Что дала актуальная бесконечность математике?

[manul91]

epros в сообщении #1608185 писал(а):

До доказательства теоремы он и не знает, сколько существует последовательностей и имеет право предположить, что есть оракул, перечисляющий их всех.

"До доказательства теоремы" математику не трудно сообразить, что существуют два варианта:

- Множество всех последовательностей не более чем счетно. Тогда такой "навороченный" оракул не нужен. Речь ведь шла про оракуле который по запросу умеет отвечать про цифр любых бесконечных последовательностей - вычислимых или нет, описываемых конечными формулами или нет и пр. Все что оракул эвентуально может помочь, это чтобы если математик начал с каком-то счетном подмножестве последовательностей (например вычислимых) - это несколько "увеличить" начальное множество последовательностей (например, добавить какой-то класс невычислимых - для которых однако, по-прежнему должны существовать конечные описания чтоб математик мог спросить о них). Какими бы экзотическими последовательностями не пополнялся список - он будет оставаться счетным (по протоколу общения, подразумевающего что каждый вопрос математика к оракулу - конечен).
Так как навороченное сферическое свойство в вакууме оракула "уметь отвечать для последовательностей, которых нельзя описать конечным образом" - останется неиспользуемым.

- Множество всех последовательностей несчетно. Тогда оракул данного типа ("по запросу выдающий конкретную цифру для запрашиваемой конкретной последовательности") - опять бесполезен, по вышеуказанных причин (математик понимает, что каждый запрос к оракулу должен быть конечен - т.е. к-во возможных запросов не более чем счетно).

Т.е. по любому такой оракул, как и вера в нем выходят ненужными.

[talash]

Как сочетаются фразы?

epros в сообщении #1607999 писал(а):

Вообще-то записать нельзя, чернил не хватит.

epros в сообщении #1608040 писал(а):

Скажу даже больше: Уже в той же теореме Кантора о несчётности предполагается, что выписаны любые последовательности цифр

Записать актуальную бесконечность объектов нельзя, выписать можно? )
Вот в параллельной теме как раз обсуждают. Актуальная бесконечность точек из отрезка $[0,1]$ ловко выписана с помощью многоточия:

Vladimir Pliassov в сообщении #1608035 писал(а):

Цитата:

1. Несчетность множества точек отрезка $[ 0,1 ]$
Множество $A$ называется несчетным, если оно неэквивалентно множеству натуральных чисел.

Теорема Кантора ... : Множество точек отрезка $[0,1]$ несчетно.

Предположим, что множество точек $[0,1]$ счетно: $x_1, x_2, \; \ldots, \; x_n, \; \ldots \; .$

epros в сообщении #1608114 писал(а):

Далось же Вам это многоточие. Нет никакого правила по его использованию. Многоточие обычно ставят там, где продолжение ряда очевидно. И уж точно его некорректно использовать для записи иррациональных чисел, ибо запись из нескольких цифр со следующим за ними многоточием никакого числа не определяет.

Многоточие используют для записи иррациональных чисел, например, здесь https://studfile.net/preview/1587940/page:19/

Цитата:

Пусть $a_0, a_1, a_2, \ldots$ – произвольный список действительных чисел из отрезка $[0;1]$. Покажем, что на отрезке $[0;1]$ найдется число, не попавшее в этот список. Рассмотрим список чисел $a_0, a_1, a_2, …$ вместе с их десятичными представлениями:

$a_0 = 0,a_{00}a_{01}a_{02}a_{03}\ldots;$

epros в сообщении #1608114 писал(а):

По какому именно вопросу? Использования аксиомы бесконечности в теории множеств? Или использования многоточия в записях? Или о чём?

Смотрите заглавный пост.

