2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение27.09.2024, 09:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
562
so dna
Rak so dna в сообщении #1623191 писал(а):
Пусть $a,b>0 $ и $ a+\sqrt{ab}+b\leq3.$ Докажите, что $$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab} +ab\geq \frac{7}{2}$$

1 способ:

\small\begin{align*}
&\left(\frac{1}{x^2+y^2} + \frac{2}{xy} + xy - \frac{7}{2}\right) + \left(x+\sqrt{xy}+y - 3\right) =
\\\\
&=\frac{(xy-1)^2}{xy} +\frac{\left(x+\sqrt{xy}+y-3\right)^2(2x+2\sqrt{xy}+2y+3)}{2(x+\sqrt{xy}+y)^2} +\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^4\left(2(x^2+y^2)+12\sqrt{xy}(x+y)+17xy\right)}{2xy(y^2+x^2)(x+\sqrt{xy}+y)^2}\end{align*}

(maxima code)

Код:
assume(x > 0, y > 0) ;

f(t) := 1/(x^2+y^2)+2/(x*y)+x*y-7/2  + x+sqrt(x*y)+y-3 ;

r(t) := (x*y-1)^2/(x*y) + (x+sqrt(x*y)+y-3)^2*(2*x+2*sqrt(x*y)+2*y+3)/(2*(x+sqrt(x*y)+y)^2) +

(sqrt(x)-sqrt(y))^4*(2*(x^2+y^2)+12*sqrt(x*y)*(x+y)+17*x*y)/(2*x*y*(x^2+y^2)*(x+sqrt(x*y)+y)^2) ;

ratsimp(f(t)-r(t));


2 способ ( Hello_Ok@AoPS ):

\small\begin{align*}
&LHS=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}+ab+{\color{red}3}-3 \ge \frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}+ab+{\color{red}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+2\sqrt{ab}}-3=
\\\\
&= \left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac12\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+ \frac12\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \right)+\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}+\sqrt{ab}+\sqrt{ab}+ab \right)-3\stackrel{AM-GM}{\ge} \frac{7}{2}
\end{align*}

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение02.11.2024, 12:09 


14/06/22
72
Задача на устном вступительном экзамене в Московский университет в 1980-ые. В статье А. Шеня пишут задача трудная. Поступающие жаловались.

(Л. Е. Евтушик, В. А. Любишкин, 1984)

Решить уравнение

$
x^4 - 14x^3 + 66x^2 - 115x + 66,25 = 0
$

Школьными способами.

$P(x) = x^4 - 14x^3 + 66x^2 - 115x + 66,25 $
$P(x)= (x^4 - 14x^3 + 49x^2) + (17x^2 - 115x + 66,25)$
$P(x) = (x^2 - 7x)^2 + 17 \left(x - \frac{115}{34}\right)^2 - \frac{2180}{17}$

$(x^2 - 7x)^2 \geq 0 \text{ для всех } x$

$\text{Наименьшее значение для } 17 \left(x - \frac{115}{34}\right)^2 - \frac{2180}{17} \text{ в точке } x = \frac{115}{34}$

$\( P\left(\frac{115}{34}\right) > 0 \)$

$P(x) = x^4 - 14x^3 + 66x^2 - 115x + 66,25 > 0 \text{ для всех } x$

Решений в действительных числах нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение02.11.2024, 14:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
562
so dna
Klein идея верная, реализация — нет. Попробуйте представить ваш многочлен в виде суммы двух квадратов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение02.11.2024, 15:05 


14/06/22
72
Rak so dna в сообщении #1660392 писал(а):
Klein идея верная, реализация — нет. Попробуйте представить ваш многочлен в виде суммы двух квадратов.

В чем ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение02.11.2024, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
562
so dna
Это представление:

$P(x) = (x^2 - 7x)^2 + 17 \left(x - \frac{115}{34}\right)^2 - \frac{2180}{17}$

не доказывает неотрицательность $P(x)$.

Кроме того, в условии не требуется действительность корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение02.11.2024, 16:30 
Заслуженный участник


20/12/10
9063
Rak so dna в сообщении #1660396 писал(а):
Кроме того, в условии не требуется действительность корней.
Если иметь в виду реалии тех лет, то вещественность корней предполагалась (тогда комплексные числа не входили в школьную программу). Это тот француз (автор списка задач) домыслил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 81 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group