Что дала актуальная бесконечность математике?

[epros]

talash в сообщении #1608940 писал(а):

из отрезка мы получаем бесконечно малое - точку

В пределе получаем. Вы ведь, вроде, против пределов ничего не имели?

talash в сообщении #1608952 писал(а):

предполагается, что мы выполнили бесконечную, то есть, невыполнимую процедуру

Там нигде не сказано, что мы её должны "выполнить до конца". Важно только то, что последовательность определена, причём на это у нас ушло конечное количество букв.

talash в сообщении #1608952 писал(а):

Если взять десятичную дробь, где числа после запятой случайны, то какое в результате получится число?

Случайное? Во всяком случае, никакого конкретного числа написанное Вами сейчас не определяет.

[talash]

EminentVictorians в сообщении #1608962 писал(а):

talash в сообщении #1608952 писал(а):

В нём предполагается, что мы выполнили бесконечную, то есть, невыполнимую процедуру.

Я не вижу никакую процедуру. Я вижу отображение вида $F: \{x_1, x_2, ... \} \to \Delta_{[0, 1]}$, где $\Delta_{[0, 1]}$ - множество подотрезков отрезка $[0, 1]$. И если теперь ввести обозначение $\Delta_i := F(x_i)$, то окажется, что это отображение $F$ обладает тем свойством, что отрезок $\Delta_{i}$ не содержит никакую из точек $x_1, ... ,x_i$. Вместе с этим, отрезки $\Delta_i$ образуют систему вложенных отрезков, которая, как известно, обязана содержать общую для всех этих отрезков точку (которую там обозначают буквой $c$). Очевидно, что $c$ не может совпадать ни с одной из точек $x_1, x_2, ...$, т.к. если бы $c = x_s$ для некоторого $s \in \mathbb N$, то получилось бы, что $x_s \in \Delta_s$, а такого, как мы отметили двумя строчками выше, быть не может.

Ну или дайте определение того, что Вы называете "процедурой". И еще хотелось бы узнать, что такое "невыполнимая" процедура, и почему из бесконечности процедуры следует ее "невыполнимость".

Процедура это последовательность шагов, это общеупотребительный термин и не я его ввёл, а он используется в обсуждаемом доказательстве несчётности действительных чисел на отрезке.

Сможете разрешить такую проблему:
Множество всех вычислимых чисел счётно. Возьмём его счётное подмножество на отрезке $[0, 1]$ и обозначим полученные точки: $x_1, x_2, \; \ldots, \; x_n, \; \ldots \; .$. И далее как в обсуждаемом доказательства. Разделим отрезок $[0,1]$ на $3$ равные части: $[0, \frac {1}{3}]; [\frac {1}{3}; \frac {2}{3}]; [\frac {2}{3}; 1]$, и выберем тот из отрезков, который не содержит $x_1$ ни внутри, ни на границе. Только будем всегда выбирать самый левый подходящий отрезок. Обозначим его через $\Delta_1$, т.е. $x_1$ не принадлежит $\Delta_1$. $\Delta_1$ также поделим на $3$ равные части и выберем ту часть, которая не содержит $x_2$ ни внутри, ни на границе. Обозначим эту часть $\Delta_2$, т.е. $x_2$ не принадлежит $\Delta_ 2$, и $\Delta_2\subset \Delta _1$. Продолжая эту процедуру, мы получим последовательность вложенных друг в друга отрезков $\Delta_1\supset \Delta_2\supset \ldots\supset \Delta_{n-1}\supset \Delta_n\supset \ldots \; .$ Причем длины этих отрезков стремятся к нулю и $\forall n \; x_n\notin \Delta_n$. В силу принципа вложенных отрезков существует точка $c\in \Delta_n$ для $\forall n$, причем $c\ne x_n \; \forall n$. А следовательно, точка $c$ в исходном списке точек отрезка отсутствует, т.е. точка $c$ оказалась незанумерованной.

