Откуда мнимая часть в сигнале с квадратурной ам. модуляцией?

[Kevsh]

Допустим, есть у нас следующее созвездие:

На обеих осях отмечены точки -3, -1, 1 и 3, а на "нолики и единички" пока что не будем обращать внимание. Сейчас я представляю квадратурную амплитудную модуляцию следующим образом:
$s(t)=A_i \cos{\omega_c t}+B_j \sin{\omega_c t}$, где $A_i$ и $B_j$ - это те самые точки -3, -1 и т. д., $\omega_c$ - несущая частота. При этом созвеpдие - это комплексная плоскость, как я понял. Как представить такой сигнал в комплексном виде? Откуда тут вообще берутся комплексные числа? Попробуем представить всё это дело в комплексном виде:
$s(t)=\frac{e^{i\omega_c t}(A-iB)+e^{-i\omega_c t}(A+iB)}{2}$
как это дальше преобразовать не пойму. Геометрически тоже не особо понятно, что с этим делать. Тут $A_i$ и $B_j$ - катеты. Если умножить катет на синус или косинус, то ничего полезного не получится.
При всём этом точки эти, как я понял, должны крутиться с несущей частотой. Откуда это получается - никак не пойму.

[svv]

У комплексного числа $A-iB$ есть модуль $C$ и аргумент $\varphi$:
$\begin{array}{l}A-iB=Ce^{i\varphi}\\A=\phantom{+}C\cos\varphi\\B=-C\sin\varphi\end{array}$

В этих терминах выразим
$s(t)=A\cos{\omega t}+B\sin{\omega t}=C(\cos{\omega t}\cos\varphi-\sin{\omega t}\sin\varphi)=C\cos(\omega t+\varphi)$

Теория предлагает понимать $s(t)=C\cos(\omega t+\varphi)$ как вещественную часть комплексного сигнала $Ce^{i(\omega t+\varphi)}$.
Мнимая часть комплексного сигнала $C\sin(\omega t+\varphi)$.
Физически $C$ — амплитуда, $\varphi$ — фаза.

[Евгений Машеров]

Надо просто видеть в комплексных числах не матемагию, а рабочий инструмент. Для представления пары сигналов (синфазного и квадратурного), как одной величины.

[Kevsh]

svv
Хорошо, сейчас мы имеем следующее: $s(t)=A\cos{\omega t} + B\sin{\omega t}=C\cos{(\omega t + \varphi)}=\operatorname{Re}\{Ce^{i(\omega t +\varphi)}\}$
Допустим, точку (1; 3) можно представить как $Ce^{i\varphi}$ при $C=\sqrt{1^2+3^2}$ и $\varphi=\arctg{\frac{3}{1}}$. Но ведь у нас нет $Ce^{i\varphi}$. У нас есть только $\operatorname{Re}\{Ce^{i\varphi}\}$ (только его можно получить из суммы синуса и косинуса). Я примерно понимаю, что хотел сказать Евгений Машеров - тут берётся сумма синуса и косинуса и склеивается в одно комплексное число. Только я не понимаю, как склеивается - как $B$ превращается в $iB$.

[svv]

Обозначим наш исходный вещественный сигнал $x(t)$.

Kevsh в сообщении #1606418 писал(а):

У нас есть только $\operatorname{Re}\{Ce^{i\varphi}\}$

Это число равно значению $x(0)$. Только из него одного ничего не сделаешь. Но Вам известно не одно число, а гармонический сигнал $x(t)$. Он однозначно представляется в виде $A\cos\omega t+B\sin\omega t$, где $\omega\geqslant 0$. То есть $\omega,A,B$ Вам известны.

Тут есть три аспекта.

1) Чего надо добиться?
Надо найти такой комплексный сигнал вида $z(t)=z_0 e^{i\omega t}=Ce^{i(\omega t+\varphi)}$ (с частотой $\omega\geqslant 0$), чтобы $x(t)=\operatorname{Re} z(t)$.

2) Как?
Один метод я описал. Вот другой метод (по сути это то же). Надо построить сигнал $y(t)$, заменяя в $x(t)$ косинусы и синусы по правилам:
$\begin{array}{l}\cos\omega t\mapsto \phantom{+}\sin\omega t\\\sin\omega t\mapsto -\cos\omega t\end{array}$
Это называется преобразование Гильберта.
После этого $z(t)=x(t)+iy(t)$.

