Что дала актуальная бесконечность математике?

[talash]

В продолжение этой темы. Краткая суть. Там thepooh пытался доказать противоречивость теории множеств. Если есть бесконечное множество натуральных чисел, то значит должны быть натуральные числа с бесконечным количеством цифр и к ним можно применить диагональный аргумент Кантора и доказать их несчётность. Это дело бесперспективное, потому что математики всегда могут решить любые противоречия в своих теориях, потому что могут менять аксиомы по своему усмотрению. Я пытался направить тему в рациональное русло, обсудить не противоречивость, а интуитивную непонятность понятия "актуальная бесконечность".

Пример непонятности. Запишем множество всех натуральных чисел и выберем из него случайное число. Сколько в нём будет цифр в среднем? Интуитивно непонятно. Мы, люди, физически не можем производить бесконечные операции, поэтому актуальную бесконечность записать не можем. Если запретить эти ловкие записи актуальной бесконечности с помощью троеточия и других приёмов, то как от этого пострадает математика? Пользу актуальной бесконечности должны были доказывать специалисты своим оппонентам. Насколько я знаю, так и не доказали, смотри книгу Пуанкаре "О науке", там много про это. Но может я ошибаюсь и консенсус таки был достигнут?

Другой пример непонятности. Как известно актуальная бесконечность прокралась в десятичные дроби:
$0.(3) = \frac{1}{3}$; $0.(6) = \frac{2}{3}$
Ловко сложим две вышеуказанные актуальные бесконечности и получим известную неоднозначность представления числа 1:
$0.(9) = 1

Зачем нужна эта неоднозначность, если от неё легко избавиться? Считаем, что запись 0.(3) означает, что мы можем вписать любое количество троек после запятой, при этом всегда:
$0.(3) < \frac{1}{3}$
И только если совершить предельный переход, то получим $\frac{1}{3}$. Тут нигде не используется актуальная бесконечность, так как предельный переход выполняется за конечное количество действий и складывает потенциально бесконечное количество слагаемых.
Прибавляем $0.(6) < \frac{2}{3}$ получаем:
$0.(9) < 1$
Неоднозначности нет.

[Dedekind]

Если

talash в сообщении #1607891 писал(а):

$0.(9) < 1$

то можно указать число, которое равно разности $1-0.(9)$. Какое оно?

[talash]

Dedekind в сообщении #1607892 писал(а):

Если

talash в сообщении #1607891 писал(а):

$0.(9) < 1$

то можно указать число, которое равно разности $1-0.(9)$. Какое оно?

Зависит от выбранного n.
$0.(9) = \sum\limits_{1}^{n} \frac{9}{10^n}$

[Anton_Peplov]

talash в сообщении #1607894 писал(а):

$0.(9) = \sum\limits_{1}^{n} \frac{9}{10^n}$

Нет. Ну или Вы переопределяете общепринятое обозначение, что ведет к недопониманиям.

[talash]

Anton_Peplov в сообщении #1607895 писал(а):

talash в сообщении #1607894 писал(а):

$0.(9) = \sum\limits_{1}^{n} \frac{9}{10^n}$

Нет. Ну или Вы переопределяете общепринятое обозначение, что ведет к недопониманиям.

Да, переопределяю:

talash в сообщении #1607891 писал(а):

Зачем нужна эта неоднозначность, если от неё легко избавиться? Считаем, что запись 0.(3) означает, что мы можем вписать любое количество троек после запятой, при этом всегда:
$0.(3) < \frac{1}{3}$

[Mikhail_K]

talash
Потому что с бесконечностью проще. Вот в Ваших обозначениях даже запись $0.(3)$ означает не что-то точно определённое, а зависящее от $n$. Это создаёт сложности и путаницу при построении разных полезных теорий.

talash в сообщении #1607891 писал(а):

Это дело бесперспективное, потому что математики всегда могут решить любые противоречия в своих теориях, потому что могут менять аксиомы по своему усмотрению.

