2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 23, 24, 25, 26, 27  След.
 
 Re: Термодинамическое равновесие и градиент температуры
Сообщение24.09.2023, 00:27 


27/02/09
2835

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1611046 писал(а):
не будут закручиваться

Да, это вам не биллиард) О том как как трение может нетривиально изменить траекторию шарика https://www.youtube.com/watch?v=XFKRW2P_K-E

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамическое равновесие и градиент температуры
Сообщение24.09.2023, 00:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5241
ФТИ им. Иоффе СПб
amon в сообщении #1611043 писал(а):
Тогда никакие упругие столкновения (центральные удары) не выведут такую систему из начального состояния
Тут я вру. Это точно так в одномерии, что была у Пуанкаре, а в трехмерии все сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамическое равновесие и градиент температуры
Сообщение24.09.2023, 12:22 


27/08/16
10171
amon в сообщении #1611043 писал(а):
Теперь про электромагнитное излучение. Не хотел лезть в дебри, но приходится. Если нагреть какой-нибудь гелий градусов до 300 и снять его спектр, то получится замечательный чернотельный спектр с максимумом в ИК диапазоне. Это означает, что газ прекрасно поглощает и излучает фотоны в этом спектральном диапазоне, иначе как бы установилось равенство температур газа и излучения. Это - термодинамическая теорема.
Это всё верно, но дьявол в деталях. Чтобы рассматривать тепловое излучение в качестве эффективного механизма теплопереноса в газе, длина свободного пробега тепловых фотонов должна быть сильно меньше размеров установки. Тепловой фотон должен излучиться одной молекулой газа и поглотиться другой. Если же эта длина свободного пробега больше, например, толщины атмосферы, то и атмосфера будет прозрачна для ИК этой температуры. В этом и состоит роль парниковых газов в глобальном потеплении: углекислый газ взаимодействует с тепловыми фотонами температуры порядка 300 К гораздо эффективнее, чем азот или кислород, а в верхних частях тропосферы он гораздо холоднее, чем поверхность Земли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамическое равновесие и градиент температуры
Сообщение25.09.2023, 08:02 


17/10/16
4775
amon в сообщении #1611054 писал(а):
Это точно так в одномерии, что была у Пуанкаре, а в трехмерии все сложнее.

Похоже на задачу FPUT. В одномерной цепочке термализация энергии при упругих столкновениях не происходит. А вот если рассмотреть одномерные молекулы не в виде единичных шарикрв, а в виде двух шариков, соединенных, пружинкой, то, похоже, происходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамическое равновесие и градиент температуры
Сообщение25.09.2023, 17:48 


29/01/09
592
amon в сообщении #1610873 писал(а):
При упругих столкновениях суммарная кинетическая энергия пары молекул не меняется, при неупругих кинетическая может переходить в потенциальную и обратно.

ну тогда все столкновения упругие... Одноатомных атомов в окружающем мире (если не рассматривать космос) почти нет - а стало быть везде есть колебательный и/или вращательный спектр
sergey zhukov в сообщении #1610877 писал(а):
А выравнивание поля давления - это, по сути, конвекция (направленное перемещение массы газа) или волновой процесс.

да вот вообще не факт - есть диффузия, тоже выравнивание давления
sergey zhukov в сообщении #1610877 писал(а):
Этого всего в идеальном газе, по моему, нет.

углекислота - почти идеальный газ при н.у... а теперь послушайте зеленых о парниковом эффекте

-- Пн сен 25, 2023 18:59:05 --

amon в сообщении #1611043 писал(а):
то получится замечательный чернотельный спектр с максимумом в ИК диапазоне.

бкдет ли это спектр гелия или спектр стенок сосуда ограничиваюший гелий?[

-- Пн сен 25, 2023 18:59:14 --

amon в сообщении #1611043 писал(а):
то получится замечательный чернотельный спектр с максимумом в ИК диапазоне.

бкдет ли это спектр гелия или спектр стенок сосуда ограничиваюший гелий?[

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамическое равновесие и градиент температуры
Сообщение25.09.2023, 18:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5241
ФТИ им. Иоффе СПб
pppppppo_98 в сообщении #1611298 писал(а):
бкдет ли это спектр гелия или спектр стенок сосуда ограничиваюший гелий?
Солнышко выдает замечательный чернотельный спектр в видимом и ИК диапазоне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамическое равновесие и градиент температуры
Сообщение25.09.2023, 18:30 


17/10/16
4775
pppppppo_98 в сообщении #1611298 писал(а):
углекислота - почти идеальный газ

Да, это я не то сказал. Идеальный газ, конечно, и многоатомный может быть. Я имел ввиду наши шарики без трения (и без вращения поэтому).

pppppppo_98 в сообщении #1611298 писал(а):
есть диффузия, тоже выравнивание давления

В смысле, выравнивание парциального давления? Или имеется ввиду, что распределение давления с высотой, конечно, тоже будет меняться по мере выравнивания температуры столба газа?

