Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[Alexey Rodionov]

epros в сообщении #1604142 писал(а):

Берёте то самое подполе, которое согласно аксиоматике (пункт 3) изоморфно $\mathbb{R}$, обозначаете его элементы как $a$, $b$ и т.п. Берёте ту самую мнимую единицу, которая согласно аксиоматике (пункт 2) содержится в поле $\mathbb{C}$, обозначаете её как $i$. Убеждаетесь в соответствии с аксиоматикой, что поле $\mathbb{C}$ состоит из всех тех и только тех элементов, которые можно представить как $a+ib$.

И моделей никаких не нужно.

[Red_Herring]

tolstopuz в сообщении #1604096 писал(а):

Оно и с точки зрения алгебраиста максимально неестественно. Алгебраист начнет с $\mathbb{R}$ и присоединит к нему корень многочлена $x^2+1=0$

И именно это определение надо давать нематематикам и даже "нечистым" математикам.

tolstopuz в сообщении #1604096 писал(а):

$\mathbb{R}[i]/(i^2+1)$. Кольцо многочленов как раз и является местом обитания тех самых "формальных выражений" с "неведомой фигней".

А это уточнение для "чистых" математиков, причём, возможно, даже в более позднем семестре.

Всё остальное "от лукавого".

[tolstopuz]

Alexey Rodionov в сообщении #1604269 писал(а):

epros в сообщении #1604142 писал(а):

Берёте то самое подполе, которое согласно аксиоматике (пункт 3) изоморфно $\mathbb{R}$, обозначаете его элементы как $a$, $b$ и т.п. Берёте ту самую мнимую единицу, которая согласно аксиоматике (пункт 2) содержится в поле $\mathbb{C}$, обозначаете её как $i$. Убеждаетесь в соответствии с аксиоматикой, что поле $\mathbb{C}$ состоит из всех тех и только тех элементов, которые можно представить как $a+ib$.

И моделей никаких не нужно.

А откуда известно, что множество таких элементов образует поле? Хотя бы в существовании обратного для каждого ненулевого элемента надо бы убедиться. И вообще непонятно, почему из $a+ib=c+id$ следует $a=c$ и $b=d$, а то вдруг, скажем, $3+4i=0$. С модулями такое бывает, например, $Q\otimes_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/{5\mathbb{Z}})=0$.

[EminentVictorians]

tolstopuz в сообщении #1604275 писал(а):

А откуда известно, что множество таких элементов образует поле?

А нету никакого "множества". Есть формальная теория комплексных чисел. Это про строчки и символы, а не про множества.

[tolstopuz]

EminentVictorians в сообщении #1604277 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1604275 писал(а):

А откуда известно, что множество таких элементов образует поле?

А нету никакого "множества". Есть формальная теория комплексных чисел. Это про строчки и символы, а не про множества.

Вы сейчас обсуждаете ту же конструкцию ТС, что и я, или что-то свое? Если вам удобнее говорить на языке строчек и символов, поставим вопрос так: а вдруг существует последовательность правил переписывания строчек символов, превращающая строчку символов $3+4i$ в строчку символов $0$?

[EminentVictorians]

tolstopuz в сообщении #1604278 писал(а):

Вы сейчас обсуждаете ту же конструкцию ТС, что и я, или что-то свое?

Я про то, о чем говорит epros, и с чем соглашается (или не соглашается - его сложно понять) ТС. Вот про эту историю с $a+bi$.

-- 07.08.2023, 15:28 --

конструкция epros-а, а не ТС-а

[tolstopuz]

EminentVictorians в сообщении #1604279 писал(а):

конструкция epros-а, а не ТС-а

Да, конструкция epros по аксиоматике ТС. Они строят поле, а поле - это множество с дополнительной структурой.

[EminentVictorians]

tolstopuz в сообщении #1604280 писал(а):

а поле - это множество с дополнительной структурой.

tolstopuz, Вы же понимаете, что уж я-то точно согласен с тем, что поле - это множество с дополнительной структурой

Но epros стоит на совершенно другом основании, чем Вы или я. Нету никакого множества. Есть только формальная теория комплексных чисел. Чисто синтаксическая конструкция без всяких смыслов, содержания и тп. Множество может появиться на этапе интерпретации. Но ее пока нету.

epros, все верно? Потому что прежде чем комментировать Ваш пост, хочу убедиться, что понял Вас правильно.

[epros]

tolstopuz в сообщении #1604267 писал(а):

А как убедиться, что существует модель, удовлетворяющая четырем аксиомам ТС?

Ну так ведь прямо в аксиоматике доказуемо, что поле состоит из всех тех и только тех элементов, которые представляются как $a+ib$, где $a$ и $b$ - элементы подполя действительных чисел. Отсюда существование модели достаточно очевидно.