3) Зачем?
Потому что $e^{i\omega t}$ имеет лучшие свойства, чем косинус и синус по отдельности. Например, взятие производной от функции $e^{i\omega t}$ сводится к её умножению на комплексное число. Как следствие, $e^{i\omega t}$ удовлетворяет ДУ первого порядка $z'(t)=i\omega z(t)$, а косинус и синус — второго. На этом основан метод комплексных амплитуд.
Неформально показать "превосходство" экспоненты можно так. Графики $x(t)$ и $y(t)$ — синусоиды. Введём в трёхмерном пространстве декартовы координаты $x,y,t$ и построим кривую $(x(t),y(t),t)$, заданную параметрически — это уже спираль. А спираль очень симметрична — сдвиг по $t$ неотличим от некоторого поворота вокруг оси $Ot$ (поэтому, когда спираль вращается, кажется, что она "бежит"). У синусоиды есть максимумы и минимумы, а у бесконечной спирали все точки равноценны.

Используется синтаксис Matlab M

omega=1;
A=3;
B=7;
t=0:0.1:8*pi;
x=A*cos(omega*t)+B*sin(omega*t);
y=A*sin(omega*t)-B*cos(omega*t); % получено преобразованием Гильберта из x
plot3(x,y,t);
axis equal
axis vis3d

Постройте и покрутите инструментом Rotate3d.

[Cos(x-pi/2)]

Kevsh

Попробую ответить совсем по-простому, на радиотехническом языке, на вопрос: как в приёмнике отделяются друг от друга $A$ и $B.$ (Приношу извинения за такой примитивный ответ, не подходящий для раздела "Математика" :)

В приемнике сигнал $s(t)=A(t)\cos{\omega t} + B(t)\sin{\omega t}$ поступает в так называемый квадратурный демодулятор, имеющий два выхода с фильтрами низких частот (ФНЧ). Сигнал $s(t)$ преобразуется квадратурным демодулятором в два отдельных выходных сигнала - один из них есть $A(t),$ другой есть $B(t)$ (оба умноженные на некоторый коэффициент усиления или ослабления, но это для понимания сейчас неважно).

Эти два выходных сигнала, $A(t)$ и $B(t),$ называются "синфазный" (In-phase, сокращённо I) и "квадратурный" (Quadrature, сокращённо Q). Дальше в приёмнике они отдельно друг от друга обрабатываются - в двухканальном радиотехническом устройстве. Такую пару сигналов $A(t)$ и $B(t)$ - двухканальный сигнал - называют I/Q-сигналом. И оказывается, что формулы, описывающие дальнейшую обработку I/Q-сигнала в приёмнике, удобнее всего записывать так, как будто I/Q-сигнал это комплексная функция $A(t)+iB(t).$

Это можно заметить уже при описании самого квадратурного демодулятора. Он представляет собой два перемножителя.

В одном из перемножителей входной сигнал $s(t)=A(t)\cos{\omega t} + B(t)\sin{\omega t}$ умножается на сигнал из генератора, пропорциональный $\cos{\omega t}$, настроенного на ту же высокую частоту $\omega,$ что и у сигнала $s(t)$. Получается (с точностью до коэффициента, не слежу за ним) слагаемое $A(t)$ плюс слагаемые с частотой $2\omega.$ ФНЧ устраняет слагаемые с частотой $2\omega$, так что на выходе этого канала остаётся только $A(t).$ Это I-канал демодулятора.

Одновременно во втором перемножителе тот же входной сигнал $s(t)$ аналогично умножается на $\sin{\omega t}$ и результат фильтруется точно таким же ФНЧ. Это Q-канал демодулятора, на его выходе получается $B(t).$

Оба эти умножения можно математически представлять как умножение $s(t)$ на $e^{i\omega t }=\cos{\omega t}+i\sin{\omega t}.$ Фильтрами устраняются высокочастотные слагаемые, остаётся $A(t)+iB(t).$

Ну а дискретизация сигнала, способы кодирования символов при передаче информации, созвездия и т.п. - это уже отдельная история.

