и только элементы)" и "множество состоит из элементов" это одно и то же. Впрочем, если договорились, что "состоит из элементов" и "содержит элементы" -- не одно и то же, то пусть так.

Но точно ли, что это так? Неужели в самом деле принято говорить: "пустое множество состоит из натуральных элементов", -- когда имеется в виду: "пустое множество является подмножеством множества натуральных чисел"?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612987 писал(а):

Неужели в самом деле принято говорить: "пустое множество состоит из натуральных элементов",

Так говорить не принято. Но корректно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1611591 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1611587 писал(а):

мощность множества $M$ больше мощности любого отрезка натурального ряда, так как эти мощности не равны, а мощности меньше мощности пустого множества не бывает

Вот это надо расписать чуть подробнее. Ну хорошо, мощность $M$ не равна $10$ и не меньше $0$, как из этого следует что мощность $M$ больше $10$?

Из этого не следует, что мощность $M$ больше $10$, это следует из того, что мощность $M$ 1) не равна мощности никакого непустого отрезка натурального ряда; 2) не равна мощности пустого отрезка натурального ряда и 3) не меньше $0$ (то есть не меньше мощности пустого отрезка натурального ряда), так как мощности меньше нуля не бывает, -- поскольку мощность $M$ не равна мощности ни одного из отрезков натурального ряда и при этом не меньше мощности наименее мощного из них, то она больше мощности любого из них.

$\rhd$ Пусть $N_a =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$ -- произвольный непустой отрезок натурального ряда ($a$- отрезок, $a=\overline {0, 1, 2, \ldots}$\; , соответственно, $\mathbb N= \{0, 1, 2, \ldots\}$),

$N_{-1} =\varnothing$ -- пустой отрезок натурального ряда, тогда ($\vert N_{-1} \vert<\vert N_a \vert$ и, вообще,) при любом $b<a, \, b=\overline {-1, 0, 1, 2, \ldots}\; ,$ имеем $\vert N_b \vert<\vert N_a \vert$. По условию $\forall b \; \vert M\vert \ne \vert N_b \vert$,

поэтому $\vert M\vert \not < \vert N_a \vert$. При этом, по условию же, $\vert M\vert \ne \vert N_a \vert$, так что $\vert M\vert > \vert N_a \vert$. $\lhd$

[Vladimir Pliassov]

Нет, не все, надо еще доказать, что $\vert M\vert > \vert N_{-1} \vert$.

$\rhd$ $\vert M\vert \not <\vert N_{-1}\vert \wedge \vert M\vert \not =\vert N_{-1}\vert \to \vert M\vert > \vert N_{-1}\vert$. Таким образом, мощность $M$ больше мощности любого отрезка натурального ряда. $\lhd$

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1613047 писал(а):

при любом $b<a, \, b=\overline {-1, 0, 1, 2, \ldots}\; ,$ имеем $\vert N_b \vert<\vert N_a \vert$. По условию $\forall b \; \vert M\vert \ne \vert N_b \vert$,

поэтому $\vert M\vert \not < \vert N_a \vert$.

Этого недостаточно. Представьте, что условие было $\forall b \neq 2: |M| \neq |N_b|$. Тогда Ваше рассуждение никак не меняется, но начинает доказывать неверное утверждение.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1613591 писал(а):

Этого недостаточно. Представьте, что условие было $\forall b \neq 2: |M| \neq |N_b|$. Тогда Ваше рассуждение никак не меняется, но начинает доказывать неверное утверждение.

Наверное, надо показать, что не существует ни одного натурального числа, меньшего $\vert N_a \vert$, которое не было бы равно $\vert N_b \vert$ при соответствующем $b<a$.

$\lhd$ Поскольку мы берем $\mathbb N= \{0, 1, 2, \ldots\}$, то для любого $c$ имеем $\vert N_c \vert=c+1$, в частности, $\vert N_b \vert=b+1$ и $\vert N_a \vert=a+1$.