Заметим, что при повторении процедуры мы получим ту же самую точку, потому что подходящие отрезки выбирались не случайно, а всегда первый подходящий слева. В результате мы вычислили новую точку, то есть получили новое вычислимое число, которого не было в нашем множестве. Но наше множество содержало все вычислимые числа отрезка, а оказалось что не все. Получается противоречие?

-- 13.09.2023, 22:19 --

epros в сообщении #1608968 писал(а):

talash в сообщении #1608940 писал(а):

из отрезка мы получаем бесконечно малое - точку

В пределе получаем. Вы ведь, вроде, против пределов ничего не имели?

Если вычисление предела происходит за конечное количество шагов, то не имею. Например, пределы по Коши, там в доказательствах я не вижу бесконечных процедур.

epros в сообщении #1608968 писал(а):

Там нигде не сказано, что мы её должны "выполнить до конца". Важно только то, что последовательность определена, причём на это у нас ушло конечное количество букв.

В таком случае можете разрешить противоречие с образованием нового вычислимого числа, про которое я написал выше?

[EminentVictorians]

talash в сообщении #1609051 писал(а):

Процедура это последовательность шагов, это общеупотребительный термин и не я его ввёл, а он используется в обсуждаемом доказательстве несчётности действительных чисел на отрезке.

Так я к тому и веду, что в обсуждаемом доказательстве не надо привлекать никакие вещи, связанные с теорией вычислений, типа алгоритмов, процедур (которые, судя по всему, Вы используете как синонимом для алгоритмов), оракулов и т.п. Есть просто система вложенных отрезков. Это просто функция - чисто теоретико-множественный объект. И у этой системы отрезков есть общая точка. Она просто существует, а не "вычисляется" с помощью какой-то "процедуры".

talash в сообщении #1609051 писал(а):

Только будем всегда выбирать самый левый подходящий отрезок.

Это кстати вообще ни на что не влияет. В основном доказательстве главное брать тот, который не содержит рассматриваемую точку. Будь он хоть левый, хоть правый - неважно.

talash в сообщении #1609051 писал(а):

Сможете разрешить такую проблему:

Смогу. Для вычислимых чисел принцип вложенных отрезков не справедлив. Вот этот переход:

talash в сообщении #1609051 писал(а):

В силу принципа вложенных отрезков существует точка $c\in \Delta_n$ для $\forall n$

нельзя делать.

[epros]

talash в сообщении #1609051 писал(а):

Если вычисление предела происходит за конечное количество шагов, то не имею. Например, пределы по Коши, там в доказательствах я не вижу бесконечных процедур.

А какие же ещё? Когда Вы говорите, что последовательность отрезков "сходится в точку", то фактически утверждаете, что для сколь угодно малой длины существует такой номер шага последовательности, что... Какое бы малое расстояние мы ни брали, количество шагов последовательности будет конечным.

talash в сообщении #1609051 писал(а):

В таком случае можете разрешить противоречие с образованием нового вычислимого числа, про которое я написал выше?

Последовательность, нумерующая все вычислимые числа, в конструктивном смысле не существует. Т.е. нет такой формулы или алгоритма, которые бы её определяли. Так что то, что у Вас получится в результате, будет невычислимым числом. Обратите внимание, что сама по себе процедура выбора отрезков конструктивна, но чтобы узнать следующую точку последовательности вычислимых чисел Вам потребуется оракул.

[talash]

EminentVictorians в сообщении #1609056 писал(а):

Смогу. Для вычислимых чисел принцип вложенных отрезков не справедлив. Вот этот переход:

talash в сообщении #1609051 писал(а):

В силу принципа вложенных отрезков существует точка $c\in \Delta_n$ для $\forall n$

нельзя делать.

Почему нельзя? Это же обычный отрезок на который мы отображаем множество вычислимых чисел.

