Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[bot]

EminentVictorians в сообщении #1605620 писал(а):

Тогда у Вас $2+i 3$ будет являться комплексным числом, а $2+3i$ - не будет.

Надо просто смотреть на $3i$ то слева, то справа.

[bot]

EminentVictorians в сообщении #1603950 писал(а):

Сначала надо зафиксировать модели $\mathbb R$ и $\mathbb C$.

Предположим модель $\mathbb R$ у нас есть, а модели $\mathbb C$ у нас нету.

Начинаем строить. Хотим, чтобы расширение было полем и содержало корень уравнения $x^2+1=0$. В поле $\mathbb R$ такого элемента нет, поэтому просто добавляем его: $\mathbb R_1=\mathbb R\cup \{i\}$.
Полученное множество не замкнуто, поэтому надо ещё добавить произведения $\alpha i; \alpha\in \mathbb R $. Умножение хотим иметь коммутативное, ассоциативное с единицей и нулём - это в частности диктует $\alpha i=i \alpha, (\alpha i)\beta = \alpha (i\beta)=... =\alpha \beta i, i^2=-1, ...$
Полученное расширение не замкнуто относительно сложения, добавляем новые элементы $a+bi$, расссматриваемые как результат сложения действительного с мнимым. Проверяем свойства сложения. Надо ли ещё что-то добавить? Нет, остальное из желания дистрибутивности, по которому умножение должно определиться так как положено и никак не иначе.
Проверяем корректность введения операций и аксиомы поля.
В таком построении вложенность есть без всякого изоморфизма.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1605620 писал(а):

Для меня, если где-то есть $+$, значит это операция, которая суть функция вида $M^2 \to M$, а значит уже есть носитель $M$ и он был определен до того, как мы определили операцию. Вы же [не?] определяете носитель и при этом спокойно оперируете значком $+$. Значит этот вариант отпадает.

Это же математика, в которой не определено время ("до" или "после"). Я просто беру значок со всей стоящей за ним аксиоматикой и не торопясь строю носитель, на котором вся эта аксиоматика выполняется.

EminentVictorians в сообщении #1605620 писал(а):

Я могу смотреть на записи вида $a+ ib$ (точнее даже $a+ i \cdot b$) , как на термы в формальной теории комплексных чисел. Но тогда определение комплексных чисел будет включать в себя алфавит, арности, нелогические аксиомы, формальное исчисление предикатов для данного языка и всякую такую матлогику. Тут вообще множеств нету. У Вас множества есть (Вы же используете как минимум слова "множество", "надмножество", "носитель"), значит это тоже не наш случай.

Интересно, а куда Вы от всего этого денетесь? Без алфавита Вы просто не вправе употреблять значок $+$. Без заложенного в грамматику языка правила, что $a+b$ - это инфиксная запись бинарной операции, Вы просто не сможете понять, что эта запись является термом, т.е. обозначает объект теории. Без прикладных (нелогических?) аксиом Вы просто не сможете понять смысл таких слов, как "поле". Без исчисления предикатов, включающего как синтаксис, так и общелогическую аксиоматику, Вы просто не сможете понять смысл таких слов как "все", "некоторые", "следует" и т.д.

Это всё совершенно не обязательно повторять в каждом сообщении, потому что это общеизвестные вещи. Все понимают, что если употреблён значок, значит он есть в алфавите языка теории. Все понимают какие прикладные аксиомы соответствуют слову "поле" и т.д. Отличие Вашего подхода не в том, что Вы якобы ото всего этого избавились. Нет, не избавились. Отличие Вашего подхода в том, что Вы дополнительно ко всему этому неявно втаскиваете в обсуждение вопроса всю теоретико-множественную аксиоматику, включая ту, которая к делу не относится.

EminentVictorians в сообщении #1605620 писал(а):

Но у Вас все гораздо более странно. Есть "записи" вида $a+ib$ и есть их "природа" в виде камней или множеств. Я могу понять "природу" - как физический носитель надписи. Но тогда множества не будут "природой", а у Вас они могут ей быть. Короче, все равно ничего не понятно.

"Природа" не в том, что что-то написано, а в том, что этот объект совпадает с реультатом выполнении той операции, которая написана.

EminentVictorians в сообщении #1605620 писал(а):

Тогда у Вас $2+i3$ будет являться комплексным числом, а $2+3i$ - не будет. (записи-то у Вас вида $a+ib$, а не $a+bi$) И как у Вас это решается?

