Термодинамическое равновесие и градиент температуры

[druggist]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1611046 писал(а):

не будут закручиваться

Да, это вам не биллиард) О том как как трение может нетривиально изменить траекторию шарика https://www.youtube.com/watch?v=XFKRW2P_K-E

[amon]

amon в сообщении #1611043 писал(а):

Тогда никакие упругие столкновения (центральные удары) не выведут такую систему из начального состояния

Тут я вру. Это точно так в одномерии, что была у Пуанкаре, а в трехмерии все сложнее.

[realeugene]

amon в сообщении #1611043 писал(а):

Теперь про электромагнитное излучение. Не хотел лезть в дебри, но приходится. Если нагреть какой-нибудь гелий градусов до 300 и снять его спектр, то получится замечательный чернотельный спектр с максимумом в ИК диапазоне. Это означает, что газ прекрасно поглощает и излучает фотоны в этом спектральном диапазоне, иначе как бы установилось равенство температур газа и излучения. Это - термодинамическая теорема.

Это всё верно, но дьявол в деталях. Чтобы рассматривать тепловое излучение в качестве эффективного механизма теплопереноса в газе, длина свободного пробега тепловых фотонов должна быть сильно меньше размеров установки. Тепловой фотон должен излучиться одной молекулой газа и поглотиться другой. Если же эта длина свободного пробега больше, например, толщины атмосферы, то и атмосфера будет прозрачна для ИК этой температуры. В этом и состоит роль парниковых газов в глобальном потеплении: углекислый газ взаимодействует с тепловыми фотонами температуры порядка 300 К гораздо эффективнее, чем азот или кислород, а в верхних частях тропосферы он гораздо холоднее, чем поверхность Земли.

[sergey zhukov]

amon в сообщении #1611054 писал(а):

Это точно так в одномерии, что была у Пуанкаре, а в трехмерии все сложнее.

Похоже на задачу FPUT. В одномерной цепочке термализация энергии при упругих столкновениях не происходит. А вот если рассмотреть одномерные молекулы не в виде единичных шарикрв, а в виде двух шариков, соединенных, пружинкой, то, похоже, происходит.

[pppppppo_98]

amon в сообщении #1610873 писал(а):

При упругих столкновениях суммарная кинетическая энергия пары молекул не меняется, при неупругих кинетическая может переходить в потенциальную и обратно.

ну тогда все столкновения упругие... Одноатомных атомов в окружающем мире (если не рассматривать космос) почти нет - а стало быть везде есть колебательный и/или вращательный спектр

sergey zhukov в сообщении #1610877 писал(а):

А выравнивание поля давления - это, по сути, конвекция (направленное перемещение массы газа) или волновой процесс.

да вот вообще не факт - есть диффузия, тоже выравнивание давления

sergey zhukov в сообщении #1610877 писал(а):

Этого всего в идеальном газе, по моему, нет.

углекислота - почти идеальный газ при н.у... а теперь послушайте зеленых о парниковом эффекте

-- Пн сен 25, 2023 18:59:05 --

amon в сообщении #1611043 писал(а):

то получится замечательный чернотельный спектр с максимумом в ИК диапазоне.

бкдет ли это спектр гелия или спектр стенок сосуда ограничиваюший гелий?[

-- Пн сен 25, 2023 18:59:14 --

amon в сообщении #1611043 писал(а):

то получится замечательный чернотельный спектр с максимумом в ИК диапазоне.

бкдет ли это спектр гелия или спектр стенок сосуда ограничиваюший гелий?[

[amon]

pppppppo_98 в сообщении #1611298 писал(а):

бкдет ли это спектр гелия или спектр стенок сосуда ограничиваюший гелий?

Солнышко выдает замечательный чернотельный спектр в видимом и ИК диапазоне.

[sergey zhukov]

pppppppo_98 в сообщении #1611298 писал(а):

углекислота - почти идеальный газ

Да, это я не то сказал. Идеальный газ, конечно, и многоатомный может быть. Я имел ввиду наши шарики без трения (и без вращения поэтому).

pppppppo_98 в сообщении #1611298 писал(а):

есть диффузия, тоже выравнивание давления

В смысле, выравнивание парциального давления? Или имеется ввиду, что распределение давления с высотой, конечно, тоже будет меняться по мере выравнивания температуры столба газа?

