Откуда мнимая часть в сигнале с квадратурной ам. модуляцией?

[EUgeneUS]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1606554 писал(а):

(Точно не знаю, я уже отстал от жизни, но думаю, что современные разработчики имеют дело ещё и вот с какой ситуацией. Допустим, принимаемый сигнал предполагается дискретизовать ещё до основной обработки. Затем он поступит, уже в цифровом виде, в вычислительное устройство. А для программирования в этом устройстве всевозможных преобразований пусть уже создан язык высокого уровня, допускающий работу с комплексными величинами. Тогда разработчик может программировать преобразования сигнала прямо по своим комплексным формулам; компилятор переведёт их в команды для работы с массивами цифровых данных, понятные данному вычислительному устройству.)

SDR называется.

[Евгений Машеров]

Kevsh в сообщении #1614567 писал(а):

При этом окружность, по которой точки перемещаются, должна пересекать "фиксированные" точки, которые у нас были изначально на созвездии

В пространстве комплексных сигналов. А реальный сигнал к этим точкам не подходит, хотя бы потому, что он действительный. Вот когда его демодулировать - на выходе демодулятора будут $\pm 1$, и два выхода демодулятора можно (но не обязательно) рассматривать, как мнимую и действительную части.

[EUgeneUS]

Kevsh в сообщении #1614567 писал(а):

Модулированный сигнал обычно представляют как крутящееся с частотой $\omega_c$ созвездие (рисунок взял из интернета, тут другие точки, но смысл, думаю, понятен):

И всё заверте....

В координатах $I/Q$ ничто никуда не вертится. Из всего созвездия "горит", активна только одна точка. С течением времени могут "зажигаться" другие, но в любой момент времени "горит" только одна.
Так что рисунок, взятый из интернета неверный, в печку его.

Но если нарисовать картинку сигнала $s(t)$ в полярных координатах $\varphi(t)$, $A(t)$, то да, тогда будет вращаться. Заметье никаких комплексных чисел я не использую

И при таком вращении некоторые точки будут переходить в другие. И это плохо.
Чтобы избавиться от этой неприятности, источник опорного сигнала в демодуляторе должен быть синхронизирован по фазе с фазой сигнала. Для этого отдельные специальные методы используют.

-- 25.10.2023, 11:29 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #1606554 писал(а):

Но попробуйте-ка сделать электронное устройство, которое сможет перемножать числа. Вероятно, потребуется много элементов, более сложных, чем выглядит таблица умножения: процессор, устройства памяти, клавиатура для ввода чисел, дисплей для вывода, блок питания, программы, управляющие всем этим железом.

Ячейка Гилберта содержит две диффпары и два источника тока, итого шесть транзисторов

[Kevsh]

EUgeneUS
Вот, что я понял:
Сигнал большинства типов модуляций можно представить в виде вектора, который крутится против часовой стрелки по единичной окружности (по абсциссе - косинус, по ординате - синус). Мы говорим, что это "типа" комплексный сигнал, заменяя $A\sin(\omega_c t +\varphi_0)$ на $(I+jQ)e^{j\omega_ct}$. Действительно, фаза изменяется одинаково, амплитуда такая же. Я пытаюсь понять, что такое по сути $\operatorname{Re}{((I+jQ)e^{j\omega_ct})}$ и $\operatorname{Im}{((I+jQ)e^{j\omega_ct})}$. Имеет ли это вообще какой-то математический смысл? Я изначально думал, что, допустим, для квадратурной модуляции мнимая часть этого вектора должна быть равна $Q\sin(\omega_c t)$, но это не так. Для какой-нибудь BPSK даже аналогию не могу придумать, что там отображает мнимая часть этого комплексного вектора. У меня уже закрадывается подозрение, что я ищу смысл там, где его нет, что этот вектор - просто отображение фазы и амплитуды сигнала, что никакого великого смысла в его мнимой и реальной частях нет.

[EUgeneUS]

Kevsh
Вам же буквально в первых ответах сказали, что использование комплексных чисел - это просто удобный рабочий инстурмент.
А в самом первом ответе продемонстрировали в чем удобство - умножение на комплексное число комплексного сигнала выполняет сразу ДВЕ операции:
1. Умножение амплитуды (на модуль комплексного числа)
2. Сдвиг фазы (на аргумент фазы комлексного числа).

Выполните эти преобразования руками, для понимания. А именно:
1. Пусть есть реальный сигнал $s(t) = A \cos (\omega t + \varphi_0)$
2. Этот сигнал можно представить в виде: $s(t) = Re[A e^{i(\omega t + \varphi_0)}]$

Докажите, по шагам, что
$Re[z e^{i(\omega t + \varphi_0)}] = |z|A \cos (\omega t + \varphi_0+\arg(z))$
где $z$ - некое комплексное число.

[Geen]

Только не пойму, зачем в этом удобном способе тащить фазу в экспоненту?...

[Евгений Машеров]

Затем, что момент измерения никак не согласован с сигналом, и вводя фазу, как "мешающий параметр", мы может отделить её от полезного сигнала, устранив влияние момента измерения.

[Geen]

А коэффициента перед экспонентой недостаточно?

[EUgeneUS]

Geen в сообщении #1614756 писал(а):

Только не пойму, зачем в этом удобном способе тащить фазу в экспоненту?...

