Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[Alexey Rodionov]

KhAl в сообщении #1605011 писал(а):

Alexey Rodionov
Так что Вы думаете насчёт своего определения $\mathbb{C}$? Всё ещё всё в порядке? Сможете доказать, что если $\mathbb{K} \subset \mathbb{C}$ — подполе, изоморфное $\mathbb{R}$, то $\mathbb{C} = \mathbb{K} + i\mathbb{K}$?

Это, пожалуй, к epros вопрос, но он меня, не скрою, разбудил.

-- 13.08.2023, 02:45 --

Alexey Rodionov в сообщении #1604952 писал(а):

mihaild в сообщении #1604945 писал(а):

Пожалуй хорошая аналогия: можно ли умножать матрицы $n \times n$ на элементы $n$-мерного векторного пространства?

Провокация.

-- 13.08.2023, 02:29 --

mihaild в сообщении #1604959 писал(а):

Alexey Rodionov в сообщении #1604952 писал(а):

Провокация

Поясните.

Не так давно я этот вопрос поднимал и в личку получил замечательный ответ: почему бы не умножить, если они умножаются. Так меня на широкое обобщение потянуло: почему бы не присоединить, если они присоединяются.

[KhAl]

Alexey Rodionov в сообщении #1605033 писал(а):

Это, пожалуй, к epros вопрос

Нисколько. Вы предложили определение, так что с Вашей точки зрения будет странно не доказать с его помощью что-то столь простое. Если не можете — надо выкидывать определение в мусорку и искать рабочее.

В общем-то, mihaild здесь и доказывал eprosу (вместо Вас), что:
1) доказать это невозможно
2) поля, удовлетворяющего аксиомам 1-4, вообще не бывает

P.S. чтобы не возникло лишней путаницы, переформулирую утверждение из предыдущего поста, чтобы оно стало верным хотя бы для $\mathbb{C}$: существует $\mathbb{K} \subset \mathbb{C}$ изоморфное $\mathbb{R}$ такое, что $\mathbb{C} = \mathbb{K} + i\mathbb{K}$ (то есть, доказывать неверное утверждение я Вас не прошу. а вот тривиальное Вы не докажете, потому что аксиомы неправильные)

[epros]

mihaild в сообщении #1605015 писал(а):

epros в сообщении #1605012 писал(а):

Сначала говорите, что существует биекция $f:X \to Y$ в указанном выше смысле. Потом пишете что-нибуль вроде: Для любых $x_1, x_2, x_3$, обладающих свойством $X$, $x_1+x_2=x_3 \leftrightarrow f(x_1)+f(x_2)=f(x_3)$.

Это же будет в итоге элементарная эквивалентность, а не изоморфизм.

Ой, надо же было, наверное, вместо $x_1+x_2=x_3 \leftrightarrow f(x_1)+f(x_2)=f(x_3)$ написать $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$. Вы ведь об этом?

mihaild в сообщении #1605015 писал(а):

epros в сообщении #1605012 писал(а):

И что изменится в этом определении, если вместо "изоморфное полю $C$" будет написано; "биективное $C$"?

То окажется, что в любом хотя бы континуальном поле есть подполе, "изоморфное" $\mathbb R$

Это сможет как-то помешать? Вы определяли $Y$, изоморфное $\mathbb R$. Если оно будет не изоморфным, а просто мощности континуума, на нём же всё равно операции сложения и умножения будут определены в соответствии с определёнными на $\mathbb C$. А четвёртая аксиома в Вашей формулировке не позволит выбрать в качестве подполя подполя $\mathbb C$ что-то иное, кроме $Y$.

mihaild в сообщении #1605015 писал(а):

epros в сообщении #1605012 писал(а):

1) $\mathbb{C}$ - поле, в котором уравнение $x^2+1=0$ разрешимо, содержащее подполе $\mathbb{R}$.

А что значит "содержит подполе $\mathbb R$"? "Содержит подполе, в котором при $c \neq 0$ ровно одно из уравнений $x^2 = c$ и $x^2 = -c$ разрешимо; элементы, для которых оно разрешимо, называются положительными, и выполнены все какие положены свойства порядка, включая полноту"? Тогда второе требование невыполнимо.

Это значит, что помимо операций сложения и умножения, унаследованных от поля $\mathbb{C}$, на нём определён линейный порядок, согласованный с этими операциями, а также выполняется аксиома непрерывности. Не знаю, следует ли отсюда то, что Вы говорите.

mihaild в сообщении #1605015 писал(а):

epros в сообщении #1605012 писал(а):

Но если аксиоматика говорит нам, что одним из подполей $\mathbb{C}$ является поле, на котором выполняется вся аксиоматика $\mathbb{R}$

Если Вы в аксиоматику $\mathbb R$ включаете порядок сам по себе, то непонятно, что вообще значит "на подполе выполняется эта аксиоматика". Если Вы выражаете порядок через арифметику, то подполей, на которых выполнены все нужные свойства порядка при таком введении, куча.