Я просто хотел подчеркнуть, что при резком изменении силового поля (включили гравитацию, лифт поехал и т.д.) сначала поле давления очень быстро приходит в механическое равновесие (это волновой процесс, хотя вязкость здесь, конечно, необходима), а затем это равновесное состояние медленно ползет вместе с медленным установлением теплового равновесия (выравнивание температуры).

[druggist]

pppppppo_98 в сообщении #1611298 писал(а):

sergey zhukov в сообщении #1610877

писал(а):
А выравнивание поля давления - это, по сути, конвекция (направленное перемещение массы газа) или волновой процесс.
да вот вообще не факт - есть диффузия, тоже выравнивание давления sergey zhukov в сообщении #1610877

писал(а):

pppppppo_98 в сообщении #1611298 писал(а):

да вот вообще не факт - есть диффузия, тоже выравнивание давления

В идеальном газе, вроде бы, волны распространяются благодаря диффузии и теплопроводности, "упругие"(волновые) свойства газа - зависимость давления от концентрации - определяются уравнением состояния($p=nkT$, n - "диффузия", Т - "теплопроводность") в отличие от закона Гука как в конденсированных средах.

[tehnolog]

tehnolog в сообщении #1609780 писал(а):

Качественная сторона ситуации, которую вы описали, мне понятна.

pppppppo_98 писал:

Цитата:

чо там не понятного... Итак сразу оставляем одну ось z, которую направляем по градиенту потенциала.

Итак на слое 1 имеем плотность молекул по скоростям $n(z,v) dv = n(z)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}} e^{\frac{-mv^2}{2 T}} dv$, и аналогично в слое 2 $n(z,v) dv = n(z +dz)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}} e^{\frac{-mv^2}{2 T}} dv$. Посчитаем потоки частиц, пусть разница энергий между слоями dU, тогда в первом слое в поток будет давать частициы с кинетической энергией $E_t\ge dU$ и направленные по оси z вверх (по градиенту), а во втором слое все молекулы направленные протв градиента. Посчитаеи сколько молекул dN пройдет через площадку dS за время dt, в фракции молекул, движущихися со скоростью в интервале [v.v+dv] $dN(z,v) = dS\, v\, dt\, n(z,v) dv$, n(v) -плотность вышеназванной фракции. просуммируем по всем фракциям с энергией больше $E_t$ ,этим определяется поток снизу вверх.

$$j_u= \frac{1}{dS dt}\int\limits_{v_t}^{+\infty} dN(z,v)= \int\limits_{v_t}^{+\infty} n(z,v)\, v\, dv= n(z)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}}\int\limits_{v_t}^{+\infty} dv\, v\, e^{\frac{-mv^2}{2 T}}=n(z)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}}\int\limits_{dU}^{+\infty}dE e^{\frac{-E}{T}}$$

$$=n(z)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}}\int\limits_{0}^{+\infty}dE e^{\frac{-E}{T}}-n(z)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}}\int\limits_{0}^{dU}dE e^{\frac{-E}{T}}=n(z)\sqrt{\frac{T}{2 \pi\,m}}-n(z)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}} dU$$

Аналогично поток вниз

$$j_d= \frac{1}{dS dt}\int\limits_{-\infty}^{0} dN(z+dz,v)= \frac{1}{dS dt}\int\limits_{-\infty}^{0}n(z+dz,v)\, v\, dv = n(z+dz)\sqrt{\frac{m}{2 \pi T}}\int\limits_{-\infty}^{0} dv\, v\, e^{\frac{-mv^2}{2 T}}=$$

$$=n(z+dz)\sqrt{\frac{1}{2 \pi\,m\,T}}\int\limits_{+\infty}^{0}dE e^{\frac{-E}{T}}=-n(z+dz)\sqrt{\frac{T}{2 \pi\,m}}$$

тогда из баланса получаем $0=\sqrt{\frac{T}{2 \pi\,m}}\left(j_u+j_d\right)=n(z) -n(z)\frac{dU}{T}-n(z+dz)$ или
$\frac{n(z+dz)-n(z)}{n(z)}=-\frac{dU(z)}{T}$. Откель равновесное распределение $\n(z)=n_0 e^{-\frac{U(z)-U(0)}{T}}$

С потоком энергии все аналогично, только в выражениях для потоков нужно умножить на энергию, и тогда для потока вниз в последнем выражении вообще не будет выражения с множителем dU (значению подинтегрального выражения равно - dU<<Eк, поэтому с принятой точностью модно пренебречь наличием молекул с черезвычайно низкой кинетической энергией мпньше dU - они не дают вклад в поток энергии), и потоки энергии совпадают

