Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[KhAl]

epros писал(а):

Не знаю, как это связано со сказанным выше, но минимальность понимается стандартным образом: Из построенного множества нельзя ничего исключить, не нарушив аксиоматику.

Ну так всегда можно исключить, не нарушив аксиоматику.

-- 07.08.2023, 17:24 --

Цитата:

Берете любое из этих подполей и называете "множеством действительных чисел".

и получаете $\mathbb{C} \neq \mathbb{R} + i\mathbb{R}$, потому что взятое Вами подполе слишком маленькое.

Алгебраическое замыкание $\mathbb{C}(t)$ (неочевидно) изоморфно $\mathbb{C}$, при этом (очевидно) содержит внутри себя вещественное подполе такое, что $\overline{\mathbb{C}(t)} \neq \mathbb{R} + i\mathbb{R}$

[tolstopuz]

epros в сообщении #1604289 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1604286 писал(а):

1. Доказать, что все элементы конструкции могут быть представлены в виде $a+ib$, где $a,b\in\mathbb{R}$.

Тут нам аксиома 4 в помощь.

Наоборот. Мы должны проверить выполнение аксиомы $4$, а не привлечь ее в помощь. Поэтому мы в пункте $2$ проверяем, что элементы вида $a+ib$ необходимы, а в пункте $1$ - что их достаточно.

epros в сообщении #1604289 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1604286 писал(а):

Не проще ли начать с $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, задать сложение и умножение и сразу перейти к пункту 4?

А запись $a+ib$ - разве не из того же самого $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$?

Вообще другое. В вашем случае мы один из элементов, не принадлежащий $\mathbb{R}$, называем $i$ и постулируем, что $i^2=-1$, а дальше работаем с $i$ как с неведомой фигней, раскрывая скобки по аксиомам поля и используя это соотношение. И в доказываем пункт $1$. То есть без этого доказательства у нас нет определенной формы записи для элемента полученной структуры, только по его завершению мы говорим: вот видите, можно не рассматривать произвольные формулы, содержащие $i$, а ограничиться выражениями вида $a+ib$, потому что их сумму и произведение можно привести к тому же виду.

Способ с $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ - постулируем сложение и умножение пар $(a,b)$, делаем неявное вложение $a\mapsto(a,0)$, убеждаемся, что по этим правилам $(0,1)^2=(-1,0)$, называем $(0,1)$ буквой $i$ и окончательно видим, что $a+ib=(a,b)$.

[epros]

KhAl в сообщении #1604292 писал(а):

Цитата:

Не знаю, как это связано со сказанным выше, но минимальность понимается стандартным образом: Из построенного множества нельзя ничего исключить, не нарушив аксиоматику.

Ну так всегда можно исключить, не нарушив аксиоматику.

А попробуйте, это даже интересно.

KhAl в сообщении #1604292 писал(а):

Цитата:

Берете любое из этих подполей и называете "множеством действительных чисел".

и получаете $\mathbb{C} \neq \mathbb{R} + i\mathbb{R}$, потому что взятое Вами подполе слишком маленькое.

С чего бы это? Оно по условию не может быть меньше $\mathbb{R}$. И сначала определите его как $\mathbb{R}$, а потом уже стройте $\mathbb{R} + i\mathbb{R}$, тогда точно никак не получите, что оно не равно $\mathbb{C}$.

[Alexey Rodionov]

KhAl в сообщении #1604290 писал(а):

Всё не так страшно. При построении модели мы просто по очереди проверяем выполнение всех аксиом, что в большинстве своём делается элементарно.

Как-то все подозрительно просто получается. Модельный кружок вообще закрывать можно. Я сейчас не кусаюсь, но выражаю сугубую озабоченность.

[tolstopuz]

epros в сообщении #1604297 писал(а):

И сначала определите его как $\mathbb{R}$, а потом уже стройте $\mathbb{R} + i\mathbb{R}$

Ну вот, от скрещивания разных свойств в одном поле вернулись к расширению $\mathbb{R}$, как в традиционном подходе теории полей. Так держать!

[epros]

tolstopuz в сообщении #1604293 писал(а):

epros в сообщении #1604289 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1604286 писал(а):

1. Доказать, что все элементы конструкции могут быть представлены в виде $a+ib$, где $a,b\in\mathbb{R}$.

Тут нам аксиома 4 в помощь.

Наоборот. Мы должны проверить выполнение аксиомы $4$, а не привлечь ее в помощь.

Аксиома 4 говорит нам, что нет таких комплексных чисел, которые не представляются как $a+ib$. Это нужно проверить. Именно это Вы и сказали.

tolstopuz в сообщении #1604293 писал(а):

epros в сообщении #1604289 писал(а):

А запись $a+ib$ - разве не из того же самого $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$?

