Что дала актуальная бесконечность математике?

[manul91]

epros в сообщении #1608526 писал(а):

manul91 в сообщении #1608414 писал(а):

Цитата:

Что помешает математику самому назвать $j$-той цифры $i$-той последовательности?

Неизвестность этой цифры, разумеется.

Здесь я написал неправильно разумеется но уже не смог исправить.
В обсуждаемом случае (диагонального доказательства) неизвестность значения цифры математику не мешает, достаточно знать что оно существует (что следует из предположения размещения последовательностей в список) - а значит, можно выбрать другое.

epros в сообщении #1608526 писал(а):

Я не понимаю, что такое "наличие всех выписанных последовательностей со всеми цифрами сразу". Я такого наличия нигде никогда не видел. Так что заменять нечего.
....
Вы о чём? Чтобы назвать $i$-тое натуральное число надо просто назвать $i$-тое натуральное число. Никаких бесконечностей тут нет, да и оракулы не требуются.

Тут говорили, что математику также нужен оракул даже чтобы верить в существовании десятичной записи $10^{100}$-ного простого числа. Его десятичной записи тоже никто не видел.
Ну и я гадал соответно, поскольку никто четко не хотел отвечать - зачем нужен оракул, и/или вера в нем в случае доказательства Кантора?

epros в сообщении #1608526 писал(а):

manul91 в сообщении #1608414 писал(а):

То тогда я вас не понимаю - зачем вообще нужен математику такой оракул (и "вера" в нем)?

В данном случае - для того, чтобы сформулировать предположение теоремы Кантора, которое будет опровергнуто.
....
Нет, не конструктивистам. Это нужно, чтобы было проще тем, кто не понимает, что означают высказывания типа: "Возьмём некоторую последовательность цифр $a_1, a_2, \ldots$".

Вы прежде писали другое, с чем и началось все гадание:

epros в сообщении #1608040 писал(а):

Стандартная математика позволяет аксиоматически признавать за "существующие" массу совершенно воображаемых вещей. Скажу даже больше: Уже в той же теореме Кантора о несчётности предполагается, что выписаны любые последовательности цифр, независимо от того, можно ли их определить алгоритмом. А ведь известно, что некоторые последовательности никакими алгоритмами и вообще конечными формулами не определяются. В каком же тогда смысле мы можем считать, что они "выписаны"? Очевидно, классический математик должен предположить, что у него в руках находится некий оракул, который в ответ на любой вопрос типа: "Какая цифра стоит в ...той позиции ...той последовательности"?

Классический математик - не понимает что означают высказывания типа: "Возьмём некоторую последовательность цифр $a_1, a_2, \ldots$"??

epros в сообщении #1608526 писал(а):

И что из этого следует? Разве кто-то требовал от математика "специфицировать" несчётное количество последовательностей?

Я предполагал по каких-то причин от оракула требуется нечто более навороченное, если классическому математику без нем не обойтись в случае теоремы Кантора.
А не то, что и так не нужно.
Как вы теперь сказали, диагональное доказательство Кантора прокатывает для всех, кто понимает что означает "последовательность цифр $a_1, a_2, \ldots$" (я бы добавил - и кто понимает также что означает последовательность $i_1, i_2, \ldots$ из таких последовательностей).
Включение или исключение счетного множества невычислимых-но-специфируемых последовательностей из несчетного множества "последовательностей цифр $a_1, a_2, \ldots$" через (ненужным) оракулом вашего типа, ничего не меняет - и классический математик (понимающий что означает "последовательность цифр $a_1, a_2, \ldots$") вроде должен этого понимать также.

epros в сообщении #1608526 писал(а):

manul91 в сообщении #1608469 писал(а):

Цитата:

Если математик конструктивист, и вообще не признает существование невычислимых последовательностей (чтобы считать последовательность "существующей" и вообще последовательностью - по его мнению необходима возможность чтобы в мире существовала какая-то сущность, которая смогла бы конкретно назвать/выдать значение $j$-той цифры последовательности - т.е. он типа последователь Church–Turing–Deutsch principle).
То для этого да - наличие оракула (или верить в возможность его существования в мире) - наверно помогло бы, чтобы такой математик принял бы и невычислимые последовательности к рассмотрению.

