Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1611556 писал(а):

Я посмотрел и обнаружил, что не все так считают, некоторые (https://uchi.ru/otvety/questions/zapish ... kotorih-27 ) полагают, так же как и я до сих пор думал, что подобно отрезку вещественных чисел, отрезок натуральных чисел состоит из своих концов и всех чисел между ними

Вообще говоря читать подобные источники не надо - там часто пишут вранье, и Вас это будет путать.
В данном случае это не совсем вранье, просто в разных областях математики (в данном случае - в анализе и в теории множеств) бывают конфликты понятий - для нужд анализа нужны множества одного вида, для нужд теории множеств чаще другого, но они в общем-то похожи, и поэтому называются одинаково.
Еще например в теории множеств натуральные числа включают ноль, а в анализе - обычно нет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1611556 писал(а):

(Тут, по-моему, надо было бы обозначить, о каком именно отрезке идет речь, например, при $N$ поставить индексы $a$ и $7$ -- $N_a$, $N_7$.)

Нет, если мы даем определение, что значит "$X$ - отрезок", то как раз это определение должно работать для любого отрезка, и обозначения, привязанные к конкретному отрезку, тут не нужны.

Vladimir Pliassov в сообщении #1611556 писал(а):

Это значит (и мне тоже так кажется), что отрезок натурального ряда не может быть пустым множеством

Там дается другое определение (менее удобное).

Вообще, советую Вам выбрать какой-то учебник (у которого хотя бы указана фамилия автора), и идти по нему. Поиски в интернетах Вас будут сбивать. Во-первых, во многих местах есть несколько вариантов изложения, какой из них выбирать - неважно, но нужно выбрать один, а в разных местах могут быть выбраны разные. Во-вторых, есть много мест где просто написана неправда.

Vladimir Pliassov в сообщении #1611556 писал(а):

Я думаю, для доказательства утверждения "существует $n$-элементное подмножество множества $M$" не важно также и то, считать ли, что пустое множество является отрезком натурального ряда, но все же как можно так считать?

Есть два определения отрезка. По одному является, по другому - не является. В зависимости от того, какое определение выбрано, часть формулировок становится чуть проще, а часть - чуть сложнее. В теории множеств удобно использовать то, по которому является.

Vladimir Pliassov в сообщении #1611556 писал(а):

Может быть, так, что множество натуральных чисел является множеством натуральных чисел, даже если оно пусто?

Тут всё однозначно: когда говорят "пусть $X$ - некоторое множество натуральных чисел", то $X$ может быть пустым. Если хочется рассматривать только непустые, то про это нужно сказать явно.

В целом это всё действительно не очень важно. Если закопаться еще чуть глубже - в то, как строятся натуральные числа в теории множеств - то там как раз натуральное число $n$ строится как множество всех предыдущих чисел, и заодно само является в точности $n$-элементным множеством. Тогда конечное множество можно определить как равномощное какому-то натуральному числу.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1610729 писал(а):

По индукции доказываются утверждения вида $\forall n: P(n)$. В данном случае, $P(n)$ - утверждение "существует $n$-элементное подмножество множества $M$". Докажите его, пользуясь непосредственно определением бесконечного множества (множество бесконечно, если оно неравномощно никакому отрезку натурального ряда). Постарайтесь обойтись записями без многоточий (как раз в них будет проблема дальше).

Поскольку задача из теории множеств, буду считать, что пустое множество является отрезком натурального ряда. Буду также исходить из того, что мощности множеств можно сравнивать, то есть если даны множества $A$ и $B$, то либо $\vert A\vert=\vert B\vert$, либо $\vert A\vert<\vert B\vert$, либо $\vert A\vert>\vert B\vert$, и из того, что импликация

Цитата:

$A$ равномощно некоторой части $B$, но $B$ не равномощно никакой части $A$. В этом случае говорят, что $A$ имеет меньшую мощность, чем $B$

https://mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part1-2.pdf, стр.25

двусторонняя, то есть

1) если $A$ равномощно некоторой части $B$, но $B$ не равномощно никакой части $A$, то $A$ имеет меньшую мощность, чем $B$,

и

2) если $A$ имеет меньшую мощность, чем $B$, то $A$ равномощно некоторой части $B$ (но $B$ не равномощно никакой части $A$).