Я понимаю. Но мы должны выбрать из этой кучи одно (любое) подполе, назвать его $\mathbb R$, и применять аксиому (2) (о минимальности) именно к нему, игнорируя существование других, изоморфных к нему подполей.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1605060 писал(а):

надо же было, наверное, вместо $x_1+x_2=x_3 \leftrightarrow f(x_1)+f(x_2)=f(x_3)$ написать $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$.

Так ведь ничего не поменялось.
$f(x_1 + x_2) = f(x_3)$ т.к. $x_1 + x_2 = x_3$

-- 13.08.2023, 13:17 --

mihaild, по-моему в определении epros-а все в порядке, и будет именно изоморфизм, а не просто элементарная эквивалентность.

[mihaild]

epros в сообщении #1605060 писал(а):

Ой, надо же было, наверное, вместо $x_1+x_2=x_3 \leftrightarrow f(x_1)+f(x_2)=f(x_3)$ написать $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$. Вы ведь об этом?

Нет, я о том, что без множеств у Вас вообще никакой $f$ нет.

epros в сообщении #1604978 писал(а):

Но можно выразиться и на языке чистой логики (исчисления предикатов) - в терминах: "Для любого $y$, обладающего свойством $Y$, существует $x$, обладающий свойством $X$, такой, что...".

epros в сообщении #1605060 писал(а):

Это сможет как-то помешать? Вы определяли $Y$, изоморфное $\mathbb R$. Если оно будет не изоморфным, а просто мощности континуума, на нём же всё равно операции сложения и умножения будут определены в соответствии с определёнными на $\mathbb C$.

Ну потому что я сейчас возьму первое попавшееся алгебраически замкнутое континуальное поле $X$, можно даже ненулевой характеристики, возьму в нём первое попавшееся континуальное подполе $Y$, и с Вашим подоходом получу что $X$ - это комплексные числа.

epros в сообщении #1605060 писал(а):

Это значит, что помимо операций сложения и умножения, унаследованных от поля $\mathbb{C}$, на нём определён линейный порядок, согласованный с этими операциями, а также выполняется аксиома непрерывности

Определен или может быть определен?
Первый вариант мне непонятен - в каком вообще смысле на подмножестве поля, где порядка не было, определен порядок.
Во втором - да, это то, что я пишу.

epros в сообщении #1605060 писал(а):

Но мы должны выбрать из этой кучи одно (любое) подполе, назвать его $\mathbb R$, и применять аксиому (2) (о минимальности) именно к нему

Именно про это я и говорил:

mihaild в сообщении #1604867 писал(а):

надо просто определять комплексные числа как набор $(X, \textcolor{green}{Y}, +_X, \cdot_X)$

Т.е. не писать отдельно 2ю аксиому "существует подполе" и отдельно 4 "не существует собственных подполей, удовлетворяющих 1-3". А до всех аксиом выделить подмножество, и сказать, что 2) оно подполе; 4) не существует собственных подполей, его содержащих и удовлетворяющих 1-3.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1605066 писал(а):

без множеств у Вас вообще никакой $f$ нет.

Но мы же в "чистых предикатах" формальной теории можем написать утверждение, которое будет интерпретироваться как существование биекции. Разумеется, это утверждение будет нечитаемой строчкой из сотни-другой символов, доступных нашей формальной теории, но формально же так можно. С изоморфизмом - аналогично. Никаких $f(x_1 + x_2)$ в нем, разумеется, не будет. Его определение тоже будет являться нечитаемой строчкой из пары сотен символов, но формально вроде как все в порядке.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1604945 писал(а):

epros в сообщении #1604937 писал(а):

По-моему, в аксиоматике достаточно ограничиться словами "содержит подполе $\mathbb{R}$"

По-моему нет. Потому что содержит много таких подполей.

Я в аксиоматике (условии 1) так и написал, что поле комплексных чисел должно содержать подполе действительных чисел, но у меня там еще два условия, которые гарантируют, что любой элемент $z$ поля комплексных чисел можно единственным образом представить в виде $z=a+bi$, где $a,b \in R$.

vicvolf в сообщении #1605010 писал(а):

Пусть имеется поле действительных чисел $F$ с множеством $R$. Тогда $K$ является полем комплексных чисел c множеством $C$, если выполняются условия:
1. $F$ является подполем $K$.
2. Cуществует элемент $i \in C$ такой, что $i^2=-1$.
3. Каждый элемент $z \in C$ представим в виде $z=a+bi$, где $a,b \in R$.