Конструктивизм здесь совершенно ни при чём. Конструктивист в первую очередь не верит в существование оракулов и по этой причине просто не примет такую формулировку теоремы Кантора, которая цитировалась выше.

Я согласен что это несколько другой вопрос, и так и сказал (хотя вы последнее мое предложение в цитируемым отрывке "Но это, совсем другой вопрос...." - почему-то опустили).
Но все же любопытно - что именно конкретно, не понравится конструктивисту в формулировке теоремы Кантора? Еще раз напомню, что в ней вроде не требуется знать каково именно будет значение $j$-той цифры $i$-той последовательности из списка - $0$ ли будет или $1$, можно ли $j$-тую цифру вычислить или нет и т.д. Достаточно считать что она есть пусть и неизвестна (что следует из предположении, что последовательности упорядочены в список).
Мне кажется, диагональное рассуждение Кантора для вычислимых последовательностей (которых всех можно рассматривать в списке, если конструктивист изначально не хочет рассматривать невычислимые) - как бы должно привести конструктивиста к выводу, что существуют еще и какие-то другие (невычислимые) последовательности - разве нет?
Утверждение типа "Дана неизвестная цифра $X$ из множества $\{0,..,9\}$, всегда можно выбрать отличающуюся от ней цифру $Y$ из того же множества" - для конструктивиста приемлемо?

[EminentVictorians]

manul91 в сообщении #1608469 писал(а):

Мой тезис - для доказательства Кантора, математику оракул не нужен.

Ну да, я тоже так считаю. (Если математик явно не переопределяет стандартные сущности типа "множество", "существует")

manul91 в сообщении #1608469 писал(а):

Для диагональном доказательстве существенно то, что по допущению последовательности выписаны в определенном нумеруемом списке

Нет. Все эти словосочетания типа "выписаны", "нумеруемый список" и т.д. - это все лишь фигуры речи. Следите за руками:

Введем определения и обозначения.
По определению, последовательность, состоящая из нулей и единиц - это функция вида $p:\mathbb N \to \mathbb Z_2$.
Множество таких последовательностей обозначим буквой $M$.

Предположим, что множество $M$ счетно. Тогда существует биекция $F: \mathbb N \to M$. Положим для краткости $p_i := F(i)$.
Рассмотрим функцию $P: \mathbb N \to \mathbb Z_2$, $P(s) = p_s(s) + 1$. Очевидно, что $P$ является последовательностью из нулей и единиц. А раз так, значит $P \in M$, следовательно (пользуясь свойствами биекции) $P = F(k) = p_k$ для некоторого $k \in \mathbb N$.

Тогда (из доказанного строчкой выше) получается, что $P(k) = p_k(k)$ и вместе с этим (из определения функции $P$) $P(k) = p_k(k)+1$. Получается, что $p_k(k) = p_k(k)+1$, откуда (прибавив к обеим частям равенства $-p_k(k)$) получается, что $0 = 1$. В $Z_2$ такого быть не может (т.к. оно является нетривиальным кольцом), получили противоречие. Следовательно, множество $M$ последовательностей, состоящих из нулей и единиц, - несчетно. Чтд.


Никаких нумеруемых списков, "специфицированных" последовательностей, оракулов и всяких подобных вещей я здесь не наблюдаю.

[epros]

manul91 в сообщении #1608562 писал(а):

Тут говорили, что математику также нужен оракул даже чтобы верить в существовании десятичной записи $10^{100}$-ного простого числа. Его десятичной записи тоже никто не видел.
Ну и я гадал соответно, поскольку никто четко не хотел отвечать - зачем нужен оракул, и/или вера в нем в случае доказательства Кантора?

