Теорема Кантора о несчетности множества точек отрезка [0, 1]

[Vladimir Pliassov]

С законом исключенного третьего я сталкиваюсь не впервые, помню, пример о крокодилах в этой комнате, которые все красные, а если вы не согласны с этим, то укажите мне не красного крокодила в этой комнате, привел mihaild (к сожалению, не могу процитировать, не помню в какой теме это было). Тогда этот пример показался мне менее убедительным, чем теперь, хотя и теперь с ним для меня не все ясно: все-таки в этой комнате нет крокодилов. Хочется не согласиться с законом исключенного третьего, с тем что два противоречащих суждения не могут быть оба ложными, что одно из них будет истинно, хочется возразить, что если крокодилов нет, то не определено, все они красные или нет, то есть что этот закон должен работать только когда они есть. Но я стараюсь понять.

Итак, мне известны уже два пути доказательства того, что пустое множество является отрезком натурального ряда по второму определению этого отрезка: через закон Ex falso quodlibet и через закон исключенного третьего, нет ли еще путей?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612712 писал(а):

Хочется не согласиться с законом исключенного третьего, с тем что два противоречащих суждения не могут быть оба ложными, что одно из них будет истинно, хочется возразить, что если крокодилов нет, то не определено, все они красные или нет, то есть что этот закон должен работать только когда они есть

Есть интуиционистская логика, в которой закон исключенного третьего как раз не выполняется. Но на практике она гораздо менее удобна, чем классическая, и работать с ней сложнее. И утверждение $\forall x: x\in \varnothing \rightarrow P(x)$ в ней всё равно выполнено.
В классической логике фраза "все крокодилы зеленые" полностью эквивалентна фразе "не бывает не-зеленых крокодилов".

Вообще, я бы Вам советовал попробовать пойти чуть дальше - это всё мелкие технические детали, к которым надо привыкнуть, и, подозреваю, привыкать к ним проще, посмотрев на конструкцию "в сборе" - разбираясь с доказательствами содержательных утверждений, вроде обсуждавшегося выше бесконечности по Дедекинду бесконечных множеств, или теоремы Кантора-Бернштейна.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1612720 писал(а):

Вообще, я бы Вам советовал попробовать пойти чуть дальше ... разбираясь с доказательствами содержательных утверждений, вроде обсуждавшегося выше бесконечности по Дедекинду бесконечных множеств

Я, конечно, собираюсь пойти дальше, но сначала мне надо разобраться с этими двумя определениями отрезка натурального ряда. Я уже понял (в общих чертах), что по Вашему определению

mihaild в сообщении #1611509 писал(а):

Отрезок натурального ряда - это множество, состоящее из натуральных чисел, ограниченное сверху и вместе с каждым числом содержащее все меньшие.

пустое множество является отрезком натурального ряда, но почему оно им не является по определению

Цитата:

Отрезком $N$ натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$, т. е $N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$.

https://kto.guru/matematika/802-teoreti ... hisla.html

? Вы говорите, что по этому определению

mihaild в сообщении #1612019 писал(а):

пустое множество не является отрезком натурального ряда. Потому что если раскрыть такую запись чуть подробнее, то получится "Множество $N$ является отрезком натурального ряда тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число $a$, что $N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$". И для пустого множества такого числа не существует

Чем же они отличаются? Тем, что во втором (не Вашем) определении в явном виде присутствует точная верхняя граница $a$ множества $N$, а в Вашем она в явном виде отсутствует? Но, по-моему, она, хотя и в неявном виде, но присутствует в нем, поскольку в нем сказано, что множество $N$ (обозначим его так же как в не Вашем определении) ограничено сверху, что означает, что оно имеет точную верхнюю границу. Или здесь что-то другое?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612733 писал(а):

Тем, что во втором (не Вашем) определении в явном виде присутствует точная верхняя граница $a$ множества $N$,

Давайте не будем про "точную верхнюю границу", а то сейчас еще в детали этого определения закопаемся.

В таких случаях ИМХО лучше разбираться с каждым определением по отдельности, а потом уже из этого станет понятно, как они соотносятся.
Почему по первому определению пустое множество является отрезком натурального ряда, Вам понятно?

По второму - давайте еще чуть-чуть переформулируем.
Для натурального $a$, "$a$-отрезком" называется множество $\{ x | x \in \mathbb N \wedge x \leq a\}$.
Множество $N$ называется "отрезком по второму определению", если оно является $a$-отрезком для некоторого $a$.