Это просто доказывается в Предложении 7.2 на стр. 159 Куликова "Алгебра и теория чисел" https://uch-lit.ru/matematika-2/dlya-st ... v908094722

mihaild в сообщении #1604945 писал(а):

epros в сообщении #1604937 писал(а):

А зачем нужно уточнение "изоморфно $\mathbb R$ как полю"? Означает ли это, что $Y$ должно быть полем, но не обязательно непрерывным упорядоченным полем?

Потому что в этот момент я не хочу ничего говорить о порядке. Сложение и умножение на комплексных числах уже есть (раз это поле), значит их понятно как определять на $Y$. А больше ничего не понадобится.

Указанные условия также гарантируют изоморфизм полей, оставляющий неизмененными все элементы поля действительных чисел - Теорема 7.4 на стр.161 там же.
Непонятно - зачем снова изобретать велосипед.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1605012 писал(а):

Только зачем Вам это?

Так это же Ваш подход - определять биекцию и изоморфизм не через обычные функции между двумя множествами, а через вот эти все упражнения с аксиоматикой. Я-то рад своей теоретико-множественной индоктринации, но в рамках этой темы я временно от нее отказался, чтобы понять Ваш способ.

Итак, мы на данный момент пришли к общему знаменателю, что есть формальная теория, никаких множеств нету, биекция и изоморфизм определяются чисто в предикатах формальной теории.

Теперь вернемся к определению комплексных чисел (по Вашему методу). Вы утверждаете, что в комплексных числах есть подполе, изоморфное $\mathbb R$ (Вы даже используете слово "подполе" в аксиоматике)

В связи с этим вопрос: как определяется "подполе"?

[EminentVictorians]

Гипотеза: никаких подполей у Вас нету (соответсвтенно они никак и не определяются). Скорее всего, действительные числа из комплексных у Вас выделяются предикатом "$x$ - действительное число". Если все так, то хотелось бы узнать, как конкретно Вы определяете этот предикат.

[epros]

mihaild в сообщении #1605066 писал(а):

Нет, я о том, что без множеств у Вас вообще никакой $f$ нет.

Это почему? "Множество" - это просто слово, смысл которого определяется аксиоматикой. Когда мы говорим, что "$f$ - взаимно однозначное отображение элементов одного множества (или класса) на другое", то не используем никакую аксиоматику теории множеств. Т.е. мы имеем право трактовать эту фразу как: "$f$ - это взаимно однозначная функция от объектов, обладающих одним свойством, имеющая значениями объекты, обладающие другим свойством", где слова "функция", "объекты" и "свойства" понимаются как элементы синтаксиса языка исчисления предикатов. Остаётся только в этом синтаксисе записать определение того, что значат слова "взаимно однозначная".

EminentVictorians пишет, что это определение "будет нечитаемой строчкой из сотни-другой символов", но на самом деле две аксиомы - о сюръективности и об инъективности $f$ - на языке исчисления предикатов записываются довольно просто, что и демонстрирует статья википедии про биекцию. Остаётся только заменить выражения вида $x \in X$, которые неявно апеллируют к теории множеств, на выражения вида $X(x)$, которые просто соответствуют синтаксису исчисления предикатов, где $X$ - унарный предикатный символ, а $x$ - объектная переменая.

mihaild в сообщении #1605066 писал(а):

Ну потому что я сейчас возьму первое попавшееся алгебраически замкнутое континуальное поле $X$, можно даже ненулевой характеристики, возьму в нём первое попавшееся континуальное подполе $Y$, и с Вашим подоходом получу что $X$ - это комплексные числа.

Уфф, с большим трудом, но кажется понял о чём речь. Я вижу, что осмысление примеров континуальных полей ненулевой характеристики мне не по зубам, но я по крайней мере осознал, что они существуют.

mihaild в сообщении #1605066 писал(а):

Определен или может быть определен?
Первый вариант мне непонятен - в каком вообще смысле на подмножестве поля, где порядка не было, определен порядок.
Во втором - да, это то, что я пишу.

Я понимаю так, что можно говорить "определён" в том смысле, что есть аксиоматика, согласно которой порядок должен быть. Но в смысле построения конкретной модели об этом можно говорить "может быть определён", потому что заранее неизвестно, какая окажется модель порядка, соответствующего данной аксиоматике.

mihaild в сообщении #1605066 писал(а):

Определен или может быть определен?
Первый вариант мне непонятен - в каком вообще смысле на подмножестве поля, где порядка не было, определен порядок.
Во втором - да, это то, что я пишу.