Про запись больших чисел и про теорему Кантора - это совсем разные вопросы. Я не знаю, зачем в первом случае заговорили об оракулах.

manul91 в сообщении #1608562 писал(а):

Вы прежде писали другое

В чём другое? Хронология была такая:
1) Топикстартер пояснил, что его непонимание "актуальной бесконечности" так или иначе сводится к непониманию смысла многоточий в утверждениях о бесконечных последовательностях.
2) Я сказал, что многоточие допустимо там, где понятно, чем именно автор предлагает продолжить ряд. А как контрпример того, когда это может быть непонятно, я упомянул запись $3.1415\ldots$ - ведь мы не знаем, какие следующие цифры имеются в виду, хотя предполагается конкретное число. При этом я неосторожно упомянул "алгоритм", из чего Вы, вероятно, решили, что я имел в виду только конструктивное определение последовательностей.
3) Поэтому следующим своим ответом на Ваше сообщение я уточнил, что говорил в первую очередь о "стандартной математике" (не о конструктивизме). В частности, в той же обсуждавшейся формулировке теоремы Кантора нет никакой речи об алгоритмах. Там автор предлагает взять ("выписать") некую последовательность последовательностей цифр. И вопрос заключается в том, какой смысл в этом "взять" или "выписать", если на самом деле никто никаких бесконечных последовательностей конечно не выписывает. И я пояснил, что в данном случае продолжение последовательности после троеточия обеспечивает некий воображаемый "оракул". Нам ведь не нужно знать конкретных цифр, нам важно только верить в том, что однозначно определённое продолжение "существует".

manul91 в сообщении #1608562 писал(а):

Классический математик - не понимает что означают высказывания типа: "Возьмём некоторую последовательность цифр $a_1, a_2, \ldots$"??

Как выяснилось, некоторые здесь не понимают. А некоторые даже не понимают, что не понимают. Но нормальный классический математик конечно же понимает. Ибо если его спросить, например, что такое "последовательность двоичных цифр", то он несомненно ответит, что это - функция $\mathbb{N} \to \{0,1\}$. Так вот, такая функция (в общем случае - невычислимая) - это и есть "оракул".

manul91 в сообщении #1608562 писал(а):

Но все же любопытно - что именно конкретно, не понравится конструктивисту в формулировке теоремы Кантора?

Как я уже сказал, конструктивисту не понравится такое определение понятия "последовательности". Да, для конструктивиста последовательность двоичных цифр - это тоже функция $\mathbb{N} \to \{0,1\}$, вот только с точки зрения конструктивиста всё, что называется "функцией", должно быть по определению вычислимым. Поэтому в конструктивном анализе есть свой вариант теоремы Кантора - о конструктивной несчётности конструктивных действительных чисел.

-- Сб сен 09, 2023 21:40:55 --

EminentVictorians в сообщении #1608586 писал(а):

manul91 в сообщении #1608469 писал(а):

Мой тезис - для доказательства Кантора, математику оракул не нужен.

Ну да, я тоже так считаю. (Если математик явно не переопределяет стандартные сущности типа "множество", "существует")

Отсюда я делаю вывод, что Вы тоже из тех, кто не понимает, что не понимает.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1608589 писал(а):

Отсюда я делаю вывод, что Вы тоже из тех, кто не понимает, что не понимает.

Тогда покажите мне его. Найдите оракула в моем доказательстве. (И еще, желательно, дайте если не определение, то хотя бы как-то более-менее строго опишите, что Вы подразумеваете под оракулом).

[manul91]

EminentVictorians в сообщении #1608586 писал(а):

Нет. Все эти словосочетания типа "выписаны", "нумеруемый список" и т.д. - это все лишь фигуры речи. Следите за руками:

Я согласен, что слово "выписаны" неудачно. Но то, что последовательностей можно пронумеровать (т.е. что их множество счетное что вроде то же самое) - это важно

EminentVictorians в сообщении #1608586 писал(а):

По определению, последовательность, состоящая из нулей и единиц - это функция вида $p:\mathbb N \to \mathbb Z_2$.
Множество таких последовательностей обозначим буквой $M$.
Предположим, что множество $M$ счетно. Тогда существует биекция $F: \mathbb N \to M$. Положим для краткости $p_i := F(i)$.