Я просто хотел подчеркнуть, что при резком изменении силового поля (включили гравитацию, лифт поехал и т.д.) сначала поле давления очень быстро приходит в механическое равновесие (это волновой процесс, хотя вязкость здесь, конечно, необходима), а затем это равновесное состояние медленно ползет вместе с медленным установлением теплового равновесия (выравнивание температуры).

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамическое равновесие и градиент температуры
Сообщение28.09.2023, 11:56 


27/02/09
2835
pppppppo_98 в сообщении #1611298 писал(а):
sergey zhukov в сообщении #1610877

писал(а):
А выравнивание поля давления - это, по сути, конвекция (направленное перемещение массы газа) или волновой процесс.
да вот вообще не факт - есть диффузия, тоже выравнивание давления sergey zhukov в сообщении #1610877

писал(а):

pppppppo_98 в сообщении #1611298 писал(а):
да вот вообще не факт - есть диффузия, тоже выравнивание давления

В идеальном газе, вроде бы, волны распространяются благодаря диффузии и теплопроводности, "упругие"(волновые) свойства газа - зависимость давления от концентрации - определяются уравнением состояния($p=nkT$, n - "диффузия", Т - "теплопроводность") в отличие от закона Гука как в конденсированных средах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамическое равновесие и градиент температуры
Сообщение30.01.2024, 02:15 
Аватара пользователя


11/07/19
85
tehnolog в сообщении #1609780 писал(а):
Качественная сторона ситуации, которую вы описали, мне понятна.

pppppppo_98 писал:
Цитата:
чо там не понятного... Итак сразу оставляем одну ось z, которую направляем по градиенту потенциала.

Итак на слое 1 имеем плотность молекул по скоростям $n(z,v) dv = n(z)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}} e^{\frac{-mv^2}{2 T}} dv$, и аналогично в слое 2 $n(z,v) dv = n(z +dz)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}} e^{\frac{-mv^2}{2 T}} dv$. Посчитаем потоки частиц, пусть разница энергий между слоями dU, тогда в первом слое в поток будет давать частициы с кинетической энергией $E_t\ge dU$ и направленные по оси z вверх (по градиенту), а во втором слое все молекулы направленные протв градиента. Посчитаеи сколько молекул dN пройдет через площадку dS за время dt, в фракции молекул, движущихися со скоростью в интервале [v.v+dv] $dN(z,v) = dS\, v\, dt\, n(z,v) dv$, n(v) -плотность вышеназванной фракции. просуммируем по всем фракциям с энергией больше $E_t$ ,этим определяется поток снизу вверх.
$$j_u= \frac{1}{dS dt}\int\limits_{v_t}^{+\infty} dN(z,v)= \int\limits_{v_t}^{+\infty} n(z,v)\, v\, dv= n(z)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}}\int\limits_{v_t}^{+\infty} dv\, v\,   e^{\frac{-mv^2}{2 T}}=n(z)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}}\int\limits_{dU}^{+\infty}dE e^{\frac{-E}{T}}$$


$$=n(z)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}}\int\limits_{0}^{+\infty}dE e^{\frac{-E}{T}}-n(z)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}}\int\limits_{0}^{dU}dE e^{\frac{-E}{T}}=n(z)\sqrt{\frac{T}{2 \pi\,m}}-n(z)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}} dU$$

Аналогично поток вниз
$$j_d= \frac{1}{dS dt}\int\limits_{-\infty}^{0} dN(z+dz,v)= \frac{1}{dS dt}\int\limits_{-\infty}^{0}n(z+dz,v)\, v\, dv =  n(z+dz)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}}\int\limits_{-\infty}^{0} dv\, v\,   e^{\frac{-mv^2}{2 T}}=$$
$$=n(z+dz)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}}\int\limits_{+\infty}^{0}dE e^{\frac{-E}{T}}=-n(z+dz)\sqrt{\frac{T}{2 \pi\,m}}$$

тогда из баланса получаем $0=\sqrt{\frac{T}{2 \pi\,m}}\left(j_u+j_d\right)=n(z) -n(z)\frac{dU}{T}-n(z+dz)$ или
$\frac{n(z+dz)-n(z)}{n(z)}=-\frac{dU(z)}{T}$. Откель равновесное распределение $\n(z)=n_0 e^{-\frac{U(z)-U(0)}{T}}$

