Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств

[svv]

TOTAL, Rak so dna, спасибо за ответ.
Но почему вы не хотите сослаться на отрицательную вторую производную функции $f(x)$ ? Почему предпочитаете алгебраические преобразования? Производная — это "нечестно" в каком-то смысле?

[TOTAL]

svv в сообщении #1602820 писал(а):

Почему предпочитаете алгебраические преобразования? Производная — это "нечестно" в каком-то смысле?

Я думал, что школьными методами только разрешается.

[EUgeneUS]

TOTAL в сообщении #1602826 писал(а):

Я думал, что школьными методами только разрешается.

Производная функции одной переменной - это же школьный метод. Нет?

[Rak so dna]

EUgeneUS да, поэтому решение svv — лучшее. ИМХО.

[Klein]

svv в сообщении #1602820 писал(а):

TOTAL, Rak so dna, спасибо за ответ.
Но почему вы не хотите сослаться на отрицательную вторую производную функции $f(x)$ ? Почему предпочитаете алгебраические преобразования? Производная — это "нечестно" в каком-то смысле?

Свойство выпуклости функции в школьной программе обсуждают. Неравенство Йенсена которое следует из этого свойства в школьной программе скорее всего не обсуждают. Я проверил учебник Алгебра и начала анализа 8-10 классы 1987г.
https://sheba.spb.ru/shkola/algebra-09-1987.htm

В журнале Квант или похожей литературе для школьников можно найти.

Производные, максимальные и минимальные значения функций, непрерывность функций, критические точки, в частности точки на концах отрезка и на оси симметрии четной функции (точка перегиба) в школьной программе обсуждают.

Применение тождества приведенное ранее – решение хорошее. Только такие решения чаще встречаются на школьных математических олимпиадах, а не в учебниках.

[TOTAL]

Klein в сообщении #1602837 писал(а):

Применение тождества приведенное ранее – решение хорошее. Только такие решения чаще встречаются на школьных математических олимпиадах, а не в учебниках.

А вот это решение тоже простое, пробовали? Школьное оно?

Цитата:

Предполагая $\varepsilon > 0$, возводим в куб и получаем $x > x$
$x = \sqrt[3]{3 - t} + \sqrt[3]{3 + t} = 2 \cdot \sqrt[3]{3}$+\varepsilon

[Rak so dna]

Klein в сообщении #1602837 писал(а):

Производные, максимальные и минимальные значения функций, непрерывность функций, критические точки, в частности точки на концах отрезка и на оси симметрии четной функции (точка перегиба) в школьной программе обсуждают.

Я правильно понял? Вы утверждаете, что если $f(x)$ — чётная функция, то $\left(0,f(0)\right)$ — точка перегиба?

[mihiv]

Куб левой части неравенства:$F(x)=f^3(x)=6+3((3+x)^{\frac 23}(3-x)^{\frac 13}+(3+x)^{\frac 13}(3-x)^{\frac 23}), x=\sqrt [3]{3}$, куб правой части равен $24.$

Рассмотрим функцию:

$$G(x)=6+3((3+x)^{\frac 23}(3+x)^{\frac 13}+(3-x)^{\frac 13}(3-x)^{\frac 23})\equiv 24, G(x)-F(x)=24-f^3(x)=3\left ((3+x)^{\frac 13}-(3-x)^{\frac 13}\right )\left ((3+x)^{\frac 23}-(3-x)^{\frac 23}\right )>0$$

[dx_dyf]

Rak so dna в сообщении #1602566 писал(а):

Klein в сообщении #1602561 писал(а):

Mаксимальное значение функции достигается в точке $x=0$.

Только одного этого утверждения достаточно для решения задачи, но его нужно доказать.

Интересно.... Как же это доказать?
Если f(x) - симметрическая(четная) функция, то

$$0=f(x)-f(-x)=\frac{f(x)-f(-x)}{x-(-x)}$$

Переходим к пределу

$$ 0 = \lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(-x)}{x-(-x)} = f'(0) $$

[Rak so dna]

dx_dyf да вы что? Повторите свои рассуждения для $f(x)=\sqrt{x^2-1}.$

[dx_dyf]

Rak so dna в сообщении #1603291 писал(а):

dx_dyf да вы что? Повторите свои рассуждения для $f(x)=\sqrt{x^2-1}.$

Я не совсем понял, но повторю свои рассуждения.

$$f(x)=\sqrt{x^2-1}$$

Функция - четная. Четная потому что x в квадрате. Тут всё верно.
Далее, берём производную

$$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$$

Производная в нуле равна нулю. Потому что нулю равен числитель. И тут всё верно.
У меня всё сходится

[Rak so dna]

dx_dyf ну так и какое всё-таки максимальное значение функции у вас получилось?

[svv]

dx_dyf, попробуйте хотя бы найти $f(0)$.

[TOTAL]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1603336 писал(а):

dx_dyf, попробуйте хотя бы найти $f(0)$.

Так там же максимум. Не рядовой какой-нибудь максимум, а максимум всех максимумов, настолько максимальный, что никому его пока не удалось найти.

[svv]

(Оффтоп)

TOTAL
Успокаивает то, что даже в этом страшном максимуме

dx_dyf в сообщении #1603299 писал(а):

Производная в нуле равна нулю.

и вообще

dx_dyf в сообщении #1603299 писал(а):

У меня всё сходится