Это у нас решается посредством аксиоматики поля, согласно которой умножение коммутативно. Это значит, что неважно, первый или второй вариант надписи мы используем, это всё равно будет тот же самый объект. Т.е. два камня с разными вариантами надписи нам не нужны.

[vicvolf]

bot в сообщении #1605629 писал(а):

Предположим модель $\mathbb R$ у нас есть, а модели $\mathbb C$ у нас нету. Начинаем строить. Хотим, чтобы расширение было полем и содержало корень уравнения $x^2+1=0$. В поле $\mathbb R$ такого элемента нет, поэтому просто добавляем его: $\mathbb R_1=\mathbb R\cup \{i\}$.
Полученное множество не замкнуто, поэтому надо ещё добавить произведения $\alpha i; \alpha\in \mathbb R $. Умножение хотим иметь коммутативное, ассоциативное с единицей и нулём - это в частности диктует $\alpha i=i \alpha, (\alpha i)\beta = \alpha (i\beta)=... =\alpha \beta i, i^2=-1, ...$
Полученное расширение не замкнуто относительно сложения, добавляем новые элементы $a+bi$, расссматриваемые как результат сложения действительного с мнимым. Проверяем свойства сложения. Надо ли ещё что-то добавить? Нет, остальное из желания дистрибутивности, по которому умножение должно определиться так как положено и никак не иначе.
Проверяем корректность введения операций и аксиомы поля.
В таком построении вложенность есть без всякого изоморфизма.

mihaild в сообщении #1605403 писал(а):

тут есть два подхода - "аксиоматический" - взять в качестве носителя что попало и потребовать, чтобы операции удовлетворяли нужным свойствам, или "построение" - хитро выбираем носитель, и определяем операции через его элементы.

Вы реализовали построение по второму подходу, а в теме разбирается первый.

[bot]

vicvolf в сообщении #1605634 писал(а):

Вы реализовали построение по второму подходу, а в теме разбирается первый.

(Оффтоп)

Виноват - не разобрался с тем, что разбирается, так как заглядывал только на 2 страницы - первую и последнюю.

[EminentVictorians]

bot в сообщении #1605629 писал(а):

Хотим, чтобы расширение было полем и содержало корень уравнения $x^2+1=0$.

bot в сообщении #1605629 писал(а):

умножение хотим иметь коммутативное, ассоциативное с единицей и нулём

Это ведь не что иное, как аксиомы.

bot, у Вас интересный способ. Но, по-моему, это просто обычное аксиоматическое введение $\mathbb C$ (аналогично тому, что называют "аксиоматическим определением действительных чисел" в учебниках по матану).

Если смотреть на Ваше определение чисто как на аксиоматическое, то в плане аксиом у меня никаких вопросов нету. Я бы, конечно, после того, как Вы сформулировали аксиомы, сказал бы, что здорово было бы доказать непротиворечивость этого списка аксиом и потребовал бы конкретную модель (т.е. конкретное множество, которое является носителем Вашей структуры).

Но у Вас довольно интересно все написано. У Вас не просто список аксиом, а еще как будто бы и одновременное с этим построение модели. И мне на самом деле самому интересно, можно ли так делать. Потому что, например, что такое $i$ как множество, у Вас не определено. Вы, конечно, скорее всего ответите, что это не важно и можно брать любое множество, лишь бы оно не было элементом $\mathbb R$ (как модели, которая у нас есть). Но у меня здесь вопрос: а не обязаны ли мы, несмотря на это, все же конкретно указать, чем таки эта самая $i$ является как множество. По-моему, обязаны.

Соответственно, не обязаны ли мы после этого точно так же явно определять, чем как множество будет являться, например, $2+3i$ (и вообще любое $a + bi$, где $b \ne 0$.)

В общем, я пока смотрю на Вашу конструкцию, просто как на список аксиом. В таком формате все нормально, просто потом надо, как обычно, строить модель.

Но Вы, скорее всего, вкладывали не совсем такой смысл. Вы как бы строили модель в процессе. Корректно ли так делать, я не знаю. Больше склоняюсь, что нет.

Но даже если корректно, по-моему, все равно лучше разделять этапы формулирования аксиом и построения модели.

Короче говоря, корректность Вашего способа мне самому интересна.