С потоком энергии все аналогично, только в выражениях для потоков нужно умножить на энергию, и тогда для потока вниз в последнем выражении вообще не будет выражения с множителем dU (значению подинтегрального выражения равно - dU<<Eк, поэтому с принятой точностью модно пренебречь наличием молекул с черезвычайно низкой кинетической энергией мпньше dU - они не дают вклад в поток энергии), и потоки энергии совпадают

Ув. pppppppo_98, освежив в памяти свои скромные познания по распределению Максвелла, я "усвоил" Вашу выкладку. Спасибо :-) . Но крайне заинтересовало проверить самостоятельно, что исходя из равенства потоков энергий получается такой же результат. После самостоятельного вывода распределения плотности молекул исходя из равенства их потоков, который я провел для закрепления (только теперь уже грамотно и без ошибок), я попытался вывести распределение плотности, исходя из равенства потоков энергий. В результате у меня не получилось такого же распределения как в случае баланса по потоку частиц. Буду благодарен всем, кто подскажет в чем ошибка, если она есть.
Итак, имеем функцию распределения проэкций скоростей молекул на ось z: $F(v)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}$ Поток энергии вдоль оси z (вверх) определится выражением: $$E_u=n(z)\int\limits_{v_t}^{+\infty}\left(\frac{mv^2}{2}-dU\right)F(v)v\,dv=n(z)\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\int\limits_{v_t}^{+\infty} \left(\frac{mv^2}{2}-dU\right) e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\,v\,dv=$$ $$=n(z)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}\int\limits_{dU}^{+\infty}(E-dU) e^{-\frac{E}{kT}}\, dE=-n(z)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}((KT)^2+KTE - KT\,dU) e^{-\frac{E}{kT}}\, \bigg |_{dU}^{+\infty}= $$ $$=n(z)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,kT - n(z)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,dU$$ (здесь $e^{-\frac{dU}{kT}$ раскладывается в ряд Маклорена, и полагается $e^{-\frac{dU}{kT}}\approx 1-\frac{dU}{kT}$).
Для потока против оси z (вниз) имеем: $$E_d=n(z+dz)\int\limits_{-\infty}^{0}\left(\frac{mv^2}{2}+dU\right)F(v)v\,dv=n(z+dz)\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\int\limits_{-\infty}^{0} \left(\frac{mv^2}{2}+dU\right) e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\,v\,dv=$$ $$=n(z+dz)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}\int\limits_{+\infty}^{0}(E+dU) e^{-\frac{E}{kT}}\, dE=-n(z+dz)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}((KT)^2+KTE + KT\,dU) e^{-\frac{E}{kT}}\, \bigg |_{+\infty}^{0}= $$ $$=-n(z+dz)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,kT - n(z+dz)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,dU$$ $$E_u+E_d=-dn\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,kT - 2n\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,dU=0$$ $$\frac{dn}{n}=-\frac{2\,dU}{kT}$$ И в итоге получаем распределение: $n=n_0 e^{-\frac{2(U-U_0)}{kT}}$ , которое отличается от распределения Больцмана множителем "2" в степени при экспоненте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамическое равновесие и градиент температуры
Сообщение30.01.2024, 16:45 
Аватара пользователя


11/07/19
85
sergey zhukov в сообщении #1610847 писал(а):
amon в сообщении #1610830 писал(а):
Нее. Показываем, что если равновесие, то температура одинакова.

Ну, по крайней мере на последних двух страницах pppppppo_98 взял уже изначально однородное температурное поле, задал условие равновесия (поток молекул через сечение равнен нулю) и получил равновесное распределение плотности газа по высоте, соответствующее формуле Больцмана. Тут даже не предполагалось, что температура может зависеть от высоты. Само распределение Больцмана уже предполагает однородность температуры системы. Я бы сказал, что мы именно показали: если температура однородна по пространству, то все отлично складывается.

tehnolog был не согласен с тем, что случай однородной температуры - равновесный. Вот доказательство и было направлено на то, что он - равновесный.

Я на самом деле быстро сдался, из-за своих ошибок.И не было времени сразу разобраться и написать. А по хорошему, нужно, для доказательства однородности температуры, чтоб распределение Больцмана удовлетворяло и нулевому потоку молекул через произвольное сечение, и нулевому потоку энергии. А вот поток энергии, как оказалось для изотермической атмосферы оказывается НЕ нулевым.
Цитата:
Я бы сказал, что мы именно показали: если температура однородна по пространству, то все отлично складывается.
Так вот оказалось, что все-таки не складывается.
Я недавно получил распределение молекулярных плотностей, исходя из условий равенства нулю обеих потоков (и молекул, и энергии). Оно предполагает неизотермичность газа. Не публикую, пока не проверю на ошибки...