Вот и этот шаг "для краткости" $$p_i := F(i)$ где подразумевается что предполагается что $i$ натуральное и означает, что последовательности номерованы в списке, разве нет?

Как вы считаете, если допустить индексирование последовательностей по вещественному индексу, т.е. формально писать $i \in \mathbb{R}$, биекция $F: \mathbb R \to M$ - то таким же способом можно доказать для несчетном $M$, что для того же множества всех последовательностей $p:\mathbb N \to \mathbb Z_2$ опять существует последовательность не включенная в списке, т.е. тех же последовательностей теперь "супернесчетное" количество (типа множества функций $g: \mathbb R \to \mathbb R$)?
Если нет, и такое доказательство не прокатывает - то почему, в чем изъян в том если буквально переписать ваше доказательство при вещественном $i$ и почему следует считать эту запись значков "неправильной" а первую "правильной"..?

Альтернативно, кто-то может отрицать что нельзя говорить про "упорядочении последовательностей вообще", "функций над натуральным числам вообще" т.е. пока $F(i)$ не задано явным конечным образом. А если провести рассуждение над конкретном упорядочении - то это не обязательно означает что к-во последовательностей несчетно т.к. может и что конкретное упорядочение неудачно.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1608592 писал(а):

дайте если не определение, то хотя бы как-то более-менее строго опишите, что Вы подразумеваете под оракулом

epros в сообщении #1608589 писал(а):

Но нормальный классический математик конечно же понимает. Ибо если его спросить, например, что такое "последовательность двоичных цифр", то он несомненно ответит, что это - функция $\mathbb{N} \to \{0,1\}$. Так вот, такая функция (в общем случае - невычислимая) - это и есть "оракул".

[EminentVictorians]

manul91 в сообщении #1608593 писал(а):

Но то, что последовательностей можно пронумеровать (т.е. что их множество счетное что вроде то же самое) - это важно

"Можно пронумеровать" - это фигура речи. Счетность множества $M$ подразумевает просто существование биекции $\mathbb N \to M$. Вы можете вообще не иметь ни малейшего понятия, как конкретно эта биекция устроена и чему конкретно она равна на тех или иных натуральных числах. Важно лишь ее существование.

manul91 в сообщении #1608593 писал(а):

Вот и этот шаг "для краткости" $$p_i := F(i)$ где подразумевается что предполагается что $i$ натуральное и означает, что последовательности номерованы в списке, разве нет?

Нет. Тут ничего не предполагается и не подразумевается. Это просто переобозначение для человеков, чтобы глаз не мозолить лишний раз. Если хотите, можете вырезать ножницами все вхождения $p_i$ из доказательства и вклеить вместо них $F(i)$. Доказательство от этого не пострадает. И $p_i$ никаких не будет, если Вы это так хотите.

manul91 в сообщении #1608593 писал(а):

Как вы считаете, если допустить индексирование последовательностей по вещественному индексу, т.е. формально писать $i \in \mathbb{R}$, биекция $F: \mathbb R \to M$ - то таким же способом можно доказать для несчетном $M$, что для того же множества всех последовательностей $p:\mathbb N \to \mathbb Z_2$ опять существует последовательность не включенная в списке, т.е. тех же последовательностей теперь "супернесчетное" количество (типа множества функций $g: \mathbb R \to \mathbb R$)?

Давайте еще раз. Каким может быть бесконечное множество? Либо счетным, либо несчетным. Согласны? Надеюсь, что да.

Мы хотим доказать, что множество $M$ несчетно. Сначала осознаем, что оно бесконечное (благо это очевидно). Какие тогда остались у нас варианты? Вариантов осталось 2: $M$ либо счетно, либо несчетно. Ну предположим, что оно счетно. Далее делаем то, что я делал в доказательстве выше. Внезапно мы натыкаемся на противоречие. Получается, что наше $M$ счетным быть не может. А значит оно несчетное. Вот и все.