Ув. pppppppo_98, освежив в памяти свои скромные познания по распределению Максвелла, я "усвоил" Вашу выкладку. Спасибо . Но крайне заинтересовало проверить самостоятельно, что исходя из равенства потоков энергий получается такой же результат. После самостоятельного вывода распределения плотности молекул исходя из равенства их потоков, который я провел для закрепления (только теперь уже грамотно и без ошибок), я попытался вывести распределение плотности, исходя из равенства потоков энергий. В результате у меня не получилось такого же распределения как в случае баланса по потоку частиц. Буду благодарен всем, кто подскажет в чем ошибка, если она есть.
Итак, имеем функцию распределения проэкций скоростей молекул на ось z: $F(v)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}$ Поток энергии вдоль оси z (вверх) определится выражением:

$$E_u=n(z)\int\limits_{v_t}^{+\infty}\left(\frac{mv^2}{2}-dU\right)F(v)v\,dv=n(z)\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\int\limits_{v_t}^{+\infty} \left(\frac{mv^2}{2}-dU\right) e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\,v\,dv=$$

$$=n(z)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}\int\limits_{dU}^{+\infty}(E-dU) e^{-\frac{E}{kT}}\, dE=-n(z)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}((KT)^2+KTE - KT\,dU) e^{-\frac{E}{kT}}\, \bigg |_{dU}^{+\infty}= $$

$$=n(z)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,kT - n(z)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,dU$$

(здесь $e^{-\frac{dU}{kT}$ раскладывается в ряд Маклорена, и полагается $e^{-\frac{dU}{kT}}\approx 1-\frac{dU}{kT}$).
Для потока против оси z (вниз) имеем:

$$E_d=n(z+dz)\int\limits_{-\infty}^{0}\left(\frac{mv^2}{2}+dU\right)F(v)v\,dv=n(z+dz)\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\int\limits_{-\infty}^{0} \left(\frac{mv^2}{2}+dU\right) e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\,v\,dv=$$

$$=n(z+dz)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}\int\limits_{+\infty}^{0}(E+dU) e^{-\frac{E}{kT}}\, dE=-n(z+dz)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}((KT)^2+KTE + KT\,dU) e^{-\frac{E}{kT}}\, \bigg |_{+\infty}^{0}= $$

$$=-n(z+dz)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,kT - n(z+dz)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,dU$$

$$E_u+E_d=-dn\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,kT - 2n\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,dU=0$$

$$\frac{dn}{n}=-\frac{2\,dU}{kT}$$

И в итоге получаем распределение: $n=n_0 e^{-\frac{2(U-U_0)}{kT}}$ , которое отличается от распределения Больцмана множителем "2" в степени при экспоненте.

[tehnolog]

sergey zhukov в сообщении #1610847 писал(а):

amon в сообщении #1610830 писал(а):

Нее. Показываем, что если равновесие, то температура одинакова.

Ну, по крайней мере на последних двух страницах pppppppo_98 взял уже изначально однородное температурное поле, задал условие равновесия (поток молекул через сечение равнен нулю) и получил равновесное распределение плотности газа по высоте, соответствующее формуле Больцмана. Тут даже не предполагалось, что температура может зависеть от высоты. Само распределение Больцмана уже предполагает однородность температуры системы. Я бы сказал, что мы именно показали: если температура однородна по пространству, то все отлично складывается.

tehnolog был не согласен с тем, что случай однородной температуры - равновесный. Вот доказательство и было направлено на то, что он - равновесный.

Я на самом деле быстро сдался, из-за своих ошибок.И не было времени сразу разобраться и написать. А по хорошему, нужно, для доказательства однородности температуры, чтоб распределение Больцмана удовлетворяло и нулевому потоку молекул через произвольное сечение, и нулевому потоку энергии. А вот поток энергии, как оказалось для изотермической атмосферы оказывается НЕ нулевым.

Цитата:

Я бы сказал, что мы именно показали: если температура однородна по пространству, то все отлично складывается.

Так вот оказалось, что все-таки не складывается.
Я недавно получил распределение молекулярных плотностей, исходя из условий равенства нулю обеих потоков (и молекул, и энергии). Оно предполагает неизотермичность газа. Не публикую, пока не проверю на ошибки...