Пусть $0\leqslant p\leqslant a \; \; p\in \mathbb N$, тогда для любого $p$ найдется $b=p-1$ ($b=\overline {-1, 0, 1, 2, \ldots}$), при котором будет $p=b+1=\vert N_b\vert$. При этом по условию $\forall b \; \vert M\vert \ne \vert N_b \vert$, то есть для каждого $p$ имеем $\vert M\vert \ne p$. Таким образом, не существует ни одного натурального числа, которое было бы меньше $\vert N_a \vert$ и при этом было бы равно $|M|$, что означает $\vert M\vert \not < \vert N_a \vert$. $\rhd$

Но здесь я опирался на сравнение мощностей множеств, а оно пока еще у меня не обосновано.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1613680 писал(а):

Наверное, надо показать, что не существует ни одного натурального числа, меньшего $\vert N_a \vert$, которое не было бы равно $\vert N_b \vert$ при соответствующем $b<a$.

Да, именно это: что мощность, меньшая какой-то конечной, конечна. Но я не вижу, где Вы это показываете - учтите, что пока это не показано, нельзя сказать, что если мощность множества $X$ меньше некоторой конечной, то она равна какому-то натуральному числу. Тут придется вспомнить определение: $|X| < |N_a|$, если существует инъекция $X \to N_a$, и не существует инъекции $N_a \to X$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1613680 писал(а):

Но здесь я опирался на сравнение мощностей множеств, а оно пока еще у меня не обосновано

И не получится - возможность сравнивать мощности это довольно сложный результат (и при некоторых сравнительно естественных на первый взгляд предположениях вообще неверный - в стандартной теории множеств Цермелло-Френкеля как раз могут существовать множества, которые нельзя сравнить по мощности, т.е. ни одно из них не вкладывается инъективно в другое; но это спойлер к тому, что Вас ждет через пару лет интенсивного изучения теории множеств, пока что не заморачивайтесь).

Так что после завершения этого ответвления, скорее всего, придется возвращаться к исходному доказательству по индукции (ЕМНИП мы доказываем, что у не-конечного множества есть счетное подмножество).

[Ende]

Выделена тема «Еще раз об аксиоме выбора»

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1613683 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1613680 писал(а):

Но здесь я опирался на сравнение мощностей множеств, а оно пока еще у меня не обосновано

И не получится - возможность сравнивать мощности это довольно сложный результат (и при некоторых сравнительно естественных на первый взгляд предположениях вообще неверный - в стандартной теории множеств Цермело-Френкеля как раз могут существовать множества, которые нельзя сравнить по мощности, т.е. ни одно из них не вкладывается инъективно в другое

Я имел в виду не эти ужасы, а всего лишь сравнение мощностей 1) конечных и 2) конечных и бесконечных множеств.

mihaild в сообщении #1613683 писал(а):

(ЕМНИП мы доказываем, что у не-конечного множества есть счетное подмножество).

Да, но я обнаружил, что не понимаю даже более простых вещей.

"В отличие от актуальной бесконечности актуальная "конечность" безусловно существует и совершенно понятна."

Я написал это, но потом задумался о том, что такое натуральное число, заглянул в Википедию

(должен признаться, что я все-таки делаю это, несмотря на строгое предписание, в этом ресурсе есть то неоспоримое преимущество, что можно быстро найти информацию по интересующей теме. Правда информация эта не всегда достоверна, но если она не достоверна, это выясняется в сверке с другими источниками, например, на dxdy)

и удивился, узнав, что это далеко не простой вопрос. В самом деле: а что такое натуральное число? Я, конечно, в этом еще не разобрался, но попробую изложить свои какие-никакие представления и надеюсь, что мне помогут их развить.