[EminentVictorians]

talash в сообщении #1609065 писал(а):

Почему нельзя? Это же обычный отрезок на который мы отображаем множество вычислимых чисел.

Вы хотите доказать несчетность множества вычислимых чисел на отрезке $[0, 1]$, верно? Т.е. у нас есть только вычислимые числа, так? И отрезки из системы вложенных отрезков имеют своими концами вычислимые числа. Так вот, если бы было $\mathbb R$, то Вы могли бы из наличия системы вложенных отрезков делать вывод, что у нее есть общая точка. Это называется принципом вложенных отрезков. Но у Вас же не $\mathbb R$, а другая система - система вычислимых чисел. Для нее принцип вложенных отрезков не справедлив. Это значит, что может найтись система вложенных отрезков, не имеющая общую точку.

Если же Вы рассматриваете вычислимые числа как подмножество $\mathbb R$, то тогда система вложенных отрезков будет обязана иметь общую вещественную точку $c$. Но Вам-то надо, чтобы $c$ была вычислимой (иначе не получится противоречия). Проблема в том, что $c$ не обязана быть вычислимой. И если реально перенумеровать вычислимые числа и сделать с ними эту "процедуру" с отрезками, то как раз вот эта общая вещественная точка $c$ окажется невычислимой.

И заметьте, я слово "процедуру" взял в кавычки, потому что если понимать процедуру как синоним слову алгоритм, то этот процесс поиска общей точки для системы вложенных отрезков, о котором шла речь в основном доказательстве, процедурой не является. Это вообще не алгоритм (т.к. алгоритм должен приходить к результату (в случае его существования) за конечное число шагов, а здесь не так). Я поэтому и хотел уточнить, что Вы понимаете под "процедурой". Но кстати, такие "бесконечные алгоритмы" тоже имеют право на существование, просто не надо их алгоритмами называть.

[talash]

epros в сообщении #1609064 писал(а):

talash в сообщении #1609051 писал(а):

Если вычисление предела происходит за конечное количество шагов, то не имею. Например, пределы по Коши, там в доказательствах я не вижу бесконечных процедур.

А какие же ещё? Когда Вы говорите, что последовательность отрезков "сходится в точку", то фактически утверждаете, что для сколь угодно малой длины существует такой номер шага последовательности, что... Какое бы малое расстояние мы ни брали, количество шагов последовательности будет конечным.

Мы же не просто сужаем отрезок с каждым шагом. Мы ещё перебираем множество действительных чисел и выбираем отрезок в зависимости от выбранного на данном шаге числа. Если рассмотреть всю эту процедуру, то она непохожа на предел, потому что мы не приближаемся к решению. В самом деле, конечное решение это существование точки, не принадлежащей нашему множеству. С каждым шагом отрезок, в котором нет точек из нашего множества становится всё меньше, а в нашем множестве ещё бесконечность чисел. На триллионном шаге отрезок совсем крохотный, а у нас в запасе в нашем множестве всё та же бесконечность чисел. И только добравшись до актуальной бесконечности вдруг оказывается, что числа в нашем множестве кончились, а отрезок превратился в точку, которой не было в нашем множестве.

epros в сообщении #1609064 писал(а):

talash в сообщении #1609051 писал(а):

В таком случае можете разрешить противоречие с образованием нового вычислимого числа, про которое я написал выше?

Последовательность, нумерующая все вычислимые числа, в конструктивном смысле не существует. Т.е. нет такой формулы или алгоритма, которые бы её определяли. Так что то, что у Вас получится в результате, будет невычислимым числом. Обратите внимание, что сама по себе процедура выбора отрезков конструктивна, но чтобы узнать следующую точку последовательности вычислимых чисел Вам потребуется оракул.

Здесь кажется стыкуется логика. И EminentVictorians похожее написал.

[epros]

talash в сообщении #1609208 писал(а):

Если рассмотреть всю эту процедуру, то она непохожа на предел, потому что мы не приближаемся к решению.