(Но может быть, эта импликация не двусторонняя? Тогда доказательства не получится.) Итак,


$\rhd$ мощность множества $M$ больше мощности любого отрезка натурального ряда, так как эти мощности не равны, а мощности меньше мощности пустого множества не бывает. Поэтому $n$-элементный отрезок $N$ натурального ряда равномощен некоторому подмножеству $M'$ множества $M$. Это означает, что существует биекция между $N$ и $M'$, и значит, $M'$ -- конечное множество. Поскольку при биекции между конечными множествами число их элементов равно, $M'$ состоит из $n$ элементов, то есть существует $n$-элементное подмножество множества $M$.$\lhd$

Правда, я доказывал не по индукции, а надо по индукции?

[mihaild]

Ваше доказательство корректное, но опирается на очень сильное и довольно сложно доказуемое утверждение - что мощности можно сравнивать. По сути утверждение, которое просили доказать (если $M$ не равномощно никакому отрезку, то для любого отрезка оно содержит подмножество, равномощное этому отрезку) - говорит, что любую мощность можно сравнить с конечной мощностью (ну и еще что любая мощность, меньшая какой-то конечной, тоже конечна).

Vladimir Pliassov в сообщении #1611587 писал(а):

Но может быть, эта импликация не двусторонняя? Тогда доказательства не получится

Двусторонняя. Это определение понятия "имеет меньшую мощность", в определениях всегда подразумевается "тогда и только тогда".

Vladimir Pliassov в сообщении #1611587 писал(а):

мощность множества $M$ больше мощности любого отрезка натурального ряда, так как эти мощности не равны, а мощности меньше мощности пустого множества не бывает

Вот это надо расписать чуть подробнее. Ну хорошо, мощность $M$ не равна $10$ и не меньше $0$, как из этого следует что мощность $M$ больше $10$?

Vladimir Pliassov в сообщении #1611587 писал(а):

Правда, я доказывал не по индукции, а надо по индукции?

Само по себе это не проблема. Проблема в том, что Вы опираетесь на недоказанное утверждение - что мощности можно сравнивать. Собственно чуть ниже процитированной Вами строчки написано, что случай "Ни $A$ не равномощно никакой части $B$, ни $B$ не равномощно никакой части $B$" невозможен, и ссылка на доказательство - но там доказательство сложное, я бы пока не советовал туда лезть.
А рассуждение, которое опирается на уже известные Вам вещи, я могу придумать только по индукции. Хотя, конечно, это не означает, что Вам не удастся придумать что-то корректное и без её (явного) использования.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1611509 писал(а):

Пустое множество считается отрезком натурального ряда.

Мне кажется, я нашел, как это возможно. Приведу сначала еще раз цитаты, в которых выражается несогласие с этим:

Цитата:

Отрезком $N$ натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$, т. е $N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$.

Например, $N$ это множество натуральных чисел, не превосходящих $7$, т.е. $N =\{1,2,3,4,5,6,7\}$
...

1) Любой отрезок $N$ содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка натурального ряда.

https://kto.guru/matematika/802-teoreti ... hisla.html

Цитата:

множество, равномощное отрезку натурального ряда, а также пустое множество, называется конечным. Википедия.

На первый взгляд может показаться (и мне так и показалось), что по определению из первой цитаты отрезок натурального ряда не может быть пустым множеством, потому что наименьший отрезок здесь, то есть $[1; 1]$, не является пустым множеством: $[1; 1]=\{1; 1\}=\{1\}$. Однако это было бы так, если бы в определении было сказано: "непустое множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$", -- а поскольку в определении говорится не о непустом множестве, а о множестве вообще, из него не вытекает, что "любой отрезок $N$ содержит единицу".