-- Пн авг 07, 2023 16:57:40 --

tolstopuz в сообщении #1604275 писал(а):

И вообще непонятно, почему из $a+ib=c+id$ следует $a=c$ и $b=d$,

Так ведь согласно аксиоматике поля.

tolstopuz в сообщении #1604275 писал(а):

а то вдруг, скажем, $3+4i=0$.

А это, соответственно, в силу той же аксиоматики поля неверно.

-- Пн авг 07, 2023 17:12:55 --

EminentVictorians в сообщении #1604283 писал(а):

Нету никакого множества. Есть только формальная теория комплексных чисел. Чисто синтаксическая конструкция без всяких смыслов, содержания и тп. Множество может появиться на этапе интерпретации. Но ее пока нету.

epros, все верно? Потому что прежде чем комментировать Ваш пост, хочу убедиться, что понял Вас правильно.

Насчёт "конструкции без всяких смыслов" - это Вы лишку хватили. В аксиоматике самой по себе "смысла" достаточно. Но в том, что "множества" никакие не нужны и появляются лишь на этапе интерпретации, это верно.

В конце концов, Дедекиндовы сечения или, скажем классы эквивалентности фундаментальных последовательностей - это совершенно воображаемые сущности. В природе в виде каких-нибудь камешков или счётных палочек их не существует. Так что я не вижу, чем Вы так уж сильно облегчите себе жизнь, интерпретировав определяемый аксиоматикой абстрактный объект "комплексное число" или "действительное число" как воображаемый объект некоего специфического типа - Дедекиндова сечения или чего-то ещё.

[tolstopuz]

epros в сообщении #1604284 писал(а):

tolstopuz в сообщении #1604275 писал(а):

И вообще непонятно, почему из $a+ib=c+id$ следует $a=c$ и $b=d$,

Так ведь согласно аксиоматике поля.

Да, это доказывается в одну строчку. Но в сумме, чтобы доказать существование объекта, удовлетворяющего аксиомам ТС, "согласно аксиоматике поля" надо проделать немалую работу:

1. Доказать, что все элементы конструкции могут быть представлены в виде $a+ib$, где $a,b\in\mathbb{R}$.
2. Доказать, что любой элемент вида $a+ib$, где $a,b\in\mathbb{R}$ может быть получен из элементов $\mathbb{R}$ и мнимой единицы.
3. Доказать, что из $a+ib=c+id$, где $a,b,c,d\in\mathbb{R}$, следует $a=c$ и $b=d$.
4. Проверить аксиомы поля для элементов вида $a+ib$, где $a,b\in\mathbb{R}$.

Не проще ли начать с $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, задать сложение и умножение и сразу перейти к пункту 4? А в курсе алгебры, когда студенты узнают, что факторкольцо по максимальному идеалу - поле, рассказать им про $R[i]/(i^2+1)$.

[EminentVictorians]

epros, спасибо, понятно. Можете пожалуйста еще вот на такой вопрос ответить?

Определим действительные числа (что, в нашем случае, то же самое, что и формальную теорию дейстивительных чисел).

Сможете ли Вы доказать (или хотя бы сформулировать) теорему Кантора-Бенедиксона:

$$\text{Всякое несчётное замкнутое множество M есть сумма совершенного }$$

$$\text{множества своих точек конденсации и не более, чем счетного множества остальных точек. }$$

Если что, все происходит внутри $\mathbb R$ (т.е. тут замкнутое множество $M$ - это не из общей топологии, а просто понятно какое подмножество действительных чисел.)

-- 07.08.2023, 16:34 --

Мне нужно, разумеется, не само доказательство, а понять, возможно ли это в принципе при Вашем подходе.

[KhAl]

epros писал(а):

Ну так ведь прямо в аксиоматике доказуемо, что поле состоит из всех тех и только тех элементов, которые представляются как $a+ib$, где $a$ и $b$ - элементы подполя действительных чисел

Нет! Не только нельзя тривиально доказать, но это даже неверно (что связано с тем, что в реальном $\mathbb{C}$ подполей, изоморфных $\mathbb{R}$ дохрена). Я поэтому и спрашивал ТС, что он имеет в виду под минимальностью (он решил проигнорировать вопрос). Так что определение, которое здесь привёл ТС, совершенно идиотское, и никто из апеллирующих к нему реально его применять даже не пытался, всем лишь бы поболтать.

Если мне ответят "определением минимальности" на две строки, из которого таки будет следовать что нужно, это не засчитывается. Во-первых, определения должны изначально быть ясными, во-вторых, это усложнит всё настолько, что такое определение уж точно нельзя давать студентам.