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамическое равновесие и градиент температуры
Сообщение09.02.2024, 13:19 


29/01/09
592
tehnolog в сообщении #1627547 писал(а):
А вот поток энергии, как оказалось для изотермической атмосферы оказывается НЕ нулевым.


ошибка у вас втом что разность потенциальной энергии между слоями у вас $2 dU$, должно быть $dU$ - вы либо двойки в знаменаталь поставьте в потенциальную энергию, что будет соответствовать средней аотенциальной энергии, либо в потоке вниз уберите $dU$ - и тогла все сннова встанет на свои места

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамическое равновесие и градиент температуры
Сообщение10.02.2024, 02:03 
Аватара пользователя


11/07/19
85
pppppppo_98 в сообщении #1628923 писал(а):
tehnolog в сообщении #1627547 писал(а):
А вот поток энергии, как оказалось для изотермической атмосферы оказывается НЕ нулевым.


ошибка у вас втом что разность потенциальной энергии между слоями у вас $2 dU$, должно быть $dU$ - вы либо двойки в знаменаталь поставьте в потенциальную энергию, что будет соответствовать средней аотенциальной энергии, либо в потоке вниз уберите $dU$ - и тогла все сннова встанет на свои места


Спасибо, что ответили. Но разность между слоями у меня именно $dU$. Я не знаю, откуда мне двойки в знаменатель взять. Да и по логике, при перемещении вверх от слоя к слою молекулы теряют энергию $dU$ (а не $\frac{1}{2}\,dU$); при перемещении вниз - приобретают её же, что и отражают соответствующие члены в выражениях $E_d$ и $E_u$.
Я распишу подробнее еще раз интегралы, чтоб доказать, что двойке там неоткуда взяться:
$$E_u=-n(z)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}((kT)^2+kTE - kT\,dU) e^{-\frac{E}{kT}}\, \bigg |_{dU}^{+\infty}=$$ $$=0-\left(-n(z)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}((kT)^2+kT\,dU - kT\,dU) e^{-\frac{dU}{kT}}\right)=$$ $$=n(z)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}kT\left(1-\frac{dU}{kT}\right)=n(z)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}kT-n(z)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}dU$$
$$E_d=-n(z+dz)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}((kT)^2+kTE + kT\,dU) e^{-\frac{E}{kT}}\, \bigg |_{+\infty}^{0}=$$ $$=-n(z+dz)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}((kT)^2+0 + kT\,dU)-0 =-n(z+dz)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}kT-n(z+dz)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}dU$$
$$E_u+E_d=n(z)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}kT-n(z)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}dU-n(z+dz)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}kT-n(z+dz)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}dU=0$$ $$=-dn\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,kT - 2n\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,dU-\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,dU\,dn=0$$ $$\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,dU\,dn\quad\text{-бесконечно малая высшего порядка - пренебрегаем}$$ И всё получается как раньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамическое равновесие и градиент температуры
Сообщение10.02.2024, 02:51 


29/01/09
592
tehnolog в сообщении #1628979 писал(а):
Но разность между слоями у меня именно $dU$

у вас $2 dU$... условно у вас два слоя толщиной $dH$ каждый, и в каждом слое и потенциальная энергия от дна до вершины слоя растет на $dU$. Если усреднить по всему слою то в среднем молекула находится на уровне $\frac{dH}{2}$ (по потенциалу) в любом из слое, стало быть при переходе высота в среднем меняется dH/2 или на разницу $\frac{dU}{2}$? до границы слоя - после чего она попадает в другой слой,

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамическое равновесие и градиент температуры
Сообщение10.02.2024, 02:56 


17/10/16
4775
tehnolog
Неужели вы думаете открыть тут что-то новое? Тут только свое умение правильно вычислять можно проверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамическое равновесие и градиент температуры
Сообщение10.02.2024, 03:02 


29/01/09
592
sergey zhukov в сообщении #1610847 писал(а):
Ну, по крайней мере на последних двух страницах pppppppo_98 взял уже изначально однородное температурное поле, задал условие равновесия (поток молекул через сечение равнен нулю) и получил равновесное распределение плотности газа по высоте, соответствующее формуле Больцмана. Тут даже не предполагалось, что температура может зависеть от высоты



ЗЫ

Все подобные же рассуждения , только уже с тремя уравнениями переноса- частиц , импульса и энергии приведут к равенству температуры в газепо всему объему, и барометрической формуле

realeugene в сообщении #1611094 писал(а):
чем азот или кислород


которые почти никак не взаимодействуют с таким излучением(в прямую, не считаю переноса со стороны парниковых газов)- ибо двуатомные молекулы(с одинаковыми атомами) без дипольного момента

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 402 ]  На страницу Пред.  1 ... 23, 24, 25, 26, 27  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group