Как я понимаю, отрезок это подмножество упорядоченного множества и как подмножество множества (и, вообще, как множество) может быть пустым: $[]$.

(В общем случае для записи множества используются фигурные скобки, но в частности -- для записи множества, являющегося отрезком, -- используются квадратные, при этом в скобках записываются только наименьший и наибольший элементы отрезка (разумеется, если он не пустой).)

[mihaild]

Не совсем так. Если пользоваться вот этим определением:

Vladimir Pliassov в сообщении #1612016 писал(а):

Отрезком $N$ натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$, т. е $N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$.

То пустое множество не является отрезком натурального ряда. Потому что если раскрыть такую запись чуть подробнее, то получится "Множество $N$ является отрезком натурального ряда тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число $a$, что $N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$". И для пустого множества такого числа не существует (докажите!).
Однако для нужд теории множеств полезно именно понятие "начального отрезка" (которое самостоятельно, а не частный случай отрезка). Которое определяется так: "Множество $X$ является начальным отрезком упорядоченного множества $Y$, если $X \subseteq Y$, и если $x \in X, y \in Y, y < x$, то $y \in X$". Обратите внимание, что по нему, например, множество $(-\infty, 0)_\mathbb R$ (отрицательные вещественные числа) является начальным отрезком, хотя в смысле анализа оно отрезком не считается - оно не замкнуто и не ограниченно. Такое понятие начального отрезка применяется как правило к некоторому специальному классу упорядоченных множеств (называется ординалы, но Вам до них еще довольно долго идти), одним из которых являются как раз натуральные числа.

В любом случае, тут в определения надо вчитываться по мере решения задач, и только для нужд конкретных задач, особо глубокого смысла в них самих по себе искать не стоит.

[Vladimir Pliassov]

Как я понимаю, множество натуральных чисел это одно из подмножеств множества $\mathbb N$ всех натуральных чисел, это может быть само множество $\mathbb N$, некоторое его непустое подмножество, а также его пустое подмножество. При этом множество $\mathbb N$ не может быть пустым (потому что содержит все натуральные числа).

Так же и множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$, это одно из подмножеств множества $N$ всех натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$, это может быть само множество $N$, некоторое его непустое подмножество, а также его пустое подмножество. При этом множество $N$ не может быть пустым (потому что содержит все натуральные числа, не превосходящие натурального числа $a$).

Так что при следующем определении отрезка:

Цитата:

Отрезком $N$ натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$, т. е $N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$.

пустое множество является отрезком натурального ряда. Для того, чтобы оно не являлось отрезком натурального ряда, определение отрезка может быть таким:

отрезком $N$ натурального ряда называется множество всех натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$, т. е. $N =\{\forall x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$

(в символическом выражении $N$ я тоже добавил квантор $\forall$, мне кажется, что это тот случай, когда квантор важен).

В этом определении нет необходимости перед словом "множество" добавлять прилагательное "непустое", так как это множество не может быть пустым (поскольку состоит из всех натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$).

mihaild в сообщении #1612019 писал(а):

"Множество $N$ является отрезком натурального ряда тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число $a$, что $N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$".

Это уже, по-моему, не определение, а утверждение, попробую его доказать, но в выражении $N$ поставлю квантор: $N =\{\forall x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$.

$\rhd$ Необходимость: множество $N$ ограничено сверху своей точной верхней границей $a$, следовательно, она существует. Достаточность: пусть существует такое $a\in \mathbb N$, что существуют такие $x\in \mathbb N$, которые меньше либо равны $a$, тогда все эти $x$ составляют такое множество $N$, которое удовлетворяет условию $N =\{\forall x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$. $\lhd$

mihaild в сообщении #1612019 писал(а):

И для пустого множества такого числа не существует (докажите!).