Из того, что я прочитал, мне, кажется, более или менее понятно следующее:

Цитата:

Теоретико-множественные определения натуральных чисел были инициированы Фреге. Первоначально он определил натуральное число, как класс всех множеств, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с определенным множеством. Однако это определение привело к парадоксам, в том числе к парадоксу Рассела. Чтобы избежать таких парадоксов, формализм был изменен таким образом, что натуральное число определяется как конкретное множество, а любой набор, который можно поставить во взаимно однозначное соответствие с этим набором, называется имеющим это количество элементов. Википедия.

То, что я здесь выделил жирным шрифтом, если не ошибаюсь, есть вульгарный материализм ("мысль материальна"), но близко к тому, о чем я думал в последнее время.

Возьмем нить жемчуга, не замкнутую в кольцо, а имеющую начало и не имеющую конца. Обозначим каждую жемчужину $p_i \;\; i=1, 2, 3, \ldots$ ($p$ -- от английского слова pearl).

(Здесь я уже попадаю в порочный круг: пытаюсь определить натуральное число через натуральное число -- нумерую жемчужины. -- но не знаю, как этого избежать.)

Первая жемчужина может рассматриваться как элемент одноэлементного множества $P_1=\{p_1\}$ -- первого множества жемчужин, первая и вторая жемчужины -- как элементы множества из двух элементов $P_2=\{p_1, p_2\}$ -- второго множества жемчужин, первая, вторая и третья жемчужины -- как элементы множества из трех элементов $P_3=\{p_1, p_2, p_3\}$ -- третьего множества жемчужин, -- и так далее.

Таким образом, множество $P_n$ состоит из первой, второй, ... $(n-1)$-ой и $n$-ой жемчужин. При $n\ne 1$ оно имеет в качестве своих собственных подмножеств все множества жемчужин от первого до $(n-1)$-ого включительно.

Но есть еще пустое множество жемчужин, которое можно занумеровать как нулевое, оно тоже входит в $n$-ое множество.

То, что мы предполагаем существование нулевого номера значит, что мы включаем нуль в натуральные числа: $\mathbb N= \{0, 1, 2, \ldots\}$.

Каждое из этих множеств жемчужин включает в себя в качестве своих подмножеств само себя, все предыдущие непустые множества жемчужин и пустое множество жемчужин (имеются в виду не все подмножества, а только те, жемчужины которых идут подряд, начиная от первой).

Перенумеровав все эти множества, мы поставили каждому из них в соответствие натуральное число, таким образом, каждое множество является представлением некоторого натурального числа: пустое множество представляет $0$, одножемчужное представляет $1$, двухжемчужное представляет $2$ и так далее:

$0\sim \varnothing$,

$1\sim \{p_1\}=\varnothing\cup \{p_1\}$,

$2\sim \{p_1, p_2\}=\varnothing\cup \{p_1\}\cup \{p_1, p_2\}$,

$3\sim \{p_1, p_2, p_3\}=\varnothing\cup \{p_1\}\cup \{p_1, p_2\} \cup \{p_1, p_2, p_3\}$,

...........................................

Более того, исходя из того, что "натуральное число определяется как конкретное множество" -- Фреге (?) -- можно записать это как равенства:

$0= \varnothing$,

$1= \{p_1\}$,

$2= \{p_1, p_2\}$,

$3= \{p_1, p_2, p_3\}$,

...........................................

Такое определение натуральных чисел похоже на теоретико-множественное определение (определение Фреге — Рассела -- согласно Википедии):

$0=\varnothing$,

$1=\{\varnothing\}$,

$2=\big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}$,

$3=\Big \{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \} \Big \}$,

....................................

но есть отличие: ни одна жемчужина не является числом, все они, в том числе и первая, являются только элементами (чисел-)множеств, в то время как каждое число-множество у Фреге — Рассела является одним из элементов во всех последующих числах-множествах. Например, в равенстве $0=\varnothing$ пустое множество $\varnothing$ это число, а в следующем равенстве $1=\{\varnothing\}$ оно -- элемент, в равенстве $1=\{\varnothing\}$ множество $\{\varnothing\}$ это число, а в следующем равенстве $2=\big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}$ оно -- элемент, и так далее.