[KhAl]

EminentVictorians писал(а):

Но у меня здесь вопрос: а не обязаны ли мы, несмотря на это, все же конкретно указать, чем таки эта самая $i$ является как множество.

EminentVictorians, почему Вы считаете, что всё надо сводить к ZFC?

Вавилов писал(а):

СОМНЕНИЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКЕ БОЛЕЕ СОМНИТЕЛЬНЫ, ЧЕМ ОНА САМА. Математик — это тот, кто все подвергает сомнению. Но подвергая сомнению все, он, разумеется, подвергает сомнению и то, что все следует подвергать сомнению.
Потрясает наивность людей, которые считают, что понятия элемента, множества, функции, бесконечности, числа требуют дальнейшего анализа и обоснования, в то время как понятия символа, текста, конструктивного объекта, правильно составленной формулы, формального языка, выводимости, доказуемости, истинности ясны сами по себе. В действительности это иллюзия, обоснование математики с помощью логики — это обоснование прозрачного с помощью туманного.
Когда конструктивист говорит, что натуральное число выражается в алфавите, состоящем из одного символа |, ||, |||, и заявляет, что этот процесс можно неограниченно продолжать, мне кажется, он не учитывает чего-то весьма существенного. А именно, того, что в процессе написания таким образом уже крошечных чисел, ну хотя бы $10^{10^{10}}$ мы собъемся со счета, кончатся чернила, кончится бумага, кончится время, но главное все-таки, состоит в том, что если мы будем писать все дальше и дальше, то под действием гравитации чернила и бумага превратятся в чер[ниль]ную дыру. Словом, требуемого количества черточек ему написать не удастся.
Конструктивная математика опирается на тысячи неявных предположений, подразумеваемых, но не сформулированных аксиом. Кто может гарантировать, что за ночь в тексте не появляются новые символы и не исчезают старые, что мы в состоянии отличить один символ от другого

[EminentVictorians]

KhAl в сообщении #1605637 писал(а):

почему Вы считаете, что всё надо сводить к ZFC?

Не считаю, и с радостью отвечу более подробно, но не в этой теме. Эта тема и так уже перегружена хуже некуда. Поэтому если создадите новую - поучаствую.

-- 17.08.2023, 16:09 --

epros в сообщении #1605631 писал(а):

Это же математика, в которой не определено время ("до" или "после").

Да, но есть сложные определения, которые конструируются в несколько шагов. И часто бывает нельзя сначала делать шаг 2, не сделав при этом шаг 1. Ну сделать-то конечно можно, но определение будет просто некорректным.

epros в сообщении #1605631 писал(а):

Без алфавита Вы просто не вправе употреблять значок $+$.

Ну вот в алфавите ZFC никаких плюсов нету (кроме $\in$ вообще ничего из предикатных или функциональных символов нету).

epros, проблема в философии. На воображаемом спектре оснований, строгости и формализма моя точка максимально противоположна Вашей. Это было довольно забавно посмотреть на вещи Вашими глазами, но это настолько противоречит моим взглядам, что даже не знаю, что еще сказать

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1605265 писал(а):

Например, когда мне говорят, что нечто изоморфно множеству действительных чисел, я понимаю: Ага, значит на нём выполняется соответствующий набор аксиом.

Характерная кстати фраза. У меня вот не так.

Пусть $\mathbb R = (R, +, \cdot, <)$ - обычные действительные числа с стандартным порядком. Известно, что стандартный порядок не являтеся полным (т.е. $\mathbb R$ не является вполне упорядоченным множеством).

Определим теперь структуру $\mathbb R' = (R, +, \cdot, <')$. Носитель и операции те же самые, а вот порядок - нет. Порядок здесь такой, что $\mathbb R'$ является вполне упорядоченным множеством (учитывая аксиому выбора, такое всегда можно сделать).

Рассмотрим тождественную функцию $1: R \to R$. С Вашей точки зрения она не будет являться изоморфизмом (порядок-то другой, с новыми свойствами), а с моей точки зрения - будет. Она будет изоморфизмом $\mathbb R$ и $\mathbb R'$ как полей, а не как упорядоченных полей.

[bot]

EminentVictorians в сообщении #1605645 писал(а):

Рассмотрим тождественную функцию $1: R \to R$. С Вашей точки зрения она не будет являться изоморфизмом (порядок-то другой, с новыми свойствами), а с моей точки зрения - будет. Она будет изоморфизмом $\mathbb R$ и $\mathbb R'$ как полей, а не как упорядоченных полей.