Вообще другое.
...
Способ с $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ - постулируем сложение и умножение пар $(a,b)$

Запись $a+ib$ и содержит пару из $a$ и $b$. "Сложение пар" не нужно отдельно постулировать, поскольку при сложении двух таких записей правила автоматически определяются аксиомами поля.

[KhAl]

epros писал(а):

А попробуйте, это даже интересно.

А я это уже и сделал, для случая, когда поле — само $\mathbb{C}$. В других случаях всегда можно выделить подполе, изоморфное $\mathbb{C}$.

$\mathbb{C}$ удовлетворяет аксиомам 1-3. Есть изоморфизм $f{:}\; \overline{\mathbb{C}(t)} \to \mathbb{C}$. $f(\mathbb{C})$ суть собственное подполе в $\mathbb{C}$, удовлетворяющее 1-3.

[tolstopuz]

epros в сообщении #1604301 писал(а):

"Сложение пар" не нужно отдельно постулировать, поскольку при сложении двух таких записей правила автоматически определяются аксиомами поля и в конце концов приходим к выводу, что пар достаточно.

Я это и сказал про ваш способ - работаем с $i$ как с неведомой фигней по аксиомам поля. В стандартном способе через $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, см., например, Рудина, сложение и умножение постулируется.

epros в сообщении #1604297 писал(а):

Оно по условию не может быть меньше $\mathbb{R}$.

У нас есть $\mathbb{R}\cong\mathbb{R'}\subsetneq\mathbb{C}$. И мы можем сделать $\mathbb{R}\cong\mathbb{R''}\subsetneq\mathbb{C'}\subsetneq\mathbb{C}$, что тоже не противоречит аксиомам $1-3$ ТС, но в некотором смысле минимальнее.

[Red_Herring]

А не пора ли создать отдел ПУЗ(м) ("Помогите Усложнить / Запутаться (математика)") и перенести эту тему туда?

[KhAl]

(Red_Herring)

лично в своё оправдание могу сказать, что я защищаю точку зрения, что тс сам своё определение не понимает, чтобы совать его студентам

[mihaild]

KhAl в сообщении #1604292 писал(а):

Ну так всегда можно исключить, не нарушив аксиоматику

После того, как зафиксировали вложение $\mathbb R$ в наше поле - нельзя.

[epros]

Alexey Rodionov в сообщении #1604298 писал(а):

Цитата:

Всё не так страшно. При построении модели мы просто по очереди проверяем выполнение всех аксиом, что в большинстве своём делается элементарно.

Как-то все подозрительно просто получается. Модельный кружок вообще закрывать можно. Я сейчас не кусаюсь, но выражаю сугубую озабоченность.

Я имел в виду, что в этой аксиоматике не так много аксиом и они все легко проверяемые, по крайней мере, на примере модели из конструкций $a+ib$. В некоторых других случаях модельный кружок может быть очень увлекательным.

[KhAl]

mihaild, разумеется. Но это надо указывать явно, а для этого надо изнасиловать мозги студентов. И в итоге выйдет ничем не лучше, чем сразу постулировать $\mathbb{C} = \mathbb{R} + i\mathbb{R}$

p.s. я сказал всё, что хотел, тему покидаю.

[tolstopuz]

mihaild в сообщении #1604306 писал(а):

KhAl в сообщении #1604292 писал(а):

Ну так всегда можно исключить, не нарушив аксиоматику

После того, как зафиксировали вложение $\mathbb R$ в наше поле - нельзя.

В условии нет упоминания о том, что все вложения $\mathbb{R}$ должны быть одинаковыми:

Alexey Rodionov в сообщении #1603929 писал(а):

Поле комплексных чисел C это 1) Поле, 2)Содержащее мнимую единицу, 3) Содержащее подполе изоморфное R. 4) Из всех полей обладающих такими свойствами поле С минимально.

Когда я слышу слова "коммутативная диаграмма", я хватаюсь за пистолет
Добрым словом и коммутативной диаграммой можно добиться гораздо большего, чем просто добрым словом.

[epros]

KhAl в сообщении #1604302 писал(а):

epros писал(а):

А попробуйте, это даже интересно.

А я это уже и сделал, для случая, когда поле — само $\mathbb{C}$. В других случаях всегда можно выделить подполе, изоморфное $\mathbb{C}$.

Я не знаю из какого $\mathbb{C}$ Вы выделяете подполе, но Вы попробуйте выделить из множества конструкций $a+ib$ строгое подполе, удовлетворяющее всем аксиомам.