-- 07.08.2023, 16:39 --

tolstopuz
У нас чуть проще формулировалось — "конечномерная алгебра без делителей нуля является алгеброй с делением". Нравится? (применимость к присоеденению корней многочленов та же)

А есть ещё забавный способ вводить $\mathbb{C}$ — через матрицы. Строго, наглядно, чуждо формальных проверок базовых свойств.

-- 07.08.2023, 16:57 --

(EminentVictorians)

может, для Вас будет полезно

kp9r4d в сообщении #1207178 писал(а):

Мне кажется основная и фундаментальная разница (которая и ломает вашу аналогию) между теорией категорий и теорией множеств в том, что теория множеств делалась для того, чтобы быть Истинной, быть лингвистическим богом, который бы унифицировал всю математику и снимал всё это напряжение в логико-философском дискурсе, которое в ХХ веке образовалось, а теория категорий делалась просто, чтобы быть удобной.

Это можно пронаблюдать и в их появлении: всякие сечения Дедекинда и выражение анализа через ТМ делались для того, чтобы снова что-то там обосновать и дать чему-то какую-то почву и снять какие-то противоречия, в то время как теория категорий возникла сначала просто из удобной нотации: из того, что кто-то заметил, что коммутативные диаграммы рисовать - это гораздо нагляднее, чем писать $fg =hp$.

Это можно заметить и в том, на что категорщики и ТМщики обращают внимание: ТМщиков очень волнуют аксиомы и то, что там из них выводится, а что не выводится, категорщиков это не волнует абсолютно, они даже зачастую полных в формальном смысле определений не дают (в этом смысле все эти "обоснования" категорий через унивёрсумы Гротендика, классы NBG, разделение категорий на большие/малые - абсолютно антикатегорное предприятие), что их волнует - это сделать так, чтобы тривиальные вещи доказывались тривиально, чтобы было удобно рассказывать историю, чтобы какие-то огромные и контринтуитивные конструкции кодировались словами "да это же левый сопряженный функтор к F!" или "да это же эквивалентность категории X и категории Y", чтобы естественные определения можно было дать автоматически, почти над ними не думая, чтобы язык был удобным, а не верным (и конечно тут они выиграли в обеих пунктах, потому что удобство и определяет верность).

[epros]

tolstopuz в сообщении #1604286 писал(а):

Но в сумме, чтобы доказать существование объекта, удовлетворяющего аксиомам ТС, "согласно аксиоматике поля" надо проделать немалую работу

Всё не так страшно. При построении модели мы просто по очереди проверяем выполнение всех аксиом, что в большинстве своём делается элементарно.

tolstopuz в сообщении #1604286 писал(а):

1. Доказать, что все элементы конструкции могут быть представлены в виде $a+ib$, где $a,b\in\mathbb{R}$.

Тут нам аксиома 4 в помощь. Если под "конструкцией" Вы имели в виду $\mathbb{C}$.

tolstopuz в сообщении #1604286 писал(а):

2. Доказать, что любой элемент вида $a+ib$, где $a,b\in\mathbb{R}$ может быть получен из элементов $\mathbb{R}$ и мнимой единицы.

Не понял, что тут доказывать. Это по построению выражения.

tolstopuz в сообщении #1604286 писал(а):

4. Проверить аксиомы поля для элементов вида $a+ib$, где $a,b\in\mathbb{R}$.

Что делается легко.

tolstopuz в сообщении #1604286 писал(а):

Не проще ли начать с $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, задать сложение и умножение и сразу перейти к пункту 4?

А запись $a+ib$ - разве не из того же самого $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$?

[KhAl]

Цитата:

Тут нам аксиома 4 в помощь

Аксиома 4 это нонсенс. Любое континуальное поле, удовлетворяющее аксиомам 1-3, вкладывается (так, что образ -- собственное подмножество) в любое другое такое поле, так что минимальности быть не может.

[epros]

KhAl в сообщении #1604288 писал(а):

epros писал(а):

Ну так ведь прямо в аксиоматике доказуемо, что поле состоит из всех тех и только тех элементов, которые представляются как $a+ib$, где $a$ и $b$ - элементы подполя действительных чисел

Нет! Не только нельзя тривиально доказать, но это даже неверно (что связано с тем, что в реальном $\mathbb{C}$ подполей, изоморфных $\mathbb{R}$ дохрена).

Берете любое из этих подполей и называете "множеством действительных чисел".

KhAl в сообщении #1604288 писал(а):

Я поэтому и спрашивал ТС, что он имеет в виду под минимальностью (он решил проигнорировать вопрос).

Не знаю, как это связано со сказанным выше, но минимальность понимается стандартным образом: Из построенного множества нельзя ничего исключить, не нарушив аксиоматику.