2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение27.09.2024, 09:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
557
so dna
Rak so dna в сообщении #1623191 писал(а):
Пусть $a,b>0 $ и $ a+\sqrt{ab}+b\leq3.$ Докажите, что $$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab} +ab\geq \frac{7}{2}$$

1 способ:

\small\begin{align*}
&\left(\frac{1}{x^2+y^2} + \frac{2}{xy} + xy - \frac{7}{2}\right) + \left(x+\sqrt{xy}+y - 3\right) =
\\\\
&=\frac{(xy-1)^2}{xy} +\frac{\left(x+\sqrt{xy}+y-3\right)^2(2x+2\sqrt{xy}+2y+3)}{2(x+\sqrt{xy}+y)^2} +\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^4\left(2(x^2+y^2)+12\sqrt{xy}(x+y)+17xy\right)}{2xy(y^2+x^2)(x+\sqrt{xy}+y)^2}\end{align*}

(maxima code)

Код:
assume(x > 0, y > 0) ;

f(t) := 1/(x^2+y^2)+2/(x*y)+x*y-7/2  + x+sqrt(x*y)+y-3 ;

r(t) := (x*y-1)^2/(x*y) + (x+sqrt(x*y)+y-3)^2*(2*x+2*sqrt(x*y)+2*y+3)/(2*(x+sqrt(x*y)+y)^2) +

(sqrt(x)-sqrt(y))^4*(2*(x^2+y^2)+12*sqrt(x*y)*(x+y)+17*x*y)/(2*x*y*(x^2+y^2)*(x+sqrt(x*y)+y)^2) ;

ratsimp(f(t)-r(t));


2 способ ( Hello_Ok@AoPS ):

\small\begin{align*}
&LHS=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}+ab+{\color{red}3}-3 \ge \frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}+ab+{\color{red}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+2\sqrt{ab}}-3=
\\\\
&= \left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac12\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+ \frac12\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \right)+\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}+\sqrt{ab}+\sqrt{ab}+ab \right)-3\stackrel{AM-GM}{\ge} \frac{7}{2}
\end{align*}

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение02.11.2024, 12:09 


14/06/22
72
Задача на устном вступительном экзамене в Московский университет в 1980-ые. В статье А. Шеня пишут задача трудная. Поступающие жаловались.

(Л. Е. Евтушик, В. А. Любишкин, 1984)

Решить уравнение

$
x^4 - 14x^3 + 66x^2 - 115x + 66,25 = 0
$

Школьными способами.

$P(x) = x^4 - 14x^3 + 66x^2 - 115x + 66,25 $
$P(x)= (x^4 - 14x^3 + 49x^2) + (17x^2 - 115x + 66,25)$
$P(x) = (x^2 - 7x)^2 + 17 \left(x - \frac{115}{34}\right)^2 - \frac{2180}{17}$

$(x^2 - 7x)^2 \geq 0 \text{ для всех } x$

$\text{Наименьшее значение для } 17 \left(x - \frac{115}{34}\right)^2 - \frac{2180}{17} \text{ в точке } x = \frac{115}{34}$

$\( P\left(\frac{115}{34}\right) > 0 \)$

$P(x) = x^4 - 14x^3 + 66x^2 - 115x + 66,25 > 0 \text{ для всех } x$

Решений в действительных числах нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение02.11.2024, 14:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
557
so dna
Klein идея верная, реализация — нет. Попробуйте представить ваш многочлен в виде суммы двух квадратов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение02.11.2024, 15:05 


14/06/22
72
Rak so dna в сообщении #1660392 писал(а):
Klein идея верная, реализация — нет. Попробуйте представить ваш многочлен в виде суммы двух квадратов.

В чем ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение02.11.2024, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
557
so dna
Это представление:

$P(x) = (x^2 - 7x)^2 + 17 \left(x - \frac{115}{34}\right)^2 - \frac{2180}{17}$

не доказывает неотрицательность $P(x)$.

Кроме того, в условии не требуется действительность корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств
Сообщение02.11.2024, 16:30 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
Rak so dna в сообщении #1660396 писал(а):
Кроме того, в условии не требуется действительность корней.
Если иметь в виду реалии тех лет, то вещественность корней предполагалась (тогда комплексные числа не входили в школьную программу). Это тот француз (автор списка задач) домыслил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 81 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group