Вам понятно, почему это просто переформулировка, не меняющая содержания определения?
Если да, то покажите, что 1) число $3$ принадлежит $5$-отрезку; 2) покажите, что для любого $a$, число $0$ принадлежит любому $a$-отрезку; 3) покажите, что ни для какого $a$, пустое множество не является $a$-отрезком; 4) покажите, что пустое множество не является отрезком по второму определению.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1612739 писал(а):

Почему по первому определению пустое множество является отрезком натурального ряда, Вам понятно?

Я думаю, понятно: потому что на все три вопроса о пустом множестве:

EminentVictorians в сообщении #1612514 писал(а):

1)Оно состоит из натуральных чисел?
2)Оно ограничено сверху?
3)Оно содержит вместе с каждым числом все меньшие?

можно ответить: "Да", а эти три вопроса содержат все, что содержится в определении.

mihaild в сообщении #1612739 писал(а):

По второму - давайте еще чуть-чуть переформулируем.
Для натурального $a$, "$a$-отрезком" называется множество $\{ x | x \in \mathbb N \wedge x \leq a\}$.
Множество $N$ называется "отрезком по второму определению", если оно является $a$-отрезком для некоторого $a$.

Вам понятно, почему это просто переформулировка, не меняющая содержания определения?

Потому что и в первой, и во второй редакции определяется множество $N=\{ x | x \in \mathbb N \wedge x \leq a\}$.

mihaild в сообщении #1612739 писал(а):

Если да, то покажите, что 1) число $3$ принадлежит $5$-отрезку

$3 \in \mathbb N \wedge 3<5$.

mihaild в сообщении #1612739 писал(а):

2) покажите, что для любого $a$, число $0$ принадлежит любому $a$-отрезку

$0 \in \mathbb N \wedge \forall a\in \mathbb N: 0\leqslant a$.

mihaild в сообщении #1612739 писал(а):

3) покажите, что ни для какого $a$, пустое множество не является $a$-отрезком

Поскольку $N=\{ x | x \in \mathbb N \wedge x \leq a\}$, то $\forall a\in \mathbb N: a\in N$, откуда $N\ne \varnothing$.

mihaild в сообщении #1612739 писал(а):

4) покажите, что пустое множество не является отрезком по второму определению

Поскольку $N=\{ x | x \in \mathbb N \wedge x \leq a\}$, то $ a\in N$, откуда $N\ne \varnothing$.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612779 писал(а):

$0 \in \mathbb N \wedge \forall a\in \mathbb N: 0\leqslant a$.

Тут в идеале было бы написать: $\forall a \in \mathbb N: (0 \in \mathbb N \wedge 0 \leqslant a)$. Понятно, что оно равносильно, но если уж хочется следить за деталями, то стоит честно подставить в определение, а потом уже преобразовывать.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612779 писал(а):

Поскольку $N=\{ x | x \in \mathbb N \wedge x \leq a\}$, то $\forall a\in \mathbb N: a\in N$, откуда $N\ne \varnothing$.

Вот это совсем неправда, и так писать нельзя. Если Вы определяете $N$ (говорите, что $N$ - это $a$-отрезок), то к этому моменту $a$ уже фиксировано, и кванторы по нему ставить нельзя.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1612788 писал(а):

Тут в идеале было бы написать: $\forall a \in \mathbb N: (0 \in \mathbb N \wedge 0 \leqslant a)$.

Спасибо, понятно.

mihaild в сообщении #1612788 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1612779 писал(а):

Поскольку $N=\{ x | x \in \mathbb N \wedge x \leq a\}$, то $\forall a\in \mathbb N: a\in N$, откуда $N\ne \varnothing$.

так писать нельзя. Если Вы определяете $N$ (говорите, что $N$ - это $a$-отрезок), то к этому моменту $a$ уже фиксировано, и кванторы по нему ставить нельзя.

Понятно. Я и сомневался, когда его ставил, но меня сбило с толку то, что в задании (в задании 3)) сказано: "ни для какого $a$", -- я подумал, что раз надо показать, что ни для какого $a$ пустое множество не является $a$-отрезком, то надо показать, что для каждого $a$ оно им не является. Но теперь вижу, что так как определено, что $N=\{ x | x \in \mathbb N \wedge x \leq a\}$, то тем самым фиксировано $a$. (Но, наверное, можно было бы написать $\forall a: N_a=\{ x | x \in \mathbb N \wedge x \leq a\}$, правильно?).

