Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[mihaild]

epros в сообщении #1604540 писал(а):

По моим понятиям изоморфизм должен сохранять всю структуру. А она в данном случае определяется всей аксиоматикой действительных чисел.

Если требовать сохранения порядка, то тогда непонятно, в каком смысле $\mathbb R$ является подструктурой $\mathbb C$, на котором порядка нет.
Я правильно понимаю, что Вы хотите называть "вещественными числами" набор $(X, +_X, \cdot_X, <_X)$, такой что нужные свойства выполняются? Если да, то что значит "$\mathbb C$ содержит подполе, изоморфное вещественным числам"?

epros в сообщении #1604540 писал(а):

Значит ли это, что проблему можно решить, добавив в аксиоматику определение топологии на $\mathbb{C}$?

Уточните, каким образом.
У $\mathbb C$, как топологического поля, есть ровно одно замкнутое подполе, изоморфное вещественным числам. Но тогда определение получается еще более странным.

[Red_Herring]

Из этой дискуссии я пришёл к выводу: умножать комплексное число на действительное можно, но не всем

[epros]

mihaild в сообщении #1604552 писал(а):

Я правильно понимаю, что Вы хотите называть "вещественными числами" набор $(X, +_X, \cdot_X, <_X)$, такой что нужные свойства выполняются? Если да, то что значит "$\mathbb C$ содержит подполе, изоморфное вещественным числам"?

Да. Как я понимаю, в аксиоме 3 содержится конъюнкция двух утверждений: что существующее нечто является подполем и что оно изоморфно $\mathbb{R}$. Что тут не так со смыслом? Ясно, что порядок определён не на всяком подполе, но на этом - должен быть определён.

mihaild в сообщении #1604552 писал(а):

epros в сообщении #1604540 писал(а):

Значит ли это, что проблему можно решить, добавив в аксиоматику определение топологии на $\mathbb{C}$?

Уточните, каким образом.
У $\mathbb C$, как топологического поля, есть ровно одно замкнутое подполе, изоморфное вещественным числам. Но тогда определение получается еще более странным.

Сходу не скажу, это не моя аксиоматика. Но моё понимание комлексных чисел предполагает расстояния между ними, выражаемые модулем разности. Мне кажется, что именно отсутствие этого в аксиоматике позволяет вместо $\pi + i \cdot 0$ подставить что-то другое.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1604552 писал(а):

набор $(X, +_X, \cdot_X, <_X)$

А можете чуть подробнее объяснить, что это за "набор"? Я такие записи трактую, как "упорядоченная четверка, первым элементом в списке которой является множество $X$, называемое носителем, вторым элементом является функция $+:X^2 \to X$, называемая операцией сложения, третьим элементом является функция $\cdot :X^2 \to X$, называемая операцией умножения, а четвертым элементом является множество $<$ такое, что $< \subset X^2$ и называемое отношением строго порядка меньше". У Вас также?

[mihaild]

epros в сообщении #1604576 писал(а):

что существующее нечто является подполем и что оно изоморфно $\mathbb{R}$. Что тут не так со смыслом?

То, что "изоморфное подполе" ничего не говорит про порядок. Изоморфизм полей предполагает сохранение сложение и умножения, а не каких-то дополнительных свойств.

epros в сообщении #1604576 писал(а):

Но моё понимание комлексных чисел предполагает расстояния между ними, выражаемые модулем разности

Ну это всё разные штуки.
У $\mathbb C$ как поля куча нетривиальных эндоморфизмов. У $\mathbb C$ как топологического поля - нет.
Это всё было по поводу определения $\mathbb C$ как минимального поля, содержащего $\mathbb R$, в котором уравнение $x^2 + 1 = 0$ разрешимо - тут разобрались же?

EminentVictorians в сообщении #1604577 писал(а):

А можете чуть подробнее объяснить, что это за "набор"?

Кортеж из четырех элементов, как вы пишете.

[EminentVictorians]

epros, тогда почему Вы отвечаете "Да"? У Вас же действительные числа - это совсем другое.

[epros]

mihaild в сообщении #1604579 писал(а):

epros в сообщении #1604576 писал(а):

что существующее нечто является подполем и что оно изоморфно $\mathbb{R}$. Что тут не так со смыслом?

То, что "изоморфное подполе" ничего не говорит про порядок. Изоморфизм полей предполагает сохранение сложение и умножения, а не каких-то дополнительных свойств.

Я не вижу здесь слов про изоморфизм полей и, тем более, уточнения о том, что он распространяется только на структуры поля. Я тут увидел слова про изоморфизм всей структуре $\mathbb{R}$ и отдельно - о том, что это подполе.

Собственно, я уже понял, что линейный порядок (который на этом подполе так или иначе нужно будет определить), ему унаследовать неоткуда, поэтому мы можем его построить довольно причудливым образом.

mihaild в сообщении #1604579 писал(а):

Это всё было по поводу определения $\mathbb C$ как минимального поля, содержащего $\mathbb R$, в котором уравнение $x^2 + 1 = 0$ разрешимо - тут разобрались же?