Есть численная мера - длина отрезка. Предел этой меры равен нулю. Остальное - лирика.

talash в сообщении #1609208 писал(а):

В самом деле, конечное решение это существование точки, не принадлежащей нашему множеству. С каждым шагом отрезок, в котором нет точек из нашего множества становится всё меньше, а в нашем множестве ещё бесконечность чисел. На триллионном шаге отрезок совсем крохотный, а у нас в запасе в нашем множестве всё та же бесконечность чисел. И только добравшись до актуальной бесконечности вдруг оказывается, что числа в нашем множестве кончились, а отрезок превратился в точку, которой не было в нашем множестве.

Вся эта философия, конечно, забавна, но математический факт заключается в том, что предельным случаем является отрезок нулевой длины, т.е. точка. И то, что она не совпадает ни с одной точкой последовательности, проверено.

-- Пт сен 15, 2023 09:29:23 --

Вот видите, talash, какое интересное понятие предела придумал Коши: Предельный случай отличается от любого непредельного. Последовательность рациональных чисел, сходящаяся к $\pi$, имеет предельным случаем число, не являющееся рациональным, хотя все непредельные случаи - рациональные числа. И наша последовательность отрезков имеет предельным случаем отрезок нулевой длины, содержащий только одну точку, хотя каждый непредельные случай - отрезок ненулевой длины, содержащий бесконечно много точек.

[talash]

epros в сообщении #1609219 писал(а):

talash в сообщении #1609208 писал(а):

Если рассмотреть всю эту процедуру, то она непохожа на предел, потому что мы не приближаемся к решению.

Есть численная мера - длина отрезка. Предел этой меры равен нулю. Остальное - лирика.

То есть, по-Вашему получается, что лирика в том числе и утверждение что "точка $c$ в исходном списке точек отрезка отсутствует, т.е. точка $c$ оказалась незанумерованной.". Согласен с Вами, похоже в этой теореме верно только то, что из сужающихся отрезков в пределе получается точка.

epros в сообщении #1609219 писал(а):

Вся эта философия, конечно, забавна, но математический факт заключается в том, что предельным случаем является отрезок нулевой длины, т.е. точка. И то, что она не совпадает ни с одной точкой последовательности, проверено.

Что значит проверено? Наверное это должно быть доказано математически?. В каждом шаге доказательства мы берём очередную точку из списка
$[0,1]$ $x_1, x_2, \; \ldots, \; x_n, \; \ldots \; .$
Это наверное можно представить в виде функции, но она в пределе не сходится. Или как это действие описать формально математически? Определения, что происходит с этой функцией при предельном переходе отсутствует. Значит, доказательство некорректно.

epros в сообщении #1609219 писал(а):

Вот видите, talash, какое интересное понятие предела придумал Коши: Предельный случай отличается от любого непредельного. Последовательность рациональных чисел, сходящаяся к $\pi$, имеет предельным случаем число, не являющееся рациональным, хотя все непредельные случаи - рациональные числа. И наша последовательность отрезков имеет предельным случаем отрезок нулевой длины, содержащий только одну точку, хотя каждый непредельные случай - отрезок ненулевой длины, содержащий бесконечно много точек.

Совершенно верно. Аналогично. То что на каждом шаге можно найти отрезок не содержащий ни одну точку списка, не означает, что в пределе будет то же самое.

[epros]

talash в сообщении #1609534 писал(а):

В каждом шаге доказательства мы берём очередную точку из списка
$[0,1]$ $x_1, x_2, \; \ldots, \; x_n, \; \ldots \; .$
Это наверное можно представить в виде функции, но она в пределе не сходится.

А разве должна?

talash в сообщении #1609534 писал(а):

Или как это действие описать формально математически?

Выше всё было описано.

talash в сообщении #1609534 писал(а):

Определения, что происходит с этой функцией при предельном переходе отсутствует.