Здесь надо сказать, что в современных математических теориях не видно никаких противоречий, и никакие аксиомы менять не требуется.

talash в сообщении #1607891 писал(а):

Запишем множество всех натуральных чисел и выберем из него случайное число. Сколько в нём будет цифр в среднем? Интуитивно непонятно.

Нельзя выбрать из множества натуральных чисел случайное число. Нет такой операции.

talash в сообщении #1607891 писал(а):

Пользу актуальной бесконечности должны были доказывать специалисты своим оппонентам.

Когда-то были дискуссии, сейчас в полезности понятия бесконечности никто не сомневается. Просто потому, что практически все математические теории бесконечность используют, а попытки переформулировать их без использования бесконечности - сразу всё сильно усложняют и запутывают, и всё равно ничего не получается. Пробовали, ничего хорошего не получилось.

talash в сообщении #1607891 писал(а):

Ловко сложим две вышеуказанные актуальные бесконечности и получим известную неоднозначность представления числа 1:
$0.(9) = 1

Зачем нужна эта неоднозначность, если от неё легко избавиться? Считаем, что запись 0.(3) означает, что мы можем вписать любое количество троек после запятой, при этом всегда:
$0.(3) < \frac{1}{3}$

А у Вас запись $0.(3)$ неоднозначна. Ну и кроме того, неоднозначность записи некоторых вещественных чисел никому не мешает, так что незачем от неё избавляться.

[sergey zhukov]

talash
Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии ряда с начальным членом $0,9$ и знаменателем $0,1$ дает:

$$\frac{0,9}{1-0,1}=1$$

Никаких больше-меньше. Да, в записи в виде десятичных дробей есть два способа записи одного и того же числа. Ничего тут удивительного нет.
Особенно это очевидно, если взять единицу, отрезать от нее $90$%. От оставшейся части отрезать еще $90$% и т.д. до бесконечности. Совершенно ясно, что единица так и останется единицей, и в то же время - суммой всех этих частей.

Польза же от бесконечности огромная. Это легко понять, если посмотреть, сколько раз используется значок $\infty$ практически в любом математическом тексте.

[Dedekind]

talash в сообщении #1607894 писал(а):

Зависит от выбранного n.
$0.(9) = \sum\limits_{1}^{n} \frac{9}{10^n}$

Неправильное определение, потому что теряется однозначность. Глядя на символ $0.(9)$ в вашем определении нельзя однозначно сказать, сколько цифр там было взято. Что мешает использовать другой знак, например, $0.9_n$? Скобки же используются для обозначения периода, то есть, бесконечного, не зависящего от $n$, количества цифр.

[mihaild]

talash в сообщении #1607891 писал(а):

Если запретить эти ловкие записи актуальной бесконечности с помощью троеточия и других приёмов, то как от этого пострадает математика?

Ну станет неудобно писать, но и все. На самом деле "записи с троеточиями" нужны просто для наглядности, а формализуются они как обычно через кванторы.

talash в сообщении #1607891 писал(а):

Насколько я знаю, так и не доказали, смотри книгу Пуанкаре "О науке", там много про это. Но может я ошибаюсь и консенсус таки был достигнут?

Не совсем консенсус - есть отдельные странные ветви математики. Собственно со времён Пуанкаре в том числе поняли, что есть разные подходы к основаниям, и нельзя априори сказать что какой-то один из них лучше.
Но на практике, в том числе и для околоприкладных результатов, оказался наиболее удобен именно начатый Кантором подход.

[epros]

talash в сообщении #1607891 писал(а):

Я пытался направить тему в рациональное русло, обсудить не противоречивость, а интуитивную непонятность понятия "актуальная бесконечность".

Значит потенциальная бесконечность Вас устраивает? Правильно ли я понимаю, что утверждение: "Нет максимального натурального числа" (про потенциальную бесконечность), - Вам интуитивно понятно, а непонятно утверждение: "Все натуральные числа можно собрать в множество" (про актуальную бесконечность)?

talash в сообщении #1607891 писал(а):

Пример непонятности. Запишем множество всех натуральных чисел и выберем из него случайное число.