[pppppppo_98]

tehnolog в сообщении #1627547 писал(а):

А вот поток энергии, как оказалось для изотермической атмосферы оказывается НЕ нулевым.

ошибка у вас втом что разность потенциальной энергии между слоями у вас $2 dU$, должно быть $dU$ - вы либо двойки в знаменаталь поставьте в потенциальную энергию, что будет соответствовать средней аотенциальной энергии, либо в потоке вниз уберите $dU$ - и тогла все сннова встанет на свои места

[tehnolog]

pppppppo_98 в сообщении #1628923 писал(а):

tehnolog в сообщении #1627547 писал(а):

А вот поток энергии, как оказалось для изотермической атмосферы оказывается НЕ нулевым.

ошибка у вас втом что разность потенциальной энергии между слоями у вас $2 dU$, должно быть $dU$ - вы либо двойки в знаменаталь поставьте в потенциальную энергию, что будет соответствовать средней аотенциальной энергии, либо в потоке вниз уберите $dU$ - и тогла все сннова встанет на свои места

Спасибо, что ответили. Но разность между слоями у меня именно $dU$. Я не знаю, откуда мне двойки в знаменатель взять. Да и по логике, при перемещении вверх от слоя к слою молекулы теряют энергию $dU$ (а не $\frac{1}{2}\,dU$); при перемещении вниз - приобретают её же, что и отражают соответствующие члены в выражениях $E_d$ и $E_u$.
Я распишу подробнее еще раз интегралы, чтоб доказать, что двойке там неоткуда взяться:

$$E_u=-n(z)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}((kT)^2+kTE - kT\,dU) e^{-\frac{E}{kT}}\, \bigg |_{dU}^{+\infty}=$$ $$=0-\left(-n(z)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}((kT)^2+kT\,dU - kT\,dU) e^{-\frac{dU}{kT}}\right)=$$

$$=n(z)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}kT\left(1-\frac{dU}{kT}\right)=n(z)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}kT-n(z)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}dU$$

$$E_d=-n(z+dz)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}((kT)^2+kTE + kT\,dU) e^{-\frac{E}{kT}}\, \bigg |_{+\infty}^{0}=$$ $$=-n(z+dz)\sqrt{\frac{1}{2\pi mkT}}((kT)^2+0 + kT\,dU)-0 =-n(z+dz)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}kT-n(z+dz)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}dU$$

$$E_u+E_d=n(z)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}kT-n(z)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}dU-n(z+dz)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}kT-n(z+dz)\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}dU=0$$

$$=-dn\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,kT - 2n\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,dU-\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,dU\,dn=0$$

$$\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}\,dU\,dn\quad\text{-бесконечно малая высшего порядка - пренебрегаем}$$

И всё получается как раньше.

[pppppppo_98]

tehnolog в сообщении #1628979 писал(а):

Но разность между слоями у меня именно $dU$

у вас $2 dU$... условно у вас два слоя толщиной $dH$ каждый, и в каждом слое и потенциальная энергия от дна до вершины слоя растет на $dU$. Если усреднить по всему слою то в среднем молекула находится на уровне $\frac{dH}{2}$ (по потенциалу) в любом из слое, стало быть при переходе высота в среднем меняется dH/2 или на разницу $\frac{dU}{2}$? до границы слоя - после чего она попадает в другой слой,

[sergey zhukov]

tehnolog
Неужели вы думаете открыть тут что-то новое? Тут только свое умение правильно вычислять можно проверить.

[pppppppo_98]

sergey zhukov в сообщении #1610847 писал(а):

Ну, по крайней мере на последних двух страницах pppppppo_98 взял уже изначально однородное температурное поле, задал условие равновесия (поток молекул через сечение равнен нулю) и получил равновесное распределение плотности газа по высоте, соответствующее формуле Больцмана. Тут даже не предполагалось, что температура может зависеть от высоты

ЗЫ

Все подобные же рассуждения , только уже с тремя уравнениями переноса- частиц , импульса и энергии приведут к равенству температуры в газепо всему объему, и барометрической формуле

realeugene в сообщении #1611094 писал(а):

чем азот или кислород

которые почти никак не взаимодействуют с таким излучением(в прямую, не считаю переноса со стороны парниковых газов)- ибо двуатомные молекулы(с одинаковыми атомами) без дипольного момента