Но здесь я опирался на сравнение мощностей множеств, а оно пока еще у меня не обосновано
И не получится - возможность сравнивать мощности это довольно сложный результат (и при некоторых сравнительно естественных на первый взгляд предположениях вообще неверный - в стандартной теории множеств Цермело-Френкеля как раз могут существовать множества, которые нельзя сравнить по мощности, т.е. ни одно из них не вкладывается инъективно в другое
Я имел в виду не эти ужасы, а всего лишь сравнение мощностей 1) конечных и 2) конечных и бесконечных множеств.
(ЕМНИП мы доказываем, что у не-конечного множества есть счетное подмножество).
Да, но я обнаружил, что не понимаю даже более простых вещей.
"В отличие от актуальной бесконечности актуальная "конечность" безусловно существует и совершенно понятна."
Я написал это, но потом задумался о том, что такое натуральное число, заглянул в Википедию
(должен признаться, что я все-таки делаю это, несмотря на строгое предписание, в этом ресурсе есть то неоспоримое преимущество, что можно быстро найти информацию по интересующей теме. Правда информация эта не всегда достоверна, но если она не достоверна, это выясняется в сверке с другими источниками, например, на dxdy)
и удивился, узнав, что это далеко не простой вопрос. В самом деле: а что такое натуральное число? Я, конечно, в этом еще не разобрался, но попробую изложить свои какие-никакие представления и надеюсь, что мне помогут их развить.
Из того, что я прочитал, мне, кажется, более или менее понятно следующее:
Цитата:
Теоретико-множественные определения натуральных чисел были инициированы Фреге. Первоначально он определил натуральное число, как класс всех множеств, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с определенным множеством. Однако это определение привело к парадоксам, в том числе к парадоксу Рассела. Чтобы избежать таких парадоксов, формализм был изменен таким образом, что натуральное число определяется как конкретное множество, а любой набор, который можно поставить во взаимно однозначное соответствие с этим набором, называется имеющим это количество элементов. Википедия.
То, что я здесь выделил жирным шрифтом, если не ошибаюсь, есть вульгарный материализм ("мысль материальна"), но близко к тому, о чем я думал в последнее время.
Возьмем нить жемчуга, не замкнутую в кольцо, а имеющую начало и не имеющую конца. Обозначим каждую жемчужину
![$p_i \;\; i=1, 2, 3, \ldots$ $p_i \;\; i=1, 2, 3, \ldots$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/7/9b7b1ebc04b479433a2063a0b8613a2f82.png)
(
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
-- от английского слова pearl).
(Здесь я уже попадаю в порочный круг: пытаюсь определить натуральное число через натуральное число -- нумерую жемчужины. -- но не знаю, как этого избежать.)
Первая жемчужина может рассматриваться как элемент одноэлементного множества
![$P_1=\{p_1\}$ $P_1=\{p_1\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/8/078a22b834f1e9f59a5241886ecde9f182.png)
-- первого множества жемчужин, первая и вторая жемчужины -- как элементы множества из двух элементов
![$P_2=\{p_1, p_2\}$ $P_2=\{p_1, p_2\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/f/38fb3584fd0fa91a751da4fd99ab593d82.png)
-- второго множества жемчужин, первая, вторая и третья жемчужины -- как элементы множества из трех элементов
![$P_3=\{p_1, p_2, p_3\}$ $P_3=\{p_1, p_2, p_3\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/2/6a2b81d30008e565dbc88cd062ca0d5482.png)
-- третьего множества жемчужин, -- и так далее.
Таким образом, множество
![$P_n$ $P_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/1/1b1cbe41a014249f2a00f2b55898563182.png)
состоит из первой, второй, ...
![$(n-1)$ $(n-1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d1f34c830dc60d4f09b8b49b25af89f82.png)
-ой и
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-ой жемчужин. При
![$n\ne 1$ $n\ne 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/c/f3ccd441b5f9f872e64c795f4d207dcd82.png)
оно имеет в качестве своих собственных подмножеств все множества жемчужин от первого до
![$(n-1)$ $(n-1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d1f34c830dc60d4f09b8b49b25af89f82.png)
-ого включительно.
Но есть еще пустое множество жемчужин, которое можно занумеровать как нулевое, оно тоже входит в
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-ое множество.
То, что мы предполагаем существование нулевого номера значит, что мы включаем нуль в натуральные числа:
![$\mathbb N= \{0, 1, 2, \ldots\}$ $\mathbb N= \{0, 1, 2, \ldots\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/9/5c93133a298645f0f0e14dc949a1ac2e82.png)
.