[epros]

talash в сообщении #1608218 писал(а):

Записать актуальную бесконечность объектов нельзя, выписать можно? )

Нельзя реально выписать. Но можно вообразить, что есть оракул, внутри которого она как бы выписана.

talash в сообщении #1608218 писал(а):

Вот в параллельной теме как раз обсуждают. Актуальная бесконечность точек из отрезка $[0,1]$ ловко выписана с помощью многоточия:

Vladimir Pliassov в сообщении #1608035 писал(а):

Цитата:

1. Несчетность множества точек отрезка $[ 0,1 ]$
Множество $A$ называется несчетным, если оно неэквивалентно множеству натуральных чисел.

Теорема Кантора ... : Множество точек отрезка $[0,1]$ несчетно.

Предположим, что множество точек $[0,1]$ счетно: $x_1, x_2, \; \ldots, \; x_n, \; \ldots \; .$

Опять же, ничего здесь не выписано. Просто предположили, что есть нечто (оракул), которое по предъявлении номера последовательности выдаёт "точку".

talash в сообщении #1608218 писал(а):

Многоточие используют для записи иррациональных чисел, например, здесь https://studfile.net/preview/1587940/page:19/

Цитата:

Пусть $a_0, a_1, a_2, \ldots$ – произвольный список действительных чисел из отрезка $[0;1]$. Покажем, что на отрезке $[0;1]$ найдется число, не попавшее в этот список. Рассмотрим список чисел $a_0, a_1, a_2, …$ вместе с их десятичными представлениями:

$a_0 = 0,a_{00}a_{01}a_{02}a_{03}\ldots;$

И опять же, просто предположили, что есть нечто (оракул), которое при предъявлении пары натуральных чисел выдаёт соответствующую цифру соответствующей последовательности.

Я не понимаю, что Вас так мучит? Реально никто ничего бесконечного нигде никогда не выписывал. Но никто не может помешать вообразить, построить в своих фантазиях некий оракул. Он тоже ничего не выписывает, но может дать ответ на любой вопрос правильного формата.

talash в сообщении #1608218 писал(а):

epros в сообщении #1608114 писал(а):

По какому именно вопросу? Использования аксиомы бесконечности в теории множеств? Или использования многоточия в записях? Или о чём?

Смотрите заглавный пост.

Попробуйте всё же конкретно ответить, ибо в стартовом посте ответа нет, там Вы только жалуетесь на интуитивную непонятность какой-то "актуальной бесконечности". Что конкретно Вас не устраивает, так и неясно.

-- Чт сен 07, 2023 10:34:47 --

manul91 в сообщении #1608212 писал(а):

Все что оракул эвентуально может помочь, это чтобы если математик начал с каком-то счетном подмножестве последовательностей (например вычислимых) - это несколько "увеличить" начальное множество последовательностей (например, добавить какой-то класс невычислимых - для которых однако, по-прежнему должны существовать конечные описания чтоб математик мог спросить о них).

Не понимаю о чём Вы. Что значит "должны существовать конечные описания"? Нигде в условиях не сказано, что последовательности цифр должны иметь конечные описания. Оракул не имеет никакого описания, он просто даёт ответ на вопрос о том, какова $j$-тая цифра $i$-той последовательности. С какой стати отсутствие описания того, как работает оракул, помешает нам задать ему вопрос?

manul91 в сообщении #1608212 писал(а):

Так как навороченное сферическое свойство в вакууме оракула "уметь отвечать для последовательностей, которых нельзя описать конечным образом" - останется неиспользуемым.

С чего бы это? Мы просто знаем, что последовательность цифр может быть любой. Нас совершенно не должно волновать, можно ли её как-то описать. Повторяю, что сам оракул - не описание, ибо неизвестно, каким именно образом он вычисляет ответ.

[talash]

epros, я понял идею про оракула. Обдумываю.

[manul91]

epros в сообщении #1608254 писал(а):

Оракул не имеет никакого описания, он просто даёт ответ на вопрос о том, какова $j$-тая цифра $i$-той последовательности. С какой стати отсутствие описания того, как работает оракул, помешает нам задать ему вопрос?

Если работа вашего оракула всегда изначально подразумевалась на счетном множестве (счетной бесконечности нумеруемых последовательностей, каждая из которой состоит из счетной бесконечности нумеруемых цифр).