Может я что-то упустил? Вы сейчас ведь приводите свой вариант аксиоматики для $\mathbb{C}$? Сравнительно с вариантом топикстартера я вижу следующее:
Утверждение о том, что это поле - есть в аксиоме 1.
Утверждение о мнимальности - есть в аксиоме 4.
Утверждение о разрешимости уравнения - это то же самое, что аксиома 2 о существовании мнимой единицы (только более строго сформулировано).
Утверждение о наличии $\mathbb{R}$ в качестве подполя - есть в аксиоме 3.

В чём разница? Утверждения о наличии на $\mathbb{C}$ метрики или хотя бы топологии я всё равно не вижу.

-- Ср авг 09, 2023 17:09:27 --

EminentVictorians в сообщении #1604580 писал(а):

epros, тогда почему Вы отвечаете "Да"? У Вас же действительные числа - это совсем другое.

Что другое?

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1604587 писал(а):

Что другое?

Вы определяете действительные числа как формальную теорию. Сейчас Вы соглашаетесь с тем, что действительные числа - это упорядоченный кортеж из четырех множеств. Это разные вещи же. Вы же сами говорили, что никаких множеств в определении действительных чисел нету.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1604588 писал(а):

Вы определяете действительные числа как формальную теорию. Сейчас Вы соглашаетесь с тем, что действительные числа - это упорядоченный кортеж из четырех множеств. Это разные вещи же. Вы же сами говорили, что никаких множеств в определении действительных чисел нету.

Нет, это не другое. За этими обозначениями стоит известная аксиоматика: Аксиомы поля за операциями сложения и умножения, аксиомы линейного порядка, согласованного со сложением и умножением, за отношением порядка, аксиома непрерывности за всем вместе. Просто здесь только обозначения операций, а определения - в аксиомах.

[EminentVictorians]

epros, вот здесь:

mihaild в сообщении #1604552 писал(а):

набор $(X, +_X, \cdot_X, <_X)$

множества. Не какие-то обозначения, подчиняющиеся какой-то аксиоматике, а самые что ни на есть множества.

[mihaild]

epros в сообщении #1604587 писал(а):

Я не вижу здесь слов про изоморфизм полей и, тем более, уточнения о том, что он распространяется только на структуры поля.

Я вижу:

epros в сообщении #1604576 писал(а):

нечто является подполем и что оно изоморфно $\mathbb{R}$

Обычно, когда говорят "что-то там - подполе изоморфное чему-то", то подразумевается изоморфизм подполей. Иначе нужно говорить "упорядоченное подполе".

epros в сообщении #1604587 писал(а):

Вы сейчас ведь приводите свой вариант аксиоматики для $\mathbb{C}$?

Нет, я утверждаю, что в аксиоматизации ТС нужно уточнять четвертый пункт, потому что если его наивно сформулировать как "не содержащее собственных подполей, отвечающих аксиомам 1-3", то получившаяся система будет противоречива (ну точнее несовместна с аксиомой выбора).

[epros]

mihaild в сообщении #1604602 писал(а):

в аксиоматизации ТС нужно уточнять четвертый пункт, потому что если его наивно сформулировать как "не содержащее собственных подполей, отвечающих аксиомам 1-3", то получившаяся система будет противоречива (ну точнее несовместна с аксиомой выбора.

Хорошо, а как именно уточнять?

-- Ср авг 09, 2023 20:29:59 --

EminentVictorians в сообщении #1604600 писал(а):

Не какие-то обозначения, подчиняющиеся какой-то аксиоматике, а самые что ни на есть множества.

Ну и что? Практически всё, что упоминается в математике, может быть названо "множеством" (иногда - "классом"). Это традиционно установившаяся терминология, неявно апеллирующая к тому, что метатеорией у нас будет теория множеств. Когда Вам будут объяснять, что такое "непрерывное упорядоченное поле", то наверняка тоже начнут с того, что это "множество". Но суть определения - в аксиомах: поля, линейного порядка и непрерывности.

[mihaild]

epros в сообщении #1604603 писал(а):

Хорошо, а как именно уточнять?

Например сказать, что наше поле изоморфно подполю любого поля, удовлетворяющего 1-3. Или что у него минимальная мощность среди всех полей, удовлетворяющих 1-3.

[KhAl]

Ха. Так и $\mathbb{C}(t)$ подойдёт.

[mihaild]

А, там алгебраическую замкнутость не потребовали. Без неё не знаю, как минимальность потребовать, потому что есть $K_1 \subsetneq K_2 \subsetneq K_3$, все удовлетворяющие аксиомам 1-3, такие что $K_1$ и $K_3$ изоморфны $\mathbb C$ (как поля), а $K_2$ нет.