Нет никакого предельного перехода "этой функции". Есть предел длин отрезков, равный нулю.

talash в сообщении #1609534 писал(а):

То что на каждом шаге можно найти отрезок не содержащий ни одну точку списка, не означает, что в пределе будет то же самое.

Именно это и означает.

[talash]

Не согласен с epros и остаюсь при своём мнении.
Напомню, речь шла про эту теорему:

Vladimir Pliassov в сообщении #1608035 писал(а):

Цитата:

1. Несчетность множества точек отрезка $[ 0,1 ]$
Множество $A$ называется несчетным, если оно неэквивалентно множеству натуральных чисел.

Теорема Кантора ... : Множество точек отрезка $[0,1]$ несчетно.

↓Предположим, что множество точек $[0,1]$ счетно: $x_1, x_2, \; \ldots, \; x_n, \; \ldots \; .$ Разделим отрезок $[0,1]$ на $3$ равные части: $[0, \frac {1}{3}]; [\frac {1}{3}; \frac {2}{3}]; [\frac {2}{3}; 1]$, и выберем тот из отрезков, который не содержит $x_1$ ни внутри, ни на границе. Обозначим его через $\Delta_1$, т.е. $x_1$ не принадлежит $\Delta_1$. $\Delta_1$ также поделим на $3$ равные части и выберем ту часть, которая не содержит $x_2$ ни внутри, ни на границе. Обозначим эту часть $\Delta_2$, т.е. $x_2$ не принадлежит $\Delta_ 2$, и $\Delta_2\subset \Delta _1$. Продолжая эту процедуру, мы получим последовательность вложенных друг в друга отрезков $\Delta_1\supset \Delta_2\supset \ldots\supset \Delta_{n-1}\supset \Delta_n\supset \ldots \; .$ Причем длины этих отрезков стремятся к нулю и $\forall n \; x_n\notin \Delta_n$. В силу принципа вложенных отрезков существует точка $c\in \Delta_n$ для $\forall n$, причем $c\ne x_n \; \forall n$. А следовательно, точка $c$ в исходном списке точек отрезка отсутствует, т.е. точка $c$ оказалась незанумерованной. Это противоречие доказывает теорему. ↑

Вот конкретно, где я вижу ошибку в этом доказательстве. Здесь есть аргумент n, стремящийся к бесконечности, и два шага процедуры:
1. Выбор точки из множества в зависимости от аргумента n.
2. Построение системы вложенных отрезков в зависимости от выбранной точки.
Здесь делается предельный переход и по принципу вложенных отрезков в пункте 2 получается некоторая точка. Но в определении предельного перехода сказано, что аргумент n стремится к некоторому значению и не сказано, что он его достигнет. А если n не достиг в нашем случае бесконечности, то и п.1 оказывается незавершённым. Следовательно, вывод:

Цитата:

А следовательно, точка $c$ в исходном списке точек отрезка отсутствует

неверный, так как мы не обошли весь исходный список точек.

[mihaild]

talash в сообщении #1612374 писал(а):

Но в определении предельного перехода сказано, что аргумент n стремится к некоторому значению и не сказано, что он его достигнет

В определении предельного перехода вообще нет никаких стремлений и достижений, это же не спорт.
Более формально рассуждение выше выглядит так (это то же самое рассуждение, просто жаргон заменен на более строгие формулировки): пусть $\bar x$ - последовательность вещественных чисел. Существует последовательность отрезков $\bar \Delta$, такая что нужные свойства выполнены. По принципу вложенных отрезков, у всех отрезков $\bar \Delta$ есть общая точка $y$. По нужным свойствам оказывается, что $y$ не входит в $\bar x$.
Любая "динамика", "добавление точек" и т.д. формализуются как существование функции из какого-то множества, "нумерующего шаги" (как правило $\mathbb N$) в нужные объекты.