То тогда я вас не понимаю - зачем вообще нужен математику такой оракул (и "вера" в нем)?

Если чтобы просто заменить "актуальную" бесконечность ("наличие" всех выписанных последовательностей со всеми цифрами сразу) на "потенциальную" (возможность ответить вопросу о том вопрос о том, какова $j$-тая цифра $i$-той последовательности) - то математик может и сам считать что эти счетные последовательности "являются потенциальными" - безо всякого оракула. Что помешает математику самому назвать $j$-той цифры $i$-той последовательности?
Чтобы просто считать, что сам натуральный ряд существует - т.е. можно назвать $i$-тое натуральное число (та же счетная бесконечность) - математику тоже нужен оракул?

Так зачем оракул?

epros в сообщении #1608254 писал(а):

Оракул не имеет никакого описания, он просто даёт ответ на вопрос о том, какова $j$-тая цифра $i$-той последовательности. С какой стати отсутствие описания того, как работает оракул, помешает нам задать ему вопрос?

epros в сообщении #1608254 писал(а):

что сам оракул - не описание, ибо неизвестно, каким именно образом он вычисляет ответ.

Я нигде не говорил про необходимости или нет, наличия или отсутствия какого-то описания ни самого оракула, ни математика (как они работают, вычисляют и т.д.)
Я говорил, что математик должен знать, что он не может специфицировать несчетное количество последовательностей в своих вопросах к оракулу (по факту что любой запрос должен быть конечным).

[dgwuqtj]

manul91 в сообщении #1608414 писал(а):

Так зачем оракул?

Пусть нам захочется рассмотреть число в двоичной системе счисления, у которого $i$-я цифра после запятой равна 1 тогда и только тогда, когда $i$-е арифметическое высказывание истинно. Мы же можем явно пронумеровать все арифметические формулы без свободных переменных. Тогда математик это число посчитать не сможет, там где-то в начале надо будет доказать/опровергнуть все текущие нерешённые задачи. Вот и приходится верить, что цифры существуют сами по себе.

[manul91]

dgwuqtj в сообщении #1608433 писал(а):

manul91 в сообщении #1608414 писал(а):

Так зачем оракул?

Пусть нам захочется рассмотреть число в двоичной системе счисления, у которого $i$-я цифра после запятой равна 1 тогда и только тогда, когда $i$-е арифметическое высказывание истинно. Мы же можем явно пронумеровать все арифметические формулы без свободных переменных. Тогда математик это число посчитать не сможет, там где-то в начале надо будет доказать/опровергнуть все текущие нерешённые задачи. Вот и приходится верить, что цифры существуют сами по себе.

Так теореме Кантора совершенно безразлично включены ли в списке только вычислимые последовательности, или к ним добавлены и какие-то невычислимые (которых однако, можно специфицировать однозначно конечным образом - как вы сделали выше, определяя свою конкретную невычислимую последовательность).
Диагональный метод работает одинаково хорошо в обоих случаев - в нем существенно только то, что последовательностей в списке счетное количество.
Поэтому математику в данном случае незачем беспокоиться, включены ли какие-то невычислимые последовательности в списке, или нет - и нуждаться в оракуле.
Об этом я тоже писал выше.

[EminentVictorians]

manul91 в сообщении #1608437 писал(а):

Так теореме Кантора совершенно безразлично включены ли в списке только вычислимые последовательности, или к ним добавлены и какие-то невычислимые

Так вычислимых-то счетное число.

manul91 в сообщении #1608437 писал(а):

Диагональный метод работает одинаково хорошо в обоих случаев - в нем используется только то, что последовательностей в списке счетное количество.

Диагональный метод нужен для того, чтобы доказать несчетность.

[dgwuqtj]

В теореме утверждается, что не бывает счётного списка из всех вещественных чисел. Такие списки надо сначала определить, скажем, как отображения $\mathbb N \times \mathbb N \to \{0, 1\}$ ("оракулы"). Математик в роли оракула выступать никак не может, он даже $10^{100}$-е простое число не сможет записать в десятичной системе счисления.