И еще я думал, что надо оговорить, что $a\in \mathbb N$, но теперь вижу, что это не нужно, так как то, что $a\in \mathbb N$, следует из $ x \in \mathbb N \wedge x \leq a$. (Как я понимаю, $x\leq a$ значит, что существует $x$, который меньше $a$, и существует $x$, который равен $a$?)

Значит, должно быть так же, как и в задании 4):

Поскольку $N=\{ x | x \in \mathbb N \wedge x \leq a\}$, то $ a\in N$, откуда $N\ne \varnothing$?

То есть

mihaild в сообщении #1612788 писал(а):

это совсем неправда

только потому, что был поставлен квантор, а в остальном правда?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612828 писал(а):

я подумал, что раз надо показать, что ни для какого $a$ пустое множество не является $a$-отрезком, то надо показать, что для каждого $a$ оно им не является

Правильно, это одно и то же: $(\neg \exists a: P(a)) \leftrightarrow (\forall a: \neg P(a))$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612828 писал(а):

Но теперь вижу, что так как определено, что $N=\{ x | x \in \mathbb N \wedge x \leq a\}$, то тем самым фиксировано $a$

Чуть иначе. Для каждого $a$ мы определяем своё множество.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612828 писал(а):

так как то, что $a\in \mathbb N$, следует из $ x \in \mathbb N \wedge x \leq a$.

Формально да, фактически чтобы докопаться до этого "формально" нужно доходить до определения порядка через множества, что довольно неинтересное занятие. Поэтому лучше потребовать $a \in \mathbb N$ (везде выше это подразумеается).

Vladimir Pliassov в сообщении #1612828 писал(а):

Как я понимаю, $x\leq a$ значит, что существует $x$, который меньше $a$, и существует $x$, который равен $a$?

Нет. $x \leq a$ это высказывание про конкретные $x$ и $a$. Про какие именно - зависит от формулы перед этим.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612828 писал(а):

Поскольку $N=\{ x | x \in \mathbb N \wedge x \leq a\}$, то $ a\in N$, откуда $N\ne \varnothing$?

Да, так можно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612828 писал(а):

только потому, что был поставлен квантор, а в остальном правда?

Да. А еще при невнимательном прочтении может показаться, что Ваша формула синтаксичски корректна, но утверждает что $N \mathbb N$.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1612834 писал(а):

Чуть иначе. Для каждого $a$ мы определяем своё множество.

То есть можно написать: $\forall a: N_a=\{ x | x \in \mathbb N \wedge x \leq a\}$?

mihaild в сообщении #1612834 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1612828 писал(а):

то, что $a\in \mathbb N$, следует из $ x \in \mathbb N \wedge x \leq a$.

Формально да

mihaild в сообщении #1612834 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1612828 писал(а):

Как я понимаю, $x\leq a$ значит, что существует $x$, который меньше $a$, и существует $x$, который равен $a$?

Нет. $x \leq a$ это высказывание про конкретные $x$ и $a$. Про какие именно - зависит от формулы перед этим.

То есть при $x \leq a$ может быть, что $x \ne a$? Но тогда из $ x \in \mathbb N \wedge x \leq a$ не следует $a\in \mathbb N$.

mihaild в сообщении #1612834 писал(а):

А еще при невнимательном прочтении может показаться, что Ваша формула синтаксически корректна, но утверждает что $N \mathbb N$.

Наверное $N= \mathbb N$?

Вы имеете в виду формулу

"Поскольку $N=\{ x | x \in \mathbb N \wedge x \leq a\}$, то $ a\in N$, откуда $N\ne \varnothing$"? То есть это формула, несмотря на то, что в ней не только символы, но и слова из бытового языка?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612845 писал(а):

То есть можно написать: $\forall a: N_a=\{ x | x \in \mathbb N \wedge x \leq a\}$?

Да, так можно.
Если это определение $N_a$, а не утверждение о нём, то как правило пишут без кванторов, а словами: "для каждного $a$ определим множество $N_a$ как ...".

Vladimir Pliassov в сообщении #1612845 писал(а):

То есть при $x \leq a$ может быть, что $x \ne a$?

Может.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612845 писал(а):

Но тогда из $ x \in \mathbb N \wedge x \leq a$ не следует $a\in \mathbb N$.

Не следует.
Но запись $N = \{x | x \in \mathbb N \wedge x \leq a\}$ означает, что в $N$ лежат все $x$, удовлетворяющие условию. В частности, т.к. $a$ условию удовлетворяет, $a \in \mathbb N$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1612845 писал(а):

Наверное $N= \mathbb N$?