[epros]

talash в сообщении #1612374 писал(а):

Следовательно, вывод:

Цитата:

А следовательно, точка $c$ в исходном списке точек отрезка отсутствует

неверный, так как мы не обошли весь исходный список точек.

Глупо спорить с логикой. Утверждение ведь очень простое: Какую бы точку последовательности мы ни выбрали, она не совпадёт с точкой $c$. Это в точности то же самое, что Вы процитировали выше, и рассуждения про "обойти весь список" никак не могут его опровергнуть.

[talash]

epros в сообщении #1612390 писал(а):

Глупо спорить с логикой. Утверждение ведь очень простое: Какую бы точку последовательности мы ни выбрали, она не совпадёт с точкой $c$. Это в точности то же самое, что Вы процитировали выше, и рассуждения про "обойти весь список" никак не могут его опровергнуть.

Вы повторяете, что уже писали. Давайте ещё проще, не будем ничего домысливать.

talash в сообщении #1612374 писал(а):

Вот конкретно, где я вижу ошибку в этом доказательстве. Здесь есть аргумент n, стремящийся к бесконечности, и два шага процедуры:
1. Выбор точки из множества в зависимости от аргумента n.
2. Построение системы вложенных отрезков в зависимости от выбранной точки.

Функция в п.1. возвращает точку в зависимости от аргумента n. Предельный переход для этой функции неопределён. Следовательно, предельный переход также неопределён для построения из п.2, так как оно зависит от п.1.

mihaild в сообщении #1612378 писал(а):

В определении предельного перехода вообще нет никаких стремлений и достижений, это же не спорт.

Учёл замечание выше.

mihaild в сообщении #1612378 писал(а):

Более формально рассуждение выше выглядит так (это то же самое рассуждение, просто жаргон заменен на более строгие формулировки): пусть $\bar x$ - последовательность вещественных чисел. Существует последовательность отрезков $\bar \Delta$, такая что нужные свойства выполнены. По принципу вложенных отрезков, у всех отрезков $\bar \Delta$ есть общая точка $y$. По нужным свойствам оказывается, что $y$ не входит в $\bar x$.
Любая "динамика", "добавление точек" и т.д. формализуются как существование функции из какого-то множества, "нумерующего шаги" (как правило $\mathbb N$) в нужные объекты.

А здесь $\bar x$ бесконечная последовательность? И тоже есть предельный переход? Тогда всё то же самое и те же возражения, что предельный переход неопределён.

-- 05.10.2023, 08:19 --

Сейчас удобно проверять свою логику с помощью AI. Проверил на всякий случай.

Предельный переход можно выполнять, если доказано, что у функции существует предел, иначе эта операция неопределена, прав ли я?

BingAI:
Да, вы правы. Предельный переход - это операция, которую можно выполнить только в том случае, если у функции существует предел. Если предел функции не существует или неизвестен, то предельный переход будет неопределенным. Это ключевой аспект в математическом анализе и теории пределов. Однако стоит отметить, что существуют и другие условия, которые должны быть выполнены для корректного применения предельного перехода. Например, порядок выполнения операций может быть важен, и иногда предельный переход может быть выполнен только после выполнения других операций. Это известно как “правило обмена пределами”.

[epros]

talash в сообщении #1612510 писал(а):

Следовательно, предельный переход также неопределён для построения из п.2, так как оно зависит от п.1.

Не следовательно.

-- Чт окт 05, 2023 10:35:54 --

talash в сообщении #1612510 писал(а):

epros в сообщении #1612390 писал(а):

Какую бы точку последовательности мы ни выбрали, она не совпадёт с точкой $c$.

Вы повторяете, что уже писали.

Это более понятная переформулировка того, что Вы попытались привести в такой формулировке, чтобы легче было запутаться. Просто прочитайте против чего Вы возражаете. Вы действительно пытаетесь утверждать, что существует такая точка последовательности, которая совпадает с $c$?