[Евгений Машеров]

Займу уровень ещё ниже. Просто электротехника. Мы научились работать с постоянным током, у нас есть закон Ома, законы Кирхгофа и наработаны навыки расчёта. А ток у нас переменный. Если у нас только активные элементы, то фазы тока по всей схеме одинаковы, и мы вправе считать, как привыкли. Но появись конденсатор или индуктивность - сразу же появляется сдвиг фазы. Чтобы не рассматривать бесконечно много сдвигов, вспоминаем, что синусоиду с любым сдвигом по фазе можно разложить на синус и косинус - синфазную и квадратурную составляющие, меняя лишь коэффициенты разложения. То есть можно считать отдельно по этим компонентам, учитывая реактивные элементы. Но хочется ещё проще, не два расчёта с дополнительными согласованиями, а один, уместив два числа, амплитуды названных составляющих, в одно число. Способов это сделать много. Не только комплексные числа - есть "дуальные" и "двойственные", можно использовать матрицы 2х1 или диагональные 2х2 и ещё множество способов. Для всех их выполняется линейность, то есть можно складывать, а значит, применимы законы, так пригодившиеся на постоянном токе. Но вот преобразование на реактивном элементе проще всего для комплексных, это поворот на 90 градусов. И мы выбираем инструмент по руке, не пытаясь придумать Высший Философский Смысл.
Для теории связи наследуется тот же, что и в электротехнике, инструмент. Мы хотим повысить использование канала связи, заполняя его сигналом на данной частоте, но удвоив - синфазную и квадратурную компоненту. И соотносим их амплитуды с действительной и мнимой частями. А сдвиг фазы превращаем в умножение на комплексный множитель. Или на комплексный сигнал заданной частоты, осуществляя демодуляцию.
Это инструмент. Очень мощный и полезный, но для работы, а не для философии.

[Kevsh]

svv
Евгений Машеров вспомнил электротехнику, а её я понимаю куда лучше, чем математику. Раньше я использовал комплексный метод расчёта токов и как-то вообще о всём этом не задумывался, хотя там ситуация действительно очень похожая. Мы представляем напряжение $U(t)=A\sin{(\omega t + \varphi)}$ как комплексное число, модуль которого равен $A$ и которое вращается против часовой стрелки с угловой частотой $\omega$. При этом само значение функции в произвольный момент времени равно проекции вектора на мнимую ось.
Вернёмся к модуляции. Всё то же самое. Мы получили $s(t) = C\cos{(\omega t + \varphi)}$. Я помню похожее преобразование, когда я разбирался с преобразованием Фурье в этой теме: topic151101.html . Вы там получили такой же результат (преобразовали синус и косинус с разными амплитудами в один косинус, но уже с фазой), но другим путём.
И вот тут не очень понятная для меня ситуация. С одной стороны мы взяли исходную функцию, преобразовали её и представили как вещественную часть комплексного числа. То есть на вещественную ось должно проецироваться значение всей функции, той самой $s(t)=A\cos{\omega t}+B\sin{\omega t}$. С другой стороны мы получили комплексное число $Ce^{\omega t + \varphi}$, причём $C=\sqrt{A^2+B^2}$ (исходя из нашего преобразования), то есть его вещественной частью должно быть значение $A$, а мнимой частью должно быть значение $B$. Вот этот момент мне не до конца понятен. Второй вариант, как мне кажется, более правильный, просто потому что мы можем умножить это число на $e^{-i\omega}$ и получить $e^{i\varphi}$, а из него уже получить $A$ и $B$, что и делается на практике, как я понимаю.

Cos(x-pi/2)
Вот, кстати, как устроена демодуляция я более-менее понял (очень похоже на демодуляцию сигнала с обычной амплитудной модуляцией), однако тут небольшая несостыковочка в том, что я написал в последнем предложении предыдущего абзаца. Там по логике должен появиться минус в степени экспоненты, но вроде как от этого после всех преобразований только появится минус перед $B(t)$, что не особо печально, учитывая то, что такая демодуляция, как я понял, осуществляется в цифровом виде (если окажется, что можно как-то аналогово умножить что-либо на комплексную синусоиду, то я всё )

[Kevsh]

Ещё заметил, что если рассматривать всё это дело как комплексный сигнал, то мы как-будто умножаем принятый сигнал на $e^{-i\omega}$ и всё - можно брать мнимую и действительную части, получив $B$ и $A$. Если же рассматривать исходный сигнал как сумму синуса и косинуса, то, как уже написал выше Cos(x-pi/2), становится видно, что необходимо использовать усиление и ФНЧ. Это тоже странно.