Так что все элементы чисел-множеств у Фреге — Рассела сами являются множествами, как и положено в теории множеств.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1613986 писал(а):

Я имел в виду не эти ужасы, а всего лишь сравнение мощностей 1) конечных и 2) конечных и бесконечных множеств

Любая конечная мощность действительно сравнима с любой мощностью. Но это по сути эквивалентно тому, что мы тут доказываем. Я слегка перепутал - мы еще не дошли до существования счетного подмножества у не-конечного, мы доказываем существование конечного любой мощности. Ну и если конечные можно сравнивать со всеми, то наше не-конечое можно сравнить с любым конечным, равенства получиться не может, меньше оно оказаться тоже не может (после того как докажем, что множество, меньшее конечного, конечно), значит оно больше.
В целом всё так, только к сожалению натуральные числа определить как $\{0, 1, 2, \ldots\}$ не получится - чтобы раскрыть многоточие, нам уже нужно множество натуральных чисел.
Обходится это следующим образом. Введем операцию $S(x) = x \cup \{x\}$ (в определении натуральных чисел как множеств как раз получается что $3 = S(2)$, и остальное аналогично). $0$ будем воспринимать как альтернативное обозначение $\varnothing$, а натуральное число $n$ - как сокращение для $\underbrace{S(S(\ldots(0)\ldots))}_{n\, \text {раз}}$.
Множество $X$ называется индуктивным, если оно содержит $0$, и $\forall x: x \in X \rightarrow S(x) \in X$. Есть аксиома бесконечности, утверждающая существование индуктивного множества.
Дальше можно доказать, что существует минимальное по включению индуктивное множество: такое множество $X$, что оно индуктивно, и если $Y$ индуктивно, то $X \subseteq Y$ (попробуйте доказать!). И вот минимальное по включению индуктивное множество и называется множеством натуральных чисел.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1613992 писал(а):

Множество $X$ называется индуктивным, если оно содержит $0$, и $\forall x: x \in X \rightarrow S(x) \in X$.

А что такое рефлексивное множество? Я не могу найти.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1613998 писал(а):

А что такое рефлексивное множество?

Не знаю, не видел такого термина. Где Вы его нашли?
Есть понятие "рефлексивное отношение", но не знаю, разбирались ли Вы уже с бинарными отношениями, и в любом случае это к данной теме не относится.

[epros]

Vladimir Pliassov в сообщении #1613998 писал(а):

А что такое рефлексивное множество? Я не могу найти.

Есть подозрение, что это то же самое, что Рассел называл "неординарным" множеством, т.е. принадлежащее само себе. В ZFC они запрещены аксиомой регулярности (фундирования или основания).

[Vladimir Pliassov]

1.

epros в сообщении #1614041 писал(а):

Есть подозрение, что это то же самое, что Рассел называл "неординарным" множеством, т.е. принадлежащее само себе. В ZFC они запрещены аксиомой регулярности (фундирования или основания).

mihaild в сообщении #1614004 писал(а):

Где Вы его нашли?

Сначала в Википедии ("Индуктивное множество"), но там оно не определено, а только упомянуто, а теперь, только что, оттуда по ссылке https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1966ru.pdf стр. 85, в самом низу:

Цитата:

Множество называется рефлексивным, если оно эквивалентно своему собственному подмножеству.

То есть это бесконечное множество по Дедекинду.

mihaild в сообщении #1614004 писал(а):

Есть понятие "рефлексивное отношение", но не знаю, разбирались ли Вы уже с бинарными отношениями

Немного разбирался.

2.

Жемчужины $p_i$ на нити характерны тем, что ни одна из них не является множеством, и при этом каждая из них является элементом множеств: бесконечного множества $P=\{p_1, p_2, p_3, \ldots\}$ всех жемчужин, а также конечных множеств $P_1=\{p_1\}$, $P_2=\{p_1, p_2\}$, $P_3=\{p_1, p_2, p_3\}$, -- и так далее.