Но судя по Вашему ответу, уж извините за прямоту, складывается ощущение, что Вы не понимаете смысла метода от противного.

[manul91]

epros в сообщении #1608589 писал(а):

Но нормальный классический математик конечно же понимает. Ибо если его спросить, например, что такое "последовательность двоичных цифр", то он несомненно ответит, что это - функция $\mathbb{N} \to \{0,1\}$. Так вот, такая функция (в общем случае - невычислимая) - это и есть "оракул".

Вот это то меня и путает. Пусть говорим с позиций "нормального классического математика".
Множество функций $\mathbb{N} \to \{0,1\}$ которое вы здесь почему-то называете оракулом (назовем его оракулом1) - несчетное множество. Т.е. "репертуар" последовательностей у оракула1 несчетный.
Однако когда прежде вы говорили про оракуле (назовем его оракулом2):

epros в сообщении #1608040 писал(а):

Очевидно, классический математик должен предположить, что у него в руках находится некий оракул, который в ответ на любой вопрос типа: "Какая цифра стоит в ...той позиции ...той последовательности"? - всегда даёт один и тот же точный ответ. То, что таких оракулов в реальности никто не видел, никого не волнует. Математика - наука о воображаемом.

То из данного описания протокола общения математика с оракулом2 следует, что "эффективный репертуар" последовательностей у оракула2 счетный (если считать что любой вопрос математика должен быть конечен что по моему разумно). Несмотря какие последовательности в нем включены (вычислимые, невычислимые, или еще какие-то сверхэкзотические).

Теперь, вам не кажется что здесь есть нестыковка...? Оракул1 и оракул2 - это одно и то же понятие?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1608596 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1608592 писал(а):

дайте если не определение, то хотя бы как-то более-менее строго опишите, что Вы подразумеваете под оракулом

epros в сообщении #1608589 писал(а):

Но нормальный классический математик конечно же понимает. Ибо если его спросить, например, что такое "последовательность двоичных цифр", то он несомненно ответит, что это - функция $\mathbb{N} \to \{0,1\}$. Так вот, такая функция (в общем случае - невычислимая) - это и есть "оракул".

Писать слово "оракул" больше чем в двух-трех предложениях от слов "машина Тьюринга"/"алгоритм"/"разрешимое множество", О(1) и т.п. - не очень хороший тон. В доказательстве Кантора никаких таких слов нету, а значит и никаких оракулов там нету.

Последовательность действительно может быть оракулом, но только в контексте, в котором звучат слова, написанные выше. Тащить этот контекст туда, где его нету - очень странное занятие.

[epros]

manul91 в сообщении #1608599 писал(а):

Теперь, вам не кажется что здесь есть нестыковка...? Оракул1 и оракул2 - это одно и то же понятие?

Никаких нестыковок. Оракул - это общее понятие для функции, алгоритм вычисления которой нам неизвестен (даже если он вдруг есть). Оракулов может быть сколько угодно. Если Вы видите различие в том, что в одном месте шла речь о функции $\mathbb{N} \to \{0,1\}$ (определяет последовательность двоичных цифр), а в другом - о функции $\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \{0,1\}$ (определяет последовательность последовательностей двоичных цифр), то это - несущественная разница.

-- Сб сен 09, 2023 23:13:04 --

EminentVictorians в сообщении #1608604 писал(а):

Писать слово "оракул" больше чем в двух-трех предложениях от слов "машина Тьюринга"/"алгоритм"/"разрешимое множество", О(1) и т.п. - не очень хороший тон.

Нормальный тон. Потому что речь о том же самом. Вычисления с оракулом - это и есть вычисления с обращением к функции, алгоритм вычисления которой неизвестен, т.е. она является "чёрным ящиком".