Каждое из этих множеств жемчужин включает в себя в качестве своих подмножеств само себя, все предыдущие непустые множества жемчужин и пустое множество жемчужин (имеются в виду не все подмножества, а только те, жемчужины которых идут подряд, начиная от первой).
Перенумеровав все эти множества, мы поставили каждому из них в соответствие натуральное число, таким образом, каждое множество является представлением некоторого натурального числа: пустое множество представляет
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
, одножемчужное представляет
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
, двухжемчужное представляет
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
и так далее:
![$0\sim \varnothing$ $0\sim \varnothing$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/2/7a20ea84dae4378f7461f5e3c58de8e182.png)
,
![$1\sim \{p_1\}=\varnothing\cup \{p_1\}$ $1\sim \{p_1\}=\varnothing\cup \{p_1\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/d/12d2c85e73c125b5413dd0bcd06a68db82.png)
,
![$2\sim \{p_1, p_2\}=\varnothing\cup \{p_1\}\cup \{p_1, p_2\}$ $2\sim \{p_1, p_2\}=\varnothing\cup \{p_1\}\cup \{p_1, p_2\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/6/a86885690d7d48078981352628037fef82.png)
,
![$3\sim \{p_1, p_2, p_3\}=\varnothing\cup \{p_1\}\cup \{p_1, p_2\} \cup \{p_1, p_2, p_3\}$ $3\sim \{p_1, p_2, p_3\}=\varnothing\cup \{p_1\}\cup \{p_1, p_2\} \cup \{p_1, p_2, p_3\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/5/9b562ccf40ab22dc89db955ce396a36082.png)
,
...........................................
Более того, исходя из того, что "натуральное число определяется как конкретное множество" -- Фреге (?) -- можно записать это как равенства:
![$0= \varnothing$ $0= \varnothing$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/2/432f0caf50a8bddce987adf1901ff49182.png)
,
![$1= \{p_1\}$ $1= \{p_1\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/7/487b57f390269bd1c9e09d9d88e9c18382.png)
,
![$2= \{p_1, p_2\}$ $2= \{p_1, p_2\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/7/067df25e2df9844fcf631ad1919599e682.png)
,
![$3= \{p_1, p_2, p_3\}$ $3= \{p_1, p_2, p_3\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/8/9a811e6753061169b5c95dd4b789740b82.png)
,
...........................................
Такое определение натуральных чисел похоже на теоретико-множественное определение (определение Фреге — Рассела -- согласно Википедии):
![$0=\varnothing$ $0=\varnothing$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/1/451ec21123448d121370fbd1dff7f8cc82.png)
,
![$1=\{\varnothing\}$ $1=\{\varnothing\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/8/2f8261dbc92be0842ffd267cd34cc82682.png)
,
![$2=\big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}$ $2=\big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/7/0e7f5518b2dcb9cf2e622af1b395a64d82.png)
,
![$3=\Big \{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \} \Big \}$ $3=\Big \{\varnothing, \{\varnothing\}, \big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \} \Big \}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/7/0370d25edc352a0d0a9d5d3fc46bd73382.png)
,
....................................
но есть отличие: ни одна жемчужина не является числом, все они, в том числе и первая, являются только элементами (чисел-)множеств, в то время как каждое число-множество у Фреге — Рассела является одним из элементов во всех последующих числах-множествах. Например, в равенстве
![$0=\varnothing$ $0=\varnothing$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/1/451ec21123448d121370fbd1dff7f8cc82.png)
пустое множество
![$\varnothing$ $\varnothing$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/7/027e4f6240ef037b4e6e1348274b505282.png)
это число, а в следующем равенстве
![$1=\{\varnothing\}$ $1=\{\varnothing\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/8/2f8261dbc92be0842ffd267cd34cc82682.png)
оно -- элемент, в равенстве
![$1=\{\varnothing\}$ $1=\{\varnothing\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/8/2f8261dbc92be0842ffd267cd34cc82682.png)
множество
![$\{\varnothing\}$ $\{\varnothing\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/1/d1185cfc0dc6f70f7686eb322f5ba6d782.png)
это число, а в следующем равенстве
![$2=\big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}$ $2=\big \{\varnothing, \{\varnothing\} \big \}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/7/0e7f5518b2dcb9cf2e622af1b395a64d82.png)
оно -- элемент, и так далее.
Так что все элементы чисел-множеств у Фреге — Рассела сами являются множествами, как и положено в теории множеств.