Да, знак равенства потерялся.
Я имею в виду формулу

Vladimir Pliassov в сообщении #1612779 писал(а):

$\forall a\in \mathbb N: a\in N$

Эта формула говорит, что $\mathbb N \subseteq N$ (по сути определение).

[Vladimir Pliassov]

Спасибо!

При доказательстве того, что по определению

mihaild в сообщении #1611509 писал(а):

Отрезок натурального ряда - это множество, состоящее из натуральных чисел, ограниченное сверху и вместе с каждым числом содержащее все меньшие.

пустое множество является отрезком натурального ряда, надо было ответить на три вопроса:

EminentVictorians в сообщении #1612514 писал(а):

1)Оно состоит из натуральных чисел?
2)Оно ограничено сверху?
3)Оно содержит вместе с каждым числом все меньшие?

Попробую найти подобные вопросы для доказательства того, что и по определению

Цитата:

Отрезком $N$ натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа $a$, т. е $N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\}$.

https://kto.guru/matematika/802-teoreti ... hisla.html

пустое множество является отрезком натурального ряда.

$\rhd$ 1)Оно состоит из натуральных чисел? -- Да, состоит, если Вы не согласны, укажите мне в нем элемент, который не является натуральным числом.

2) В нем есть числа, которые превосходят произвольное натуральное число $a$? -- Нет, таких чисел в нем нет. Если они есть, укажите хотя бы одно.

Таким образом, пустое множество является отрезком натурального ряда. $\lhd$.

Что не так?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612863 писал(а):

Что не так?

Второе определение параметризовано числом $a$ - т.е. множество является отрезком, если для некоторого $a$ оно имеет указанный вид.
Какое $a$ Вы хотите взять?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1612867 писал(а):

Второе определение параметризовано числом $a$ - т.е. множество является отрезком, если для некоторого $a$ оно имеет указанный вид.
Какое $a$ Вы хотите взять?

Пусть это будет $a=7$, для него есть уже готовое выражение:

Цитата:

Например, $N$ это множество натуральных чисел, не превосходящих $7$, т.е. $N =\{1,2,3,4,5,6,7\}$

https://kto.guru/matematika/802-teoreti ... hisla.html

Конечно, тут никак не скажешь, что $N$ это пустое множество.

Но давайте попробуем выразить формулой множество $N$ из первого (то есть из Вашего) определения (обозначим это множество так же, как во втором определении). Сразу скажу, что мне кажется, что это будет та же формула, что и во втором определении, то есть

$$N =\{x\; |\; x\in \mathbb N \wedge x\leqslant a\} \eqno (1)$$

так что можно просто посмотреть, не подойдет ли она к Вашему определению.

Вы говорите, что лучше обойтись без точной верхней границы, но если пытаться выразить $N$ формулой, то по-моему, без нее не обойтись (хотя не знаю).

Приведу это определение еще раз:

mihaild в сообщении #1611509 писал(а):

Отрезок натурального ряда - это множество, состоящее из натуральных чисел, ограниченное сверху и вместе с каждым числом содержащее все меньшие.

В формуле должно быть выражено:

1) что элементами $N$ являются натуральные числа, это выражено в формуле (1);

2) что $N$ ограничено сверху, это означает, что для $N$ существует точная верхняя граница, обозначим ее $a$, она есть в формуле (1) (конечно, надо доказать, что $a\in N$, но это отдельное задание, которое, как мне кажется, можно выполнить);

3) что $N$ вместе с каждым числом содержит все меньшие, это выражено в формуле (1).

Таким образом, по-моему, формула (1) эквивалентна Вашему определению.

А это значит, что по нему пустое множество не является отрезком натурального ряда.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1612891 писал(а):

что $N$ ограничено сверху, это означает, что для $N$ существует точная верхняя граница

Нет, не значит. Это значит что для него существует верхняя граница. Пустое множество - это как раз единственное подмножество натуральных чисел, у которого существует верхняя граница, но не существует точной верхней грани.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1612895 писал(а):

Пустое множество - это как раз единственное подмножество натуральных чисел, у которого существует верхняя граница, но не существует точной верхней грани.

Цитата:

Теорема. Если множество $X=\{x\}$ ограничено сверху (снизу), то оно имеет и точную верхнюю (нижнюю) границу.

https://studfile.net/preview/4422204/page:4/, стр. 27

Эти два утверждения не находятся в противоречии, так как у Фихтенгольца говорится о непустом множестве $X$: оно содержит элемент(ы) $x$.