[Евгений Машеров]

Мне кажется, что Вы ищете комплексную составляющую в исходном сигнале. А её там нет. Комплексные величины появляются при обработке. Это такое нано-Фурье - только для одной частоты, и комплексным является не сигнал, а его фурье-образ. Действительная часть образа соответствует синфазной составляющей, мнимая квадратурной (ну, или наоборот - вопрос соглашения). Причём мы вполне можем рассуждать вовсе без комплексных чисел, они лишь упрощают расчёты. Но можно отдельно рассматривать обе составляющие, как действительные числа. Но получается в два раза больше, и сложнее работать со сдвигом фазы - для комплексного он попросту умножение на $e^{i\varphi}$, а для действительного надо тригонометрию включать.
Приём демодуляции - умножаем на синусоиду частоты, соответствующей несущей. Опять же - можно и чисто в действительных, но с комплексными проще. Скажем, вместо двух вычислений тригонометрических функций на каждом шаге одно комплексное умножение, сразу дающее и синусоиду, и косинусоиду. После такого умножения у нас получается сумма сигнала низкой (нулевой, в идеале) частоты и сигнала с удвоенной частотой несущей, вот второй и убирается НЧ-фильтром.
Есть вариант всё загнать в комплексные числа, при этом реально поступающий сигнал будет равен действительной части комплексного сигнала, но его дополнят мнимым, равным преобразованию Гильберта от действительного. Это тоже способ демодуляции.

[Kevsh]

Евгений Машеров
То есть получается, что никакого преобразования и нет? Просто говорим, что есть сигнал $s(t)=A\cos{(\omega t)}+B\sin{(\omega t)}$, а есть сигнал $Ce^{\omega t}=A\cos{(\omega t)}+jB\sin{(\omega t)}$, с которым нам удобнее работать? Если так, то видимо я просто искал то, чего не было.
С демодуляцией вроде стало понятно. Можно было бы просто умножить принятый сигнал на $e^{i\omega}$ и взять у результата мнимую и вещественную часть, если бы мы принимали комплексный сигнал. Но он не комплексный. Комплексный сигнал мы придумали. Поэтому мы должны применить ФНЧ.
Вот только не особо понятно мне, что мы этим упрощаем. При демодуляции нам нужно сделать комплексное умножение и взятие действительной/мнимой части результата, что подразумевает взятие синуса или косинуса. А так мы бы просто умножили принятый сигнал на синус/косинус и всё.

[Евгений Машеров]

Упрощаем выкладки. Иногда упрощаем расчёты. Надо посчитать синусы и косинусы для n значений с шагом $\omega$. "Наивное" решение - менять аргумент с этим шагом и считать. А можно вычислить $e^{i\omega}$ и на каждом шаге домножать на этот множитель, два сложения и 4 умножения на шаг.
А можно преобразование Гильберта сделать, и работать с комплексным сигналом, модуль в качестве амплитулы, изменение фазы для оценки частоты.

[Cos(x-pi/2)]

(Добавлю пояснения; зря может быть, вроде главное уже разъяснено.)

Kevsh, старайтесь, пожалуйста, во-первых, проверять и правильно писать формулы; у Вас теряется в экспоненте то время $t,$ то мнимая единица $i,$ избегайте неверных равенств (они у Вас есть). При невнимательности заведомо не удастся во всём разобраться. Во вторых, как Вам уже пояснили выше, важно понять, что слова "нам удобнее работать с комплексными сигналами", означают: удобно разрабатывать или анализировать преобразования сигналов теоретически, на бумаге.

В радиотехнике приходится теоретически рассчитывать и заранее анализировать много разных преобразований сигналов (а не только упоминавшуюся демодуляцию).

Примеры преобразований: выделение нужной полосы частот из широкополосной смеси высокочастотных сигналов, принятых антенной; перенос центра нужного участка спектра на промежуточную частоту или на нулевую частоту; дискретизация сигнала в АЦП (аналого-цифровым преобразователем) - эта процедура тоже изменяет спектр сигнала; изменение частоты дискретизации - ресамплинг и сопутствующая ему фильтрация. Кроме того, видов модуляции, которые следует по-разному демодулировать, существует несколько. Всёму этому учат учебники по ЦОС; см., например, А.Б. Сергиенко "Цифровая обработка сигналов".