Пример непонятности непонятен, ибо неизвестна процедура выбора "случайного числа". Вообще, понятие случайного числа предполагает наличие распределения. Каково же оно?

talash в сообщении #1607891 писал(а):

Считаем, что запись 0.(3) означает, что мы можем вписать любое количество троек после запятой, при этом всегда:
$0.(3) < \frac{1}{3}$

Чем Вам не угодили сходящиеся ряды, типичным примером коих является запись $0.(3)$? Если там и есть какая-то бесконечность, то сугубо потенциальная, ибо речь идёт всего лишь об определении предела последовательности, каковой в формулировке Коши никаких слов про "бесконечности" не содержит. Но нелимитированные кванторы там есть, это да.

[talash]

Mikhail_K в сообщении #1607897 писал(а):

talash в сообщении #1607891 писал(а):

Запишем множество всех натуральных чисел и выберем из него случайное число. Сколько в нём будет цифр в среднем? Интуитивно непонятно.

Нельзя выбрать из множества натуральных чисел случайное число. Нет такой операции.

Ок. Записать бесконечное количество элементов можно, а выбрать из этой записи случайный элемент нельзя. А что можно делать с этой записью и на каких основаниях придумываются допустимые действия? Моя интуиция здесь не работает, потому что я не могу записать бесконечное количество элементов.

Mikhail_K в сообщении #1607897 писал(а):

talash в сообщении #1607891 писал(а):

Пользу актуальной бесконечности должны были доказывать специалисты своим оппонентам.

Когда-то были дискуссии, сейчас в полезности понятия бесконечности никто не сомневается. Просто потому, что практически все математические теории бесконечность используют, а попытки переформулировать их без использования бесконечности - сразу всё сильно усложняют и запутывают, и всё равно ничего не получается. Пробовали, ничего хорошего не получилось.

То есть, удалось убедить оппонентов? Значит должны быть какие-то примеры дискуссий, где показывается какую практическую пользу принесло введение в математику актуальной бесконечности?

-- 04.09.2023, 22:47 --

sergey zhukov, epros, против пределов ничего не имею, потому что они относятся к потенциальной бесконечности.

Можно определить так и это тоже будет без актуальной бесконечности:
$0.(9) = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{1}^{n} \frac{9}{10^n}$

В вики же сначала вводится актуальная бесконечность, потом даются нестрогие доказательства, что $0.(9) = 1$. Потом предлагается считать сумму актуальной бесконечности через предел:

Цитата:

Число, которое обозначается записью
0,(9), есть по определению сумма бесконечного числа слагаемых, представленных выше. Стоит понимать, что 0,(9) есть всего лишь формальная запись для результата вышеприведённой суммы, не обязанная удовлетворять каким-то свойствам, кроме равенства той сумме. Чему эта сумма окажется равна, тому и будет равно это число, вне зависимости от интуитивности этого или соответствия нашим ожиданиям.

Результат суммирования бесконечного числа слагаемых в математическом анализе определяется при помощи понятия предела. Свойства бесконечных сумм во многом отличаются от свойств конечных и требуют особой осторожности при их применении.

Зачем это всё, если можно определить сразу через предел, как я написал выше, вовсе не вводя актуальную бесконечность?

-- 04.09.2023, 23:03 --

epros в сообщении #1607923 писал(а):

Значит потенциальная бесконечность Вас устраивает? Правильно ли я понимаю, что утверждение: "Нет максимального натурального числа" (про потенциальную бесконечность), - Вам интуитивно понятно, а непонятно утверждение: "Все натуральные числа можно собрать в множество" (про актуальную бесконечность)?

