Не могу разобраться в ряде/преобразовании Фурье и ТФКП

[Kevsh]

Я сейчас разбираюсь с рядом Фурье, не могу понять несколько моментов.
1)Есть синусно-косинусная форма:
$s(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=0}^{\infty}(a_k\cos{(k\omega t)}+b_k\sin{(k\omega t)})$
На основе ортогональности синуса и косинуса мы можем вывести следующее:
$a_k=\frac{2}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}s(t)\cos{(k\omega t)}dt$
$b_k=\frac{2}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}s(t)\sin{(k\omega t)}dt$
$a_0=\frac{2}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}s(t)dt$
В учебнике сказано, что если $s(t)$ является чётной функцией, то в формуле будут присутствовать только косинусные слагаемые, ну и если $s(t)$ является нечётной функцией, то в формуле будут присутствовать только синусные слагаемые. Правильно ли я понимаю, что две любые функции ортогональны, если одна из них чётная, а вторая нечётная?

2)Идём дальше. Предлагается вещественная форма:
$s(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}A_k\cos{(k\omega t +\varphi_k)}$
Я не могу понять, как она выводится вообще. Я нашёл лекцию, где приводятся следующие формулы:
$A_k=\sqrt{a_k^2+b_k^2}$
$\varphi_k=\arctg{(\frac{b_k}{a_k})}$
Только вот в лекции с косинусе был минус, а не плюс. Откуда это берётся?

3)Далее приводится комплексная форма записи:
$s(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\dot C_k e^{-ik\omega t}$
$\dot C_k=\frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}s(t)e^{-ik\omega t}dt$
Откуда минус в показателе степени в первой формуле? Выводится всё следующим образом:
$a_k\cos({k\omega t})+b_k\sin{(k\omega t)}=e^{ik\omega t}(\frac{a_k-ib_k}{2})+e^{-ik\omega t}(\frac{a_k+ib_k}{2})$
Первое слагаемое должно представлять ряд в положительной области, а второе в отрицательной. Тогда в итоговой формуле минуса в степени не должно быть, разве не так? Да и формула для $\dot C_k$ верна только для положительной области, как мне кажется.

4)Иногда вижу такое преобразование:
$A_m e^{i \varphi}=A_m \sin{(\omega t + \varphi)}$
Откуда это берётся? Из формулы Эйлера? Не понимаю, каким образом. У меня есть подозрение, что мой второй вопрос как раз возникает из-за того, что я этого не понимаю.

5)Есть пример расчёта ряда Фурье следующего сигнала:

Предлагается следующая формула:
$a_k=\frac{2}{T}\int\limits_{-\tau/2}^{\tau/2}A\cos{(\frac{2\pi k}{T}t)}dt$
Вот вроде логично, а вроде и нет. Множитель $\frac{2}{T}$ появляется при выводе как раз из пределов интегрирования (T - длина отрезка интегрирования), то есть должно быть $\frac{2}{\tau}$, разве нет?

[svv]

1)

Kevsh в сообщении #1567457 писал(а):

На основе ортогональности синуса и косинуса

Не только синусы ортогональны косинусам. Ортогональны также два косинуса с различными $k$, а также два синуса с различными $k$, и это тоже необходимо для вывода формул для $a_k, b_k$.

Kevsh в сообщении #1567457 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что две любые функции ортогональны, если одна из них чётная, а вторая нечётная?

Да, если интервал интегрирования будет симметричным (от $-t_0$ до $+t_0$).

2)

Kevsh в сообщении #1567457 писал(а):

Только вот в лекции с косинусе был минус, а не плюс.

Здесь есть несколько разных стандартов. Я вкратце говорил об этом здесь. Пожалуйста, посмотрите и указанные там страницы из справочника Корна.

Kevsh в сообщении #1567457 писал(а):

Предлагается вещественная форма:
$s(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}A_k\cos{(k\omega t +\varphi_k)}$
Я не могу понять, как она выводится вообще.

$a_k\cos{(k\omega t)} + b_k\sin{(k\omega t)}=A_k\left(\cos{(k\omega t)} \frac{a_k}{A_k}+\sin{(k\omega t)}\frac{b_k}{A_k}\right)=...$
На евклидовой плоскости точка с координатами $\left(\frac{a_k}{A_k},\frac{b_k}{A_k}\right)$ находится на единичной окружности, поскольку $A_k^2=a_k^2+b_k^2$. Следовательно, существует такой угол $\varphi_k$ (называемый фазой $k$-й гармоники), что
$\frac{a_k}{A_k}=\cos(-\varphi_k), \quad \frac{b_k}{A_k}=\sin(-\varphi_k)$
По некоторым соображениям создателям данного стандарта было удобно определить именно так, с минусом.
Продолжаем:
$...=A_k\left(\cos{(k\omega t)} \cos(-\varphi_k)+\sin{(k\omega t)}\sin(-\varphi_k)\right)=A_k\cos{(k\omega t+\varphi_k)$