$\rhd$ Для любого $a\in \mathbb N$, найдется такое $x\in \mathbb N$, что $x\leqslant a$, и поскольку все такие $x$ составляют множество $N$, в нем есть, по крайней мере, один элемент, так что оно не пусто. $\lhd$

[EminentVictorians]

Vladimir Pliassov, вот чтобы не было всей этой словесной эквилибристики, и придумали обозначение с фигурными скобками.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612243 писал(а):

$N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612243 писал(а):

$N =\{\forall x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$.

Это одно и то же. Но вообще, вторая запись так себе. Я бы рекомендовал вообще так не писать.

Когда Вы пишете $M = \{x| P(x)\}$, эта запись расшифровывается как "множество $M$ состоит из тех и только тех икс, которые удовлетворяют свойству $P$". Т.е. берем не просто какие-то иксы, удовлетворяющие свойству $P$, а берем все такие иксы.

Если возникает дискомфорт на слове "все", тогда можете писать $M = \{x \in A| P(x)\}$. Т.е. выделяете все иксы не просто откуда-то из мироздания, а из конкретного множества $A$. Так даже более правильно будет.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612243 писал(а):

Как я понимаю, множество натуральных чисел это одно из подмножеств множества $\mathbb N$ всех натуральных чисел

Нет, множество натуральных чисел - это ровно $\mathbb N$. А вот "множество натуральных чисел, делящихся на $2$" - это уже собственное подмножество $\mathbb N$. Говорить "множество всех натуральных чисел" корректно, но звучит странно, и так не говорят.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612243 писал(а):

Отрезком $N$ натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$

Vladimir Pliassov в сообщении #1612243 писал(а):

отрезком $N$ натурального ряда называется множество всех натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$

Вот эти две формулировки эквивалентны, и "всех", как правило, не пишут.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612243 писал(а):

в символическом выражении $N$ я тоже добавил квантор $\forall$, мне кажется, что это тот случай, когда квантор важен

Тут важно отсутствие квантора. Запись $N = \{x | P(x)\}$ - это сокращение записи $\forall x: (x \in N \leftrightarrow P(x))$. При расшифровке этого сокращения мы ставим квантор всеобщности по $x$, так что в самом сокращении квантор по $x$ недопустим.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612243 писал(а):

Это уже, по-моему, не определение, а утверждение

Всякое определение может быть записано как утверждение "объект удовлетворяет опеределению тогда и только тогда, когда ...".

Vladimir Pliassov в сообщении #1612243 писал(а):

и поскольку все такие $x$ составляют множество $N$

Это непонятно что значит - какие "такие"? Почему они что-то составляют?
Достаточно просто

Vladimir Pliassov в сообщении #1612243 писал(а):

Для любого $a\in \mathbb N$, найдется такое $x\in \mathbb N$, что $x\leqslant a$,

и дальше нужно сказать, что вот это $x$ принадлежит $N$.

EminentVictorians в сообщении #1612248 писал(а):

Это одно и то же

Нет, не одно и то же. Вторая запись ничем принципиально не отличается от $<N | x \wedge a \leqslant =^{\forall \}} x \mathbb N \in\{$.

[EminentVictorians]

mihaild
А такая запись $M = \{x \in A| P(x)\}$ тоже с Вашей точки зрения бессмысленная?

В том плане, что раз сокращать можно только по образу и подобию $M = \{x| P(x)\}$, значит $M = \{x \in A| P(x)\}$ тоже некорректная, и надо $x \in A$ делать частью свойства $P$. Я правильно понял Вашу логику?

[mihaild]

В таком виде она осмысленная, это просто другое сокращение. А вот квантор в первой части никуда не запихнешь.

[Mikhail_K]

EminentVictorians
Мне тоже запись

Vladimir Pliassov в сообщении #1612243 писал(а):

$N =\{\forall x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$

кажется непонятной и бессмысленной. Зачем там вообще квантор, что он там делает? В то же время, запись

EminentVictorians в сообщении #1612258 писал(а):

$M = \{x \in A| P(x)\}$

вполне понятна.