Да, множество натуральных чисел это совокупность всех натуральных чисел. Здесь лингвистически получается актуальная бесконечность. Мне интуитивно непонятно как можно, например, записать бесконечное множество и почему эта операция разрешена. Что потеряет математика, если эту операцию и всё что с ней связано запретить? И вообще если далее убрать множества, вместо n принадлежит множеству N можно говорить n является N(каким-либо натуральным числом). Знак придумать короткий, аналогично, только без актуальных бесконечностей, которые появляются сразу с определения понятия множество.

[bot]

talash в сообщении #1607988 писал(а):

И вообще если далее убрать множества, вместо n принадлежит множеству N можно говорить n является N(каким-либо натуральным числом).

Что в лоб, что по лбу. А как Вы опишите свойство быть натуральным числом?

Цитата:

против пределов ничего не имею, потому что они относятся к потенциальной бесконечности

А где грань между потенциальной и актуальной бесконечностями. Почему нельзя воспринимать запись $0,(9)$ без какой-либо привязанности к той или иной бесконечности? Главное ведь, что с этой записью можно делать и как она соотносится с другими записями, а её интерпретация - дело десятое.

[sergey zhukov]

talash в сообщении #1607988 писал(а):

Что потеряет математика, если эту операцию и всё что с ней связано запретить?

Можно еще "актуальный" ноль запретить. Вот уж точно математика ничего не потеряет, если из нее ноль выкинуть. Сасскинд даже сказал, что в математике и знак равенства лишний. Т.к. любое уравнение всегда можно привести к виду $...=0$, то правую часть $=0$ можно просто не писать. Я уже не говорю о мнимых числах. Вот что стоит запретить исходя просто даже из их названия. Мне мнимые числа кажутся даже более подозрительными, чем бесконечность - к ним и при помощи предела не подобраться. Нет даже "потенциальных" мнимых чисел. Сразу акутуальные.

Как можно запретить бесконечность, если в математике нет предела делимости? Объекты с самого начала состоят из бесконечного числа частей.

Я так думаю, нет смысла эту тему развивать. Бесконечность - это не так просто. Там много чего непонятного нам с вами. Если все нам непонятное запрещать, то и от математики ничего не останется. Объекты нужно не запрещать, а учиться с ними работать.

[miflin]

(Оффтоп)

sergey zhukov в сообщении #1607995 писал(а):

Т.к. любое уравнение всегда можно привести к виду $...=0$, то правую часть $=0$ можно просто не писать.

Наш преподаватель по матану говорил, что Пушкин якобы удивлялся: какой смысл что-то обсуждать, если оно равно нулю?
Так что всё верно, выражение $=0$ нужно удалять из математики.

[manul91]

bot в сообщении #1607994 писал(а):

А как Вы опишите свойство быть натуральным числом?

Примерно, также как "описываем свойство" "быть или не быть своим собственным подмножеством"?

Как-то странно рассуждать про абстракций, которые мы сами и придумали - как о неких реальных неизвестных объектов, которые подвергаем испытаниями чтобы узнать являются ли они "натуральными числами" или нет.
Имхо лучше считать что они являются натуральными числами - просто по определению, а не потому что соответствуют какими-то проверяемыми "свойствами" (да и все свойства натуральных чисел, вроде итак никогда не могут быть известными, из-за неполноты).

Кажется единственная разумная "проверка на натуральность" для какого-то абстрактного объекта ("пока не-полностью известного", но все-таки соответствующего какими-то опять нами же придуманными другими "исходными правилами" - чтобы его хоть-каким-то образом фиксировать) - это явным образом показать что из его исходного определения следует, что его "можно вписать" в цепочек символов, формально соответствующих аксиом пеано (с соответных правил вывода, индукции и т.д.)

Но даже и так - мы только покажем, что какое-то натуральное число пригодится на роль нашего объекта - но ведь еще возможно, что "сам он" может быть и чем-то другим?

Теперь нужно еще и показать, что наш объект ничто другое кроме натурального числа быть не может - т.е. что бы мы там другое не "подставили" в его "исходное определение" - то оно никак не может выполнять аксиоматики пеано. А с этом доказательстве "ничего-друговости" в общем случае, похоже не так все просто