Ну, я старался соответствовать Вашему подходу.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1605078 писал(а):

Так это же Ваш подход - определять биекцию и изоморфизм не через обычные функции между двумя множествами

Мой подход заключается в том, что "обычные функции" и "множества" в конечном итоге являются понятиями, определяемыми аксиоматикой. Не надо противопоставлять мой подход обычным функциям между множествами. Просто я полагаю, что когда мы говорим про "обычные функции между двумя множествами" мы не должны заметать аксиоматику под ковёр, а должны иметь в виду, что при необходимости её всегда можно достать.

EminentVictorians в сообщении #1605078 писал(а):

В связи с этим вопрос: как определяется "подполе"?

EminentVictorians в сообщении #1605089 писал(а):

Скорее всего, действительные числа из комплексных у Вас выделяются предикатом "$x$ - действительное число". Если все так, то хотелось бы узнать, как конкретно Вы определяете этот предикат.

Да так же, наверное, как и у Вас: Подполе поля $X$ - это подмножество $X$, на котором операции поля определены таким образом, что их результат совпадает с результатом операции на поле $X$. Может быть это всё "слишком длинно" с Вашей точки зрения записывается в виде формулы языка исчисления предикатов, но ведь записывается же.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1605128 писал(а):

Мой подход заключается в том, что "обычные функции" и "множества" в конечном итоге являются понятиями, определяемыми аксиоматикой.

По-моему, у Вас все проще: если формальная теория множеств, то там есть множества; если формальная теория чего-то другого (где нету множеств), то там нету множеств.

epros в сообщении #1605128 писал(а):

Подполе поля $X$ - это подмножество $X$, на котором операции поля определены таким образом, что их результат совпадает с результатом операции на поле $X$.

Так не пойдет. У нас, как мы уже неоднократно выяснили, есть просто формальная теория комплексных чисел, в которой множеств нету.

epros в сообщении #1605128 писал(а):

Может быть это всё "слишком длинно" с Вашей точки зрения записывается в виде формулы языка исчисления предикатов, но ведь записывается же.

Биекция и изоморфизм - действительно записываются, не спорю. Я согласен как минимум потому, что Вы явно объяснили, как они записываются. С подполем пока не объяснили.

[mihaild]

epros в сообщении #1605112 писал(а):

Я вижу, что осмысление примеров континуальных полей

Да очень просто: рациональные функции от континуального числа переменных (но каждая функция зависит только от конечного) над любым конечным полем.

epros в сообщении #1605112 писал(а):

Т.е. мы имеем право трактовать эту фразу как: "$f$ - это взаимно однозначная функция от объектов, обладающих одним свойством, имеющая значениями объекты, обладающие другим свойством", где слова "функция", "объекты" и "свойства" понимаются как элементы синтаксиса языка исчисления предикатов.

А это не получится функция только от выразимых чисел?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1605130 писал(а):

По-моему, у Вас все проще: если формальная теория множеств, то там есть множества; если формальная теория чего-то другого (где нету множеств), то там нету множеств.

Ничто не мешает говорить об объектах теории на метаязыке, называя их "множествами", если метатеорией подразумевается теория множеств.

EminentVictorians в сообщении #1605130 писал(а):

Так не пойдет. У нас, как мы уже неоднократно выяснили, есть просто формальная теория комплексных чисел, в которой множеств нету.

Ладно, переведём фразу: "На $Y$ операции поля определены таким образом, что их результат совпадает с результатом операции на поле $X$", - как: $\forall x_1,x_2~Y(x_1) \wedge Y(x_2) \to x_1 +_Y x_2 = x_1 +_X x_2$.

mihaild в сообщении #1605136 писал(а):

А это не получится функция только от выразимых чисел?

Я не вижу разницы с формулировкой через "множества". Фраза: "$f$ - отображение элементов множества $X$ на множество $Y$", - вроде бы формализуется как: $\forall x~x \in X \to f(x) \in Y$.
Чтобы не использовать значок бинарного предиката $\in$ из сигнатуры теории можеств, эту фразу можно переписать как: $\forall x~X(x) \to Y(f(x))$. Если в первом варианте $X$ - символ объектной константы, а во втором варианте $X$ - унарный предикатный символ, то и $x \in X$ (в первом варианте), и $X(x)$ (во втором варианте) представляют собой унарные предикаты. Так что формулы буквально эквивалентны с точки зрения любой интерпретации.

[mihaild]

А, ну если вы во втором порядке формализуете, то действительно неважно.