EminentVictorians в сообщении #1612258 писал(а):

В том плане, что раз сокращать можно только по образу и подобию

Ну, зачем же так жёстко? Просто первую запись я в принципе не понимаю, а вторая понятна.

Вспоминается, как в тетради одного студента я увидел запись $\sin x\,\exists\forall x$ и долго не мог понять, какой тут вообще смысл, что имелось в виду. Только спустя какое-то время понял ("синус икс существует для любых икс" - т.е. у любого числа существует синус). Я это к тому, что если так писать, то просто не поймёт никто.

-- 03.10.2023, 21:35 --

Если уж на то пошло - а что означала бы запись $N =\{\exists x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$?

[EminentVictorians]

Mikhail_K в сообщении #1612268 писал(а):

"синус икс существует для любых икс"

Дак да! Оно и есть. Vladimir Pliassov просто хотел перевести в буквы свой внутренний голос, который говорил ему что-то в духе: "Множество N - это все икс, такие что ..." Я-то сразу понял. Вот я и решил отметить, что когда мы пишем просто $M = \{x|P(x)\}$, то здесь мы уже подразумеваем, что рассматриваем все иксы, а значит этот непутевый квантор всеобщности никакого нового смысла не добавит.

Если что, я не выступаю тут адвокатом этой записи. Мне она тоже не нравится. Но, учитывая контекст этой темы, я понял, какой смысл в нее вкладывался топикстартером.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1612251 писал(а):

Тут важно отсутствие квантора. Запись $N = \{x | P(x)\}$ - это сокращение записи $\forall x: (x \in N \leftrightarrow P(x))$.

Спасибо, понятно.

EminentVictorians в сообщении #1612271 писал(а):

Дак да! Оно и есть. Vladimir Pliassov просто хотел перевести в буквы свой внутренний голос, который говорил ему что-то в духе: "Множество N - это все икс, такие что ..." Я-то сразу понял.

Спасибо за понимание!

EminentVictorians в сообщении #1612271 писал(а):

Вот я и решил отметить, что когда мы пишем просто $M = \{x|P(x)\}$, то здесь мы уже подразумеваем, что рассматриваем все иксы, а значит этот непутевый квантор всеобщности никакого нового смысла не добавит.

И за помощь!

mihaild в сообщении #1612251 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1612243 писал(а):

Как я понимаю, множество натуральных чисел это одно из подмножеств множества $\mathbb N$ всех натуральных чисел

Нет, множество натуральных чисел - это ровно $\mathbb N$. А вот "множество натуральных чисел, делящихся на $2$" - это уже собственное подмножество $\mathbb N$. Говорить "множество всех натуральных чисел" корректно, но звучит странно, и так не говорят.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612243 писал(а):

Отрезком $N$ натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$

Vladimir Pliassov в сообщении #1612243 писал(а):

отрезком $N$ натурального ряда называется множество всех натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$

Вот эти две формулировки эквивалентны, и "всех", как правило, не пишут.

Спасибо! Это еще раз подтверждает, что при выражении математических понятий обычным языком (например, русским) возникают условности, которые следует знать, чтобы понимать, о чем идет речь.

Теперь понятно, что

mihaild в сообщении #1612019 писал(а):

Если пользоваться вот этим определением:

Vladimir Pliassov в сообщении #1612016 писал(а):

Отрезком $N$ натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$, т. е $N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$.

То пустое множество не является отрезком натурального ряда.

А по какому определению оно является отрезком натурального ряда? Вы ведь говорите, что

mihaild в сообщении #1611509 писал(а):

Пустое множество считается отрезком натурального ряда.

и при этом еще что

Geen в сообщении #1611516 писал(а):

Отрезок натурального ряда - это множество, состоящее из натуральных чисел, ограниченное сверху и вместе с каждым числом содержащее все меньшие.

Как множество, состоящее из натуральных чисел, может быть пустым?