А объекты (все) системы Фреге — Рассела:

$0=\varnothing$,

$1=\{\varnothing\}$,

$2=\big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}$,

$3=\Big \{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \} \Big \}$,

....................................

как сказано, являются и множествами, и элементами множеств: например (повторюсь), в равенстве $0=\varnothing$ пустое множество $\varnothing$ это натуральное число -- то есть множество, -- а в следующем равенстве $1=\{\varnothing\}$ оно -- элемент, в равенстве $1=\{\varnothing\}$ множество $\{\varnothing\}$ это натуральное число -- то есть множество, -- а в следующем равенстве $2=\big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}$ оно -- элемент, и так далее.

Если на эти объекты посмотреть как на элементы, то множество $F$, которое они составляют, превращается в множество "жемчужин", если же на них посмотреть как на множества, то множество $F$ превращается в множество $\mathbb N$ натуральных чисел.

Остается избавиться от вульгарного материализма (?) ("мысль материальна") и заменить множество жемчужин эквивалентным ему множеством математических объектов.

Разумеется, такими объектами являются объекты системы Фреге — Рассела, когда на них смотрят как на элементы, но нельзя ли найти объекты проще? Какие-нибудь пронумерованные "единицы", которые отличаются друг от друга только своими номерами?

Цитата:

Кантор говорил о мощностях так (1895): «Мощностью или кардинальным числом множества $M$ мы называем то общее понятие, которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из $M$, когда мы абстрагируемся от качества его различных элементов $m$ и от порядка их задания. (...) Так как из каждого отдельного элемента $m$, когда мы отвлекаемся от качества, получается некая ”единица“, то само кардинальное число оказывается множеством, образованным исключительно из единиц, которое существует как интеллектуальный образ или как проекция заданного множества $M$ в наш разум».

https://mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part1-2.pdfб стр. 26

Как определить -- насколько возможно, простые -- "единицы", которые могут заменить жемчужины?

Или самыми простыми и являются "единицы" из системы Фреге — Рассела (то есть объекты этой системы, когда на них смотрят как на элементы)?

В самом деле, без упорядоченности, то есть без индукции (?) "единиц" не обойтись (в нашем случае, в отличие от "единиц", о которых говорит Кантор, "единицы" упорядочены), а "единицы" из системы Фреге — Рассела получаются по простой индуктивной (?) формуле $S(x) = x \cup \{x\}$ (по той же формуле, по которой получаются и все множества этих "единиц", за исключением самого первого множества $\varnothing$). Может быть, не надо искать более простых "единиц"?

Хотя как образ нить жемчужин, конечно, проще для восприятия (?).

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1614045 писал(а):

Разумеется, такими объектами являются объекты системы Фреге — Рассела, когда на них смотрят как на элементы, но нельзя ли найти объекты проще? Какие-нибудь пронумерованные "единицы", которые отличаются друг от друга только своими номерами?

В некоторых теориях множеств есть так называемые урэлементы - штуки, которые могут быть элементами множеств, но сами множествами не являются, и спрашивать, принадлежит ли что-то урэлементу, нельзя (это не пустое множество - спрашивать, принадлежит ли что-то пустому множеству, можно, просто ответ всегда "нет"). В некотором смысле они противоположность собственным классам - классам что-то принадлежать может, а вот они ничему принадлежать не могут.
Но если от классов еще какая-то польза есть, то от урэлементов никакой пользы не обнаружено, поэтому в основных современных теориях множеств их нет (может быть в каких-то специфических разделах и есть, не знаю).

Vladimir Pliassov в сообщении #1614045 писал(а):

Как определить -- насколько возможно, простые -- "единицы", которые могут заменить жемчужины?

Для целей Кантора - чтобы определить понятие мощности (как самостоятельного объекта, а не только сравнение мощностей) произвольного множества - это довольно сложно, и будет сильно дальше.
Для натуральных чисел - да, подход Фреге-Рассела (не проверял, что она так правда называется, верю на слово) общепринят.