Однако, удобное для анализа на бумаге математическое описание желаемых преобразований сигналов это не то же самое, что осуществимые на практике преобразования реальных электрических сигналов в реальном ("железном") устройстве.

Вот примерная аналогия такому положению дел. Легко сказать: "рассмотрим умножение, например, числа $2$ на число $2.$ Очевидно, получится четыре". Но попробуйте-ка сделать электронное устройство, которое сможет перемножать числа. Вероятно, потребуется много элементов, более сложных, чем выглядит таблица умножения: процессор, устройства памяти, клавиатура для ввода чисел, дисплей для вывода, блок питания, программы, управляющие всем этим железом.

Примерно так обстоит дело и с сигналами в радиотехнике. Легко сказать: рассмотрим сигнал, как комплексную величину и умножим её на $e^{i\omega t}.$ Но реализовать такое преобразование в конкретном железе - это другое дело. В реальном устройстве всякая комплексная величина может представляться и преобразовываться в виде двух отдельных сигналов; или двух наборов цифровых данных, если сигналы дискретные. Конкретные схемы работы с такими двухканальными данными оказываются более сложными, чем их модельное описание комплексными величинми.

Т.е. в этой науке есть два аспекта:

а) математическая теория ЦОС - сюда относится удобное для выкладок описание сигналов и их преобразований в комплексной форме. При обучении понять идею того или иного преобразования удобно именно в комплексных выкладках - они заметно менее громоздкие, чем с косинусами и синусами.

б) довольно громоздкое описание конкретных устройств (АЦП, перемножителей, фильтров и их характеристик, различных детекторов). В устройствах желаемый конечный результат достигается путём обработки действительных сигналов, - электрических напряжений или токов на входах и выходах электронных схем.

(Точно не знаю, я уже отстал от жизни, но думаю, что современные разработчики имеют дело ещё и вот с какой ситуацией. Допустим, принимаемый сигнал предполагается дискретизовать ещё до основной обработки. Затем он поступит, уже в цифровом виде, в вычислительное устройство. А для программирования в этом устройстве всевозможных преобразований пусть уже создан язык высокого уровня, допускающий работу с комплексными величинами. Тогда разработчик может программировать преобразования сигнала прямо по своим комплексным формулам; компилятор переведёт их в команды для работы с массивами цифровых данных, понятные данному вычислительному устройству.)

[Kevsh]

Вроде тема уже закрыта, но всё равно не могу понять несколько моментов. Допустим, у нас есть созвездие с 4 точками: $(-1;-1)$, $(-1; 1)$, $(1;-1)$ и $(1;1)$. Чтобы после демодуляции получить именно эти точки, нужно на антенну выдать вот это: $s(t)=-1\cdot \cos{\omega_ct}+1\cdot \sin{\omega_ct}$ (пример для точки $(-1;1)$). Модулированный сигнал обычно представляют как крутящееся с частотой $\omega_c$ созвездие (рисунок взял из интернета, тут другие точки, но смысл, думаю, понятен):

При этом окружность, по которой точки перемещаются, должна пересекать "фиксированные" точки, которые у нас были изначально на созвездии. Если $i(t)=\cos{\omega_ct}$ и $q(t)=\sin{\omega_ct}$, то график $i$ от $q$ - это окружность, которая НЕ проходит через первоначальные точки. Да и по логике - не может быть так, чтобы и синус и косинус с такими аргументами были одновременно равны единице. А вот если сказать, что передан сигнал $(I+jQ)e^{j\omega t}$, то всё встаёт на свои места. Точки начинают крутиться по окружности. Вот только не могу понять, почему так можно делать.

[pppppppo_98]

Kevsh в сообщении #1614567 писал(а):

Вот только не могу понять, почему так можно делать.

бросьте читать непонятную вам радиотехнику ... и начнте с элементарного введения в комплексные числа или тоэ - 1 параграф любого учебника по теории функций комплексного переменного. дальше не надо... можно в вике посмотреть