Я пытаюсь разобраться с тем, что написано здесь:

mihaild в сообщении #1612019 писал(а):

Однако для нужд теории множеств полезно именно понятие "начального отрезка" (которое самостоятельно, а не частный случай отрезка). Которое определяется так: "Множество $X$ является начальным отрезком упорядоченного множества $Y$, если $X \subseteq Y$, и если $x \in X, y \in Y, y < x$, то $y \in X$". Обратите внимание, что по нему, например, множество $(-\infty, 0)_\mathbb R$ (отрицательные вещественные числа) является начальным отрезком, хотя в смысле анализа оно отрезком не считается - оно не замкнуто и не ограниченно. Такое понятие начального отрезка применяется как правило к некоторому специальному классу упорядоченных множеств (называется ординалы, но Вам до них еще довольно долго идти), одним из которых являются как раз натуральные числа.

Может быть, здесь имеется в виду: "Множество $X$ является начальным отрезком упорядоченного множества $Y$, если $X \subseteq Y$ и если из того, что $x \in X, y \in Y, y < x$, следует, что $y \in X$"?

И еще: я думаю, можно было бы вместо $y < x$ взять $y\leqslant x$ (хотя это и излишне, так как само собой разумеется, что если $y=x$, то $y\in X$), чтобы это соответствовало определению $N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$.

Как я понимаю, если провести параллель между этими определениями, то $X$ соответствует $N$, $Y$ -- $\mathbb N$, $x$ -- $a$ (в определении $N$ имеем $a\in N$), $y$ -- $x$.

Вы говорите, что "начальный отрезок" не частный случай отрезка (натурального ряда?), но, если не ошибаюсь, наоборот: отрезок натурального ряда это частный случай "начального отрезка"?

Но я все еще не вижу, как пустое множество может быть отрезком натурального ряда или "начальным отрезком".

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612407 писал(а):

А по какому определению оно является отрезком натурального ряда?

Вот как раз по определению Geen.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612407 писал(а):

Как множество, состоящее из натуральных чисел, может быть пустым?

Когда говорят "$X$ - множество [состоящее из] натуральных чисел, удовлетворяющее какому-то свойству", то это значит, что верны два пункта: 1) $X \subseteq \mathbb N$; 2) $X$ удовлетворяет нужному свойству. Т.е. первая часть означает, что все элементы множества - натуральные числа, непустота при этом не требуется.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612407 писал(а):

Может быть, здесь имеется в виду: "Множество $X$ является начальным отрезком упорядоченного множества $Y$, если $X \subseteq Y$ и если из того, что $x \in X, y \in Y, y < x$, следует, что $y \in X$"?

Это опять же равнозначные формулировки. Ваша более подробная, но замена "если из того что $A(x)$ следует $B(x)$" на "если $A(x)$ то $B(x)$" в данном контексте допустима.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612407 писал(а):

И еще: я думаю, можно было бы вместо $y < x$ взять $y\leqslant x$

Можно. Сможете доказать равносильность этих двух вариантов - что если множество является начальным отрезком по первому определению, то и по второму, и наоборот?

Vladimir Pliassov в сообщении #1612407 писал(а):

Вы говорите, что "начальный отрезок" не частный случай отрезка (натурального ряда?), но, если не ошибаюсь, наоборот: отрезок натурального ряда это частный случай "начального отрезка"?

Для упорядоченных множеств есть такое определение отрезка: множество $X$ является отрезком в упорядоченном множестве $Y$, если для некоторых $a, b \in Y$, таких что $a \leq b$, выполнено $X = \{x | a \leq x \wedge x \leq b\}$. Оно согласуется с используемом в анализе определением отрезка на прямой. Но начальный отрезок не всегда является отрезком.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612407 писал(а):

Но я все еще не вижу, как пустое множество может быть отрезком натурального ряда или "начальным отрезком"

Возьмите определение начального отрезка, подставьте туда $\varnothing$ вместо $X$, и проверьте, что получится.

[Geen]

mihaild в сообщении #1612410 писал(а):

Вот как раз по определению Geen.

Не-не, эту цитату мне приписали неправильно.