[manul91]

EminentVictorians в сообщении #1608439 писал(а):

Так вычислимых-то счетное число.

Вычислимых заодно с "невычислимых для которых существуют конечные спецификации" (наподобие ту которую привел dgwuqtj, константу чаитина и т.д.) - тоже счетное число.

EminentVictorians в сообщении #1608439 писал(а):

Диагональный метод нужен для того, чтобы доказать несчетность.

dgwuqtj в сообщении #1608441 писал(а):

В теореме утверждается, что не бывает счётного списка из всех вещественных чисел. Такие списки надо сначала определить, скажем, как отображения $\mathbb N \times \mathbb N \to \{0, 1\}$ ("оракулы"). Математик в роли оракула выступать никак не может, он даже $10^{100}$-е простое число не сможет записать в десятичной системе счисления.

Знаю. Для диагональном доказательстве ведь существенно не то, вычислима ли $j$-тая цифра $i$-той последовательности из списка - важно то что по допущению последовательность существует в данном списке (на $i$-том месте, где $i$ натуральное число) - а значит - всегда можно выбрать другую цифру, конструируя последовательности вне списка.
Точно также, как если считать "существующей" вашей невычислимой последовательности "число в двоичной системе счисления, у которого $i$-я цифра после запятой равна 1 тогда и только тогда, когда $i$-е арифметическое высказывание истинно" - то нет проблем считать "существующей" и ее комплементарной, т.е. "число в двоичной системе счисления, у которого $i$-я цифра после запятой равна 0 тогда и только тогда, когда $i$-е арифметическое высказывание истинно". В этом она никак не отличается например от вычислимой последовательности $\frac{\pi}{6}$ (записанного в двоичной системе счисления).

[EminentVictorians]

Я не понимаю в чем проблема. Последовательностей из нулей и единиц - несчетное количество. Вычислимых последовательностей - счетное количество. Ну да, "дотянуться алгоритмически" мы можем не до всех последовательностей (а только до вычислимых), ну и что?

manul91, Вы можете сформулировать, какой тезис Вы отстаиваете? А то я совсем нить потерял.

[manul91]

EminentVictorians в сообщении #1608451 писал(а):

Я не понимаю в чем проблема. Последовательностей из нулей и единиц - несчетное количество. Вычислимых последовательностей - счетное количество. Ну да, "дотянуться алгоритмически" мы можем не до всех последовательностей (а только до вычислимых), ну и что?

Даже если расширить последовательностей в списке - к тех которые вычислимы, добавить еще и те невычислимые которые можно конечным способом специфицировать - в диагональном методе ничего не меняется - по-прежнему в списке не могут быть все последовательности.

EminentVictorians в сообщении #1608451 писал(а):

manul91, Вы можете сформулировать, какой тезис Вы отстаиваете? А то я совсем нить потерял.

Мой тезис - для доказательства Кантора, математику оракул не нужен.
Я не вижу, почему математику нужен оракул, или вера в его существованию - чтобы придти к выводу что количество всех последовательностей несчетно.

Для диагональном доказательстве существенно то, что по допущению последовательности выписаны в определенном нумеруемом списке (каждая из них на своем $i$-том месте, где $i$ натуральное число); как и то, что по допущению в последовательности на $j$-том месте существует какая-то определенная (пусть и неизвестная) цифра. А значит - всегда можно выбрать другую $j$-тую цифру, конструируя новую последовательность вне списка - что опровергает допущение.
И совершенно не важно, каково именно будет значение $j$-той цифры $i$-той последовательности из списка - $0$ ли будет или $1$, можно ли $j$-тую цифру вычислить или нет и т.д.

