Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств

[Klein]

Доказать неравенствa разными способами из школьной программы.
Желательно 5 или больше доказательств для каждого неравенства.


$x^4+x^3+2x^2+2x+3 > 0$ $\forall x\in\mathbb{R}$$ (1)$

$\frac{1}{\sin^2x} \leq \frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2}$ $\forall x\in (0;\frac{\pi}{2}]$ (2)$


Первое решение для $(1)$

$(x^2+\frac{1}{2}x)^2+\frac{3}{4}x^2+(x+1)^2+2>0$

[gris]

(1) можно найти минимумы $x^4+x^3$ и $2x^2+2x$ по отдельности или хотя бы оценить их. Или при ином разбиении на слагаемые

[mihiv]

При $x\ne 1$ левую часть неравенства (1) можно записать в виде: $\dfrac {x^5-1}{x-1}+\dfrac {x^3-1}{x-1}+1.$

[TOTAL]

$(x^3+1)(x+1) + (2x^2+x+2) > 0$

[Klein]

Уже 4 для (1). Спасибо.

Пятое для (1)
Доказательство для (1) с применением вспомогательного неравенства $\ln(x+1) \leqslant x$, $x > -1$
Неравенство несложно вывести из свойства вогнутости логарифмической функции.

$P(x)=x^4+x^3+2x^2+2x+3=x(x+1)(x^2+2)+3 > 0, x\in(-\infty; -1]$

$\implies\ln(P(x)+1) \leqslant P(x), x > -1$

$\implies 0<\ln((x+1)^2 +1)+\ln((x-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}) \leqslant x^4+x^3+2x^2+2x+3, x>-1$


----
Ничего не могу придумать без производных для неравенства (2).

[Klein]

Klein в сообщении #1578367 писал(а):

Доказать неравенствa разными способами из школьной программы.
Желательно 5 или больше доказательств для каждого неравенства.


$\frac{1}{\sin^2x} \leq \frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2}$ $\forall x\in (0;\frac{\pi}{2}]$ (2)$

Можно доказать используя следующую подстановку

$tg(\frac{x}{2})=t$
$sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$
$ x\in (0;\frac{\pi}{2}]$, $t\in (0;1]$

После подстановки и решения неравенства $(2)$ получаем

$t>0$, $0<x\leq2\pi\sqrt\frac{t^2}{\pi^2 t^4 - 2\pi^2 t^2 + 16 t^2 +\pi^2}$