Kevsh в сообщении #1567457 писал(а):

$\varphi_k=\arctg{(\frac{b_k}{a_k})}$

Эта формула в любом случае неудачная. На евклидовой плоскости точки с координатами $(a_k, b_k)$ и $(-a_k,-b_k)$ симметричны относительно начала координат и имеют полярные углы, отличающиеся на $\pi$. Но $\frac{b_k}{a_k}=\frac{-b_k}{-a_k}$, поэтому после такого деления информация о том, в какой координатной четверти находится точка, необратимо потеряна, и полярный угол (а следовательно, и фазу) можно восстановить лишь с точностью до $\pi$. В программировании известна стандартная функция $\operatorname{atan2}$, которая принимает два аргумента и различает такие точки. Кроме того, она корректно вычисляет угол, когда $a_k=0$ и частное не существует. С её использованием $\varphi_k=\operatorname{atan2}(-b_k,a_k)$. Можно обойтись и традиционными математическими обозначениями: $\varphi_k=\operatorname{arg}(a_k-ib_k)$.

[svv]

3)

Kevsh в сообщении #1567457 писал(а):

Далее приводится комплексная форма записи:
$s(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\dot C_k e^{-ik\omega t}$

Вы правы, тут не должно быть минуса в показателе степени.

Kevsh в сообщении #1567457 писал(а):

Да и формула для $\dot C_k$ верна только для положительной области, как мне кажется.

Вы имеете в виду, только при $k\geqslant 0$? Нет, эта формула справедлива и для отрицательных $k$. Если сигнал $s(t)$ вещественный, то $c_{-k}=\overline{c_k}$, и формула $c_k=\frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}s(t)e^{-ik\omega t}dt$ как раз это обеспечивает.

4)

Kevsh в сообщении #1567457 писал(а):

Иногда вижу такое преобразование:
$A_m e^{i \varphi}=A_m \sin{(\omega t + \varphi)}$

Это в любом случае неверно. Зафиксируем $A_m, \omega, \varphi$ и будем менять $t$. Правая часть будет меняться, а левая нет. Но и в виде $A_m e^{i (\omega t+\varphi)}=A_m \sin{(\omega t + \varphi)}$ это было бы неверно. При $\omega t+\varphi=0$ синус даст нуль, а экспонента единицу.

5)

Kevsh в сообщении #1567457 писал(а):

Предлагается следующая формула:
$a_k=\frac{2}{T}\int\limits_{-\tau/2}^{\tau/2}A\cos{(\frac{2\pi k}{T}t)}dt$
Вот вроде логично, а вроде и нет. Множитель $\frac{2}{T}$ появляется при выводе как раз из пределов интегрирования (T - длина отрезка интегрирования), то есть должно быть $\frac{2}{\tau}$, разве нет?

Общая формула:
$a_k=\frac{2}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}s(t)\cos{(k\omega t)}dt$
Функция $s(t)$ равна $A$ при $|t|<\frac{\tau}{2}$ и нулю при $\frac{\tau}{2}<|t|<\frac T 2$. Поэтому достаточно проинтегрировать от $-\frac{\tau}{2}$ до $+\frac{\tau}{2}$, подставив $s(t)=A$. Однако нормировочный коэффициент $\frac{2}{T}$ от такой подстановки не изменится. Он определяется периодом.

[svv]

svv в сообщении #1567473 писал(а):

На евклидовой плоскости точка с координатами $\left(\frac{a_k}{A_k},\frac{b_k}{A_k}\right)$ находится на единичной окружности, поскольку $A_k^2=a_k^2+b_k^2$.

Исключая случай $a_k=b_k=A_k=0$.

[ewert]

Kevsh в сообщении #1567457 писал(а):

3)Далее приводится комплексная форма записи:
$s(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\dot C_k e^{-ik\omega t}$
$\dot C_k=\frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2}s(t)e^{-ik\omega t}dt$
Откуда минус в показателе степени в первой формуле?

svv в сообщении #1567479 писал(а):

Вы правы, тут не должно быть минуса в показателе степени.

Не совсем так. Тут может быть минус в показателе, но тогда его не должно быть в интеграле.

Куда именно втыкать минус -- дело вкуса, важно лишь, чтобы знаки были разными. И, кстати, в преобразовании Фурье (интегральном) обе традиции примерно одинаково употребительны. Однако для рядов Фурье гораздо предпочтительнее минус именно в интеграле, а не в сумме. поскольку лучше отвечает аксиомам скалярного произведения (определять базисные функции с минусом неестественно).

[svv]

ewert
Я выше упомянул, что в этой области есть несколько стандартов.
В данной теме используются соглашения по выбору знаков, нормировок, да и обозначения, принятые в справочнике Корна по математике.