-- 08.09.2023, 22:45 --

EminentVictorians
P.S. Если математик конструктивист, и вообще не признает существование невычислимых последовательностей (чтобы считать последовательность "существующей" и вообще последовательностью - по его мнению необходима возможность чтобы в мире существовала какая-то сущность, которая смогла бы конкретно назвать/выдать значение $j$-той цифры последовательности - т.е. он типа последователь Church–Turing–Deutsch principle).
То для этого да - наличие оракула (или верить в возможность его существования в мире) - наверно помогло бы, чтобы такой математик принял бы и невычислимые последовательности к рассмотрению.
Но это, совсем другой вопрос....

[manul91]

dgwuqtj в сообщении #1608441 писал(а):

Математик в роли оракула выступать никак не может, он даже $10^{100}$-е простое число не сможет записать в десятичной системе счисления.

И поэтому чтоб математик верил, что $10^{100}$-е простое число существует - ему тоже нужен оракул? Всякие бесконечности, счетности и несчетности, вычислимости и невычислимости - тут непричем?
Каков максимальный номер простого числа, для веры в котором математику оракул не нужен?

[dgwuqtj]

manul91, а что вы вообще называете оракулом? Если в узком смысле, как конкретное невычислимое отображение (или множество), то оно тут действительно не нужно. Выше просто предлагали называть оракулами некие отображения между бесконечными множествами, чтобы конструктивистам было проще.

[epros]

manul91 в сообщении #1608414 писал(а):

То тогда я вас не понимаю - зачем вообще нужен математику такой оракул (и "вера" в нем)?

В данном случае - для того, чтобы сформулировать предположение теоремы Кантора, которое будет опровергнуто.

manul91 в сообщении #1608414 писал(а):

Если чтобы просто заменить "актуальную" бесконечность ("наличие" всех выписанных последовательностей со всеми цифрами сразу) на "потенциальную" (возможность ответить вопросу о том вопрос о том, какова $j$-тая цифра $i$-той последовательности)

Я не понимаю, что такое "наличие всех выписанных последовательностей со всеми цифрами сразу". Я такого наличия нигде никогда не видел. Так что заменять нечего.

manul91 в сообщении #1608414 писал(а):

Что помешает математику самому назвать $j$-той цифры $i$-той последовательности?

Неизвестность этой цифры, разумеется.

manul91 в сообщении #1608414 писал(а):

Чтобы просто считать, что сам натуральный ряд существует - т.е. можно назвать $i$-тое натуральное число (та же счетная бесконечность) - математику тоже нужен оракул?

Вы о чём? Чтобы назвать $i$-тое натуральное число надо просто назвать $i$-тое натуральное число. Никаких бесконечностей тут нет, да и оракулы не требуются.

manul91 в сообщении #1608414 писал(а):

Я говорил, что математик должен знать, что он не может специфицировать несчетное количество последовательностей в своих вопросах к оракулу (по факту что любой запрос должен быть конечным).

И что из этого следует? Разве кто-то требовал от математика "специфицировать" несчётное количество последовательностей?

-- Сб сен 09, 2023 13:52:11 --

manul91 в сообщении #1608469 писал(а):

Если математик конструктивист, и вообще не признает существование невычислимых последовательностей (чтобы считать последовательность "существующей" и вообще последовательностью - по его мнению необходима возможность чтобы в мире существовала какая-то сущность, которая смогла бы конкретно назвать/выдать значение $j$-той цифры последовательности - т.е. он типа последователь Church–Turing–Deutsch principle).
То для этого да - наличие оракула (или верить в возможность его существования в мире) - наверно помогло бы, чтобы такой математик принял бы и невычислимые последовательности к рассмотрению.

Конструктивизм здесь совершенно ни при чём. Конструктивист в первую очередь не верит в существование оракулов и по этой причине просто не примет такую формулировку теоремы Кантора, которая цитировалась выше.

-- Сб сен 09, 2023 14:03:31 --

dgwuqtj в сообщении #1608474 писал(а):

чтобы конструктивистам было проще.

Нет, не конструктивистам. Это нужно, чтобы было проще тем, кто не понимает, что означают высказывания типа: "Возьмём некоторую последовательность цифр $a_1, a_2, \ldots$".