EminentVictorians в сообщении #1608604 писал(а):

В доказательстве Кантора никаких таких слов нету, а значит и никаких оракулов там нету.

Последовательность действительно может быть оракулом, но только в контексте, в котором звучат слова, написанные выше. Тащить этот контекст туда, где его нету - очень странное занятие.

Этот контекст возник не случайно, а из непонимания топикстартером того, как можно "взять некую бесконечную последовательность". Слова "последовательность" или даже "функция" в этом контексте мало что объясняют. А вот слово "оракул" - как упоминание воображаемого устройства, выдающего ответы - очень хорошо объясняет, хотя речь о том же самом.

[tolstopuz]

(Оффтоп)

epros в сообщении #1608605 писал(а):

Этот контекст возник не случайно, а из непонимания топикстартером того, как можно "взять некую бесконечную последовательность". Слова "последовательность" или даже "функция" в этом контексте мало что объясняют. А вот слово "оракул" - как упоминание воображаемого устройства, выдающего ответы - очень хорошо объясняет, хотя речь о том же самом.

Картина маслом "атеист epros рассказывает аборигенам о Боге" :)

[epros]

(Оффтоп)

tolstopuz в сообщении #1608615 писал(а):

"атеист epros рассказывает аборигенам о Боге"

[manul91]

EminentVictorians в сообщении #1608598 писал(а):

Давайте еще раз. Каким может быть бесконечное множество? Либо счетным, либо несчетным. Согласны? Надеюсь, что да.
Мы хотим доказать, что множество $M$ несчетно. Сначала осознаем, что оно бесконечное (благо это очевидно). Какие тогда остались у нас варианты? Вариантов осталось 2: $M$ либо счетно, либо несчетно. Ну предположим, что оно счетно. Далее делаем то, что я делал в доказательстве выше. Внезапно мы натыкаемся на противоречие. Получается, что наше $M$ счетным быть не может. А значит оно несчетное. Вот и все.

Все это я понимаю и с нем согласен.

Мой (новый) вопрос к вам в следующем. Рассмотрим следующее "доказательство", аналогичное вашим:
-----
Каким может быть бесконечное множество? Либо мощности континуума, либо не мощности континуума. Вариантов два.
Предположим, что оно мощности континуума.

Введем определения и обозначения.
По определению, последовательность, состоящая из нулей и единиц - это функция вида $p:\mathbb N \to \mathbb Z_2$.
Множество таких последовательностей обозначим буквой $M$.
Допустим, оно мощности континуума, и обозначим его мощность как $ \mathbb R$.

Тогда существует биекция $F: \mathbb R \to M$. Положим для краткости $p_i := F(i)$.
Рассмотрим функцию $P_i: \mathbb N \to \mathbb Z_2$, $P(i, s) = p_i(s) + 1$. Очевидно, что $P_i$ является последовательностью из нулей и единиц. А раз так, значит $P_i \in M$, следовательно (пользуясь свойствами биекции) $P = F(k,s) = p_k(s)$ для некоторого $k \in \mathbb R$.

Тогда (из доказанного строчкой выше) получается, что $P(k,s) = p_k(s)$ и вместе с этим (из определения функции $P$) $P(k,s) = p_k(s)+1$. Получается, что $p_k(s) = p_k(s)+1$, откуда (прибавив к обеим частям равенства $-p_k(s)$) получается, что $0 = 1$. В $Z_2$ такого быть не может (т.к. оно является нетривиальным кольцом), получили противоречие. Следовательно, множество $M$ последовательностей, состоящих из нулей и единиц не является равномощным $\mathbb R$, т.е. континуума.
-----
Где ошибка?