А кто бы спорил? Не стоит возникающие у Вас абсурды предполагать у других. Я так тоже могу, причём проще. Берём $\langle\mathbb N, <\rangle $ не изоморфны $\langle\mathbb N, >\rangle $, хотя при забывании порядков становятся изоморфными. Или пусть отношение будет одно и то же (<), а носители противоположны $\mathbb N$ и $-\mathbb N$.

[Doctor Boom]

vicvolf в сообщении #1605611 писал(а):

В этом случае при $b=0$ получаем, что $z=a$, т.е. действительному числу. А множество действительных чисел упорядочено.

Мне кажется, тут некая подмена. Когда мы подмножество $C$ заменяем на $R$.
Можно доказать, что если смотреть на $R$ как на подмножество $C$ (в моих обозначениях $R+0i$), то там нет естественного положительного направления. Док-во
Если на $Re^{i\varphi}$ есть естественное положительное направление, то оно есть и на $Re^{i(\varphi+\varepsilon)}$ (т.е. у близких лучей должны быть одинаковые положительные направления). Но тогда из этого следует, что у $Re^{i\varphi}$ и $Re^{-i\varphi}$, т.е. у $R$ и $-R$ должны быть одинаковые положительные направления. Получаем противоречие

-- 17.08.2023, 20:57 --

mihaild в сообщении #1605616 писал(а):

а что в точности такое $\mathbb R + 0i$?

Подмножество $C$, элементы которого совпадают с $R$

[Leeb]

Doctor Boom в сообщении #1605659 писал(а):

Подмножество $C$, элементы которого совпадают с $R$

Таких очень много, насколько я понимаю.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1605638 писал(а):

Да, но есть сложные определения, которые конструируются в несколько шагов. И часто бывает нельзя сначала делать шаг 2, не сделав при этом шаг 1. Ну сделать-то конечно можно, но определение будет просто некорректным.

Правильно ли я понимаю, что под "конструированием определения по шагам" Вы понимаете примерно следующее:
- Некто спрашивает: "Что такое действительные числа"? Ему отвечают: "Непрерывное линейно упорядоченное поле". Это первый шаг.
- Неудовлетворённый некто продолжает спрашивать: "Что такое поле"? "Что значит линейно упорядоченное"? "Что значит непрерывное"? Ему отвечают: "Поле - это множество, на котором определённым образом заданы операции сложения и умножения". Это второй шаг.
- Всё ещё неудовлетворённый некто продолжает спрашивать: "Что такое множество"? "Что такое операции"? "Каким именно образом заданные"? И ожидает третьего шага конструирования определения. Но где-то в этот момент подхожу я и говорю, что мне конечно, будет очень любопытно выслушать где-нибудь в другой теме как именно некоторые определяют "множество", Но сейчас, при определении действительных чисел я прекрасно мог бы обойтись и без этого.

Или Вы просто надеетесь на то, что где-нибудь уже на втором шаге терпение вопрошающего лопнет и он, скрепя сердце, согласится считать, что "всё понятно", так и не узнав аксиоматики непрерывного линейно упорядоченного поля?

EminentVictorians в сообщении #1605638 писал(а):

Ну вот в алфавите ZFC никаких плюсов нету (кроме $\in$ вообще ничего из предикатных или функциональных символов нету).

А на поле действительных чисел плюсы есть. И как же Вы обходитесь? Я-то могу сказать как обхожусь: Задействуем магическое понятие "доопределение", каковое по существу является просто консервативным расширением теории. А у Вас?

EminentVictorians в сообщении #1605638 писал(а):

epros, проблема в философии. На воображаемом спектре оснований, строгости и формализма моя точка максимально противоположна Вашей. Это было довольно забавно посмотреть на вещи Вашими глазами, но это настолько противоречит моим взглядам, что даже не знаю, что еще сказать

Мне, признаться, Ваша точка зрения тоже максимально удивительна и непонятна.

EminentVictorians в сообщении #1605645 писал(а):

С Вашей точки зрения она не будет являться изоморфизмом (порядок-то другой, с новыми свойствами), а с моей точки зрения - будет. Она будет изоморфизмом $\mathbb R$ и $\mathbb R'$ как полей, а не как упорядоченных полей.