Целью этого упражнения является показать (и заставить "потрогать руками") простую штуку:
последовательность действий
а) Дополняем реальный (действительный сигнал) до комплексного
б) умножаем комплексный сигнал на некое комплексное число
в) берем обратно действительную часть сигнала
эквивалентна умножению амплитуды сигнала на положительное (и известно какое) число и сдвигу фазы сигнала на известно какое число.

А так-то начальную фазу можно "спрятать" в множитель перед экспонентой, но будет не столь наглядно.

[Евгений Машеров]

Geen в сообщении #1614764 писал(а):

А коэффициента перед экспонентой недостаточно?

Действительного - недостаточно, он только амплитуду может выразить. Можно ввести комплексный коэффициент, и за счёт этого избавиться от фазы. Чем это удобнее - не знаю.
$C=e^{\ln A+\varphi}$
$Ce^{\omega t}=Ae^{\omega t+\varphi}$

[Kevsh]

EUgeneUS
$\operatorname{Re}{(ze^{i(\omega_ct+\varphi_0)})}=\operatorname{(|z|e^{i(\arg{z}+\omega_ct+\varphi_0)})}=|z|\cos{(\arg{z}+\omega_ct+\varphi_0)}$. Не очень понимаю, почему у вас стоит $A$ перед косинусом.
Получается:
1)В общем случае я отправляю на антенну сигнал $A(t)\cos{(\omega_ct+\varphi(t))}$
2)Я говорю, что у комплексного числа $z(t)e^{\omega_ct}$ при $z(t)=A(t)e^{i\varphi(t)}$ фаза и модуль изменяются так же, как у моего сигнала. При этом вещественная часть этого комплексного числа совпадает с моим сигналом.
3)$z(t)$ - это точки на комплексной плоскости, набор которых образует сигнальное созвездие.
4)Какого-то большого смысла в рассмотрении мнимой части числа $z(t)e^{\omega_ct}$ нет.

Тут всё верно?

Отдельно рассмотрю вопрос, из-за которого я вообще начал искать комплексные составляющие в вещественном сигнале :
Когда мы передаём на антенну сигнал $s(t)=I\cos{\omega_ct}+Q\sin{\omega_ct}$, мы "типа" закручиваем созвездие. Когда мы демодулируем этот сигнал, мы получаем с АЦП просто отсчёт $s[n]$. Этот отсчёт мы умножаем на $e^{i\omega_ct}$, пропускаем результат через ФНЧ (по хорошему ещё домножаем на 2) и получаем точку $I+jQ$. В реальности несущая частота не является константой, она на приёмнике и передатчике отличается. Из-за этого созвездие немного крутится. Когда я пришёл на работу, мне просто сказали - вот набор точек типа $I +jQ$, они умножены на $e^{j\omega t}$, восстанови несущую. Я восстановил, конечно, но я был уверен, что этот набор точек является результатом демодуляции с несовпадающими несущими (путём умножения на $e^{j\omega_c t}$ и применения ФНЧ). Что вот так демодулировали и получили крутящиеся точки на комплексной плоскости. Получается, что это не так. Видимо, они взяли сигнал с АЦП, у него получили фазу и модуль, а уже потом дали мне в таком "комплексном" виде. Другого объяснения у меня нет.

Если у кого-то возникнет вопрос, почему я не спросил на работе, откуда эти точки - я пытался спросить, не получилось .

[realeugene]

(Оффтоп)

Kevsh в сообщении #1614805 писал(а):

Если у кого-то возникнет вопрос, почему я не спросил на работе, откуда эти точки - я пытался спросить, не получилось .

Бегите оттуда.

[EUgeneUS]

Kevsh в сообщении #1614805 писал(а):

Отдельно рассмотрю вопрос, из-за которого я вообще начал искать комплексные составляющие в вещественном сигнале :
Когда мы передаём на антенну сигнал $s(t)=I\cos{\omega_ct}+Q\sin{\omega_ct}$, мы "типа" закручиваем созвездие.

ОМГ!
Я же писал выше - ничего мы не закручиваем! Уж и Аверченко вспоминал с его "И всё заверте..."...
Созвездие нарисовано в координатах Q/I. И в этих координатах ничего не вертится!

Посмотрите хотя бы в английской википедии, как демодулируется такой сигнал.
Там всё очень просто и без комплексного представления, голая тригнометрия.

[Kevsh]

EUgeneUS

Kevsh в сообщении #1614805 писал(а):

Когда мы демодулируем этот сигнал, мы получаем с АЦП просто отсчёт $s[n]$. Этот отсчёт мы умножаем на $e^{i\omega_ct}$, пропускаем результат через ФНЧ (по хорошему ещё домножаем на 2) и получаем точку $I+jQ$.

В статье написано то же самое. Точки созвездия статичны и никуда не крутятся. Символы, которые передаются на несущей частоте, уже крутятся. Я неверно выразился.

[Kevsh]

И ещё кое-что заметил. В случае квадратурной модуляции нужно смотреть не на вещественную, а на мнимую часть вектора. Дело в том, что $I\cos{\omega_c t}+Q\sin{\omega_c t}=\sqrt{I^2+Q^2}\sin{(\omega_c t+\arctg{\frac{Q}{I}})}=\sqrt{I^2+Q^2}\cos{(\omega_c t-\arctg{\frac{Q}{I}})}$. Получается, что если мы берём вещественную часть (т.е. косинус), то у нас фаза получается с минусом.