[EminentVictorians]

manul91, очень много непонятных переобозначений, которых в моем доказательтве не было.

manul91 в сообщении #1608625 писал(а):

Рассмотрим функцию $P_i: \mathbb N \to \mathbb Z_2$,

Пишете "рассмотрим функцию" (единственное число), а потом пишете $P_i$. У меня была просто $P$. Писать $P_i$ стоило бы, если бы вы рассматривали семейство функций, индексированных тем множеством, откуда Вы взяли $i$ (т.е. индексированных $\mathbb R$ как я понял из Вашего поста).

manul91 в сообщении #1608625 писал(а):

Рассмотрим функцию $P_i: \mathbb N \to \mathbb Z_2$, $P(i, s) = p_i(s) + 1$.

Здесь же еще одна странность. Вы пишете, что "функция" $P_i$ имеет вид $\mathbb N \to \mathbb Z_2$, а потом используете запись $P(i, s)$, в которой во-первых нету $P_i$, а во-вторых появилась какая-то новая никак не определенная функция $P$ с двумя аргументами.

Там дальше все тоже выглядит очень сомнительно. В общем, в текущей редакции Ваше доказательство совсем никуда не годится - надо много всего исправлять.

[manul91]

EminentVictorians в сообщении #1608627 писал(а):

Пишете "рассмотрим функцию" (единственное число), а потом пишете $P_i$. У меня была просто $P$. Писать $P_i$ стоило бы, если бы вы рассматривали семейство функций, индексированных тем множеством, откуда Вы взяли $i$ (т.е. индексированных $\mathbb R$ как я понял из Вашего поста).

Да $i \in \mathbb R$; если если $i$ не фиксировать то $P_i$ будет семейство отображений/функций; и речь о том что для любого фиксированного $i$, отображение $P_i: \mathbb N \to \mathbb Z_2$ - последовательность.

EminentVictorians в сообщении #1608627 писал(а):

Вы пишете, что "функция" $P_i$ имеет вид $\mathbb N \to \mathbb Z_2$, а потом используете запись $P(i, s)$, в которой во-первых нету $P_i$,

Да, $P_i$ при любом фиксированном $i$ это последовательность $\mathbb N \to \mathbb Z_2$. А насчет используемой записи, вроде точно также и у вас:

EminentVictorians в сообщении #1608586 писал(а):

Рассмотрим функцию $P: \mathbb N \to \mathbb Z_2$, $P(s) = p_s(s) + 1$

используется запись $P(s)$ в которой нету $P_s$, почему оно там должно быть?

EminentVictorians в сообщении #1608627 писал(а):

а во-вторых появилась какая-то новая никак не определенная функция $P$ с двумя аргументами.

Почему неопределенная? $P_i: \mathbb N \to \mathbb Z_2$, $P(i,s): \mathbb R \times \mathbb N \to \mathbb Z_2$, и по определению $P(i, s) = p_i(s) + 1$ т.е. функция $P(i, s)$ отличается на единицы от последовательности с индексом $i$ в $s$-том разряде. Все вроде как у вас, только оба индекса нужно явно выписывать до конца, поскольку они пробегают множеств разной мощности.

EminentVictorians в сообщении #1608627 писал(а):

В общем, в текущей редакции Ваше доказательство совсем никуда не годится - надо много всего исправлять.

Вы серьезно полагаете, что его можно "исправить"?

-- 10.09.2023, 02:13 --

epros в сообщении #1608605 писал(а):

Оракул - это общее понятие для функции, алгоритм вычисления которой нам неизвестен (даже если он вдруг есть). Оракулов может быть сколько угодно. Если Вы видите различие в том, что в одном месте шла речь о функции $\mathbb{N} \to \{0,1\}$ (определяет последовательность двоичных цифр), а в другом - о функции $\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \{0,1\}$ (определяет последовательность последовательностей двоичных цифр), то это - несущественная разница.

Нигде не было такого, что оракул навек пригвозден к единственной конкретной последовательностью $\mathbb{N} \to \{0,1\}$ (или единственную функцию $\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \{0,1\}$ что да, то же самое). Наоборот, говорилось что он будет выдавать по запросу любую цифру из любой последовательности.
По одному оракулу на каждую последовательность (т.е. необходимость веры в несчетном множестве оракулов) - это что то новое... : )