Вот видите, Вы так и не услышали мою точку зрения. Разумеется я не буду спорить с тем, что они изоморфны "как поля", просто я считаю, что такие вещи, как "изоморфизм не для всей структуры", нужно специально оговаривать. Потому что изоморфизм может быть в смысле любой структуры, а это значит, что просто "изоморфизм", без уточнений, по умолчанию может пониматься только как изоморфизмом в смысле всей заданной структуры.

-- Чт авг 17, 2023 23:34:55 --

Кстати, если я правильно понимаю, при совпадении носителей такой трюк (с несоответствием только в части порядка) провернуть не поможет даже неконструктивная аксиоматика (аксиома выбора).

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1605665 писал(а):

- Некто спрашивает: "Что такое действительные числа"? Ему отвечают: "Непрерывное линейно упорядоченное поле". Это первый шаг.
- Неудовлетворённый некто продолжает спрашивать: "Что такое поле"? "Что значит линейно упорядоченное"? "Что значит непрерывное"? Ему отвечают: "Поле - это множество, на котором определённым образом заданы операции сложения и умножения". Это второй шаг.
- Всё ещё неудовлетворённый некто продолжает спрашивать: "Что такое множество"? "Что такое операции"? "Каким именно образом заданные"? И ожидает третьего шага конструирования определения.

"Что такое множество" у Вас как-то рано спрашивается. На этом шаге пока: "Что такое операция?". Операция - это функция вида...
-Следующий шаг: "Что такое функция?" Ответ: это упорядоченная тройка вида (домен, график, область значений), на которую наложены такие и такие условия.
-"Что такое "упорядоченная тройка"? Ответ: Упорядоченная тройка $(a, b, c)$ - это по определению упорядоченная пара $((a, b), c)$. "Что такое "домен, "график", "область значений" и какие условия наложены? Ответ: домен и область значений - некоторые множества; график представляет собой подмножество декартова произведения домена и области значений, причем проекция графика на первую компоненту в точности совпадает с доменом. (+ еще 1 понятно какое условие)
-"Что такое декартово произведение?" "Что такое упорядоченная пара?" Упорядоченная пара представляет собой множество вида $(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}$. Декартово произведение - это множество, состоящее из всех упорядоченных пар вида ...
-"Что такое множество?" Ответ: на этот вопрос есть разные ответы в зависимости от выбранного Вами уровня строгости и формализации. На нестрогом "инженерном" уровне под множеством можно понимать любое собрание любых объектов в одно целое. При увеличении уровня строгости можно рассмотреть наивную теорию множеств, в которой для некоторых множеств установлены парадоксы, показывающие, что в действительности множества являются не настолько простыми объектами, как может показаться на первый раз. Дальнейшее увеличение уровня строгости подразумевает использование более строгих теорий множеств, например, неформальной ZFC. Лично я как раз в обычной деятельности пользуюсь чем-то примерно таким, возможно, с аксиомой существования универсума вместо аксиомы бесконечности (т.е. небольшое усиление). Если Вас не удовлетворяет такой уровень рассмотрения, давайте глубже погрузимся в существующие логико-философские направления в математике. Формализм - это ... Ну и короче дальше про формализм, формальные языки, формальные теории и тп.


Примерно так.

Просто у Вас все вверх ногами перевернуто. Я предпочитаю начинать снизу и потом двигаться наверх.

epros в сообщении #1605665 писал(а):

И как же Вы обходитесь?

Я определяю $+$ как функцию вида $\mathbb R ^ 2 \to \mathbb R$. Как я определяю функцию в теории множеств, я написал выше.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1605668 писал(а):

"Что такое множество" у Вас как-то рано спрашивается

Ха, у Вас не так всё быстро, как я погляжу. Потому что Вы кучу всякой ненужной фигни начинаете рассказывать: Про функции, как кортеж из множеств, про кортеж как специфическое множество и т.д. А собственно до аксиоматики поля, порядка и непрерывности, похоже, нескоро доберётесь. А моя цель - добраться до неё максимально коротким путём, ибо именно это - суть.

EminentVictorians в сообщении #1605668 писал(а):

Просто у Вас все вверх ногами перевернуто. Я предпочитаю начинать снизу и потом двигаться наверх.

Начальная точка одна - термин "действительные числа", определение для которого неизвестно. Вопрос в том, где конечная точка и каков к ней путь. По моим понятиям конечная точка - это аксиоматика, каковая и есть содержательная часть определения. А путь к ней должен быть кратчайшим, т.е. без сворачивания в кортежи и множества.