Школьная программа. Алгебра. Десять доказательтв неравенств

[Klein]

Доказать неравенствa разными способами из школьной программы.
Желательно 5 или больше доказательств для каждого неравенства.


$x^4+x^3+2x^2+2x+3 > 0$ $\forall x\in\mathbb{R}$$ (1)$

$\frac{1}{\sin^2x} \leq \frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2}$ $\forall x\in (0;\frac{\pi}{2}]$ (2)$


Первое решение для $(1)$

$(x^2+\frac{1}{2}x)^2+\frac{3}{4}x^2+(x+1)^2+2>0$

[gris]

(1) можно найти минимумы $x^4+x^3$ и $2x^2+2x$ по отдельности или хотя бы оценить их. Или при ином разбиении на слагаемые

[mihiv]

При $x\ne 1$ левую часть неравенства (1) можно записать в виде: $\dfrac {x^5-1}{x-1}+\dfrac {x^3-1}{x-1}+1.$

[TOTAL]

$(x^3+1)(x+1) + (2x^2+x+2) > 0$

[Klein]

Уже 4 для (1). Спасибо.

Пятое для (1)
Доказательство для (1) с применением вспомогательного неравенства $\ln(x+1) \leqslant x$, $x > -1$
Неравенство несложно вывести из свойства вогнутости логарифмической функции.

$P(x)=x^4+x^3+2x^2+2x+3=x(x+1)(x^2+2)+3 > 0, x\in(-\infty; -1]$

$\implies\ln(P(x)+1) \leqslant P(x), x > -1$

$\implies 0<\ln((x+1)^2 +1)+\ln((x-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}) \leqslant x^4+x^3+2x^2+2x+3, x>-1$


----
Ничего не могу придумать без производных для неравенства (2).

[Klein]

Klein в сообщении #1578367 писал(а):

Доказать неравенствa разными способами из школьной программы.
Желательно 5 или больше доказательств для каждого неравенства.


$\frac{1}{\sin^2x} \leq \frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2}$ $\forall x\in (0;\frac{\pi}{2}]$ (2)$

Можно доказать используя следующую подстановку

$tg(\frac{x}{2})=t$
$sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$
$ x\in (0;\frac{\pi}{2}]$, $t\in (0;1]$

После подстановки и решения неравенства $(2)$ получаем

$t>0$, $0<x\leq2\pi\sqrt\frac{t^2}{\pi^2 t^4 - 2\pi^2 t^2 + 16 t^2 +\pi^2}$

[Klein]

Порешаем школьную задачу по алгебре


$\text{{Найти все }} x \in \mathbb{R} \text{{ для }} \lfloor \sqrt{x} + \sqrt{x+1} \rfloor + \lfloor \sqrt{4x+2} \rfloor = 18$

[Klein]

Koren28 в сообщении #1596539 писал(а):

Klein

Решая это неравенство, мы получаем:

$$7.25 < x < 63.75.$$

Таким образом, все значения $x$, удовлетворяющие уравнению $\lfloor \sqrt{x} + \sqrt{x+1} \rfloor + \lfloor \sqrt{4x+2} \rfloor = 18$, лежат в интервале $(7.25,63.75)$.

Klein Напишите в Wolfram Alpha

solve floor(sqrt(x) + sqrt(x+1)) + floor(sqrt(4x+2)) = 18 for x

Wolfram выдает следующий интервал : $[19.7531, 24.5)$

Я решение написал на 2 страницы. Немного корявое но похоже правильно. Много латек кода писать. Немного позже помещу.

-- 05.06.2023, 03:51 --

Koren28

Спасибо.

[Klein]

Klein в сообщении #1596497 писал(а):

Порешаем школьную задачу по алгебре


$\text{{Найти все }} x \in \mathbb{R} \text{{ для }} \lfloor \sqrt{x} + \sqrt{x+1} \rfloor + \lfloor \sqrt{4x+2} \rfloor = 18$

Положим

(1)
\lfloor \sqrt{x} + \sqrt{x+1} \rfloor = m \text{{ и }} \lfloor \sqrt{4x+2} \rfloor = n

(2)
\begin{align*} m+n &= 18 \\ m &= 0, \quad n = 18 \\ m &= 1, \quad n = 17 \\ &\vdots \\ m &= 9, \quad n = 9 \\ &\vdots \\ m &= 18, \quad n = 0 \\ \end{align*}

(3)
\begin{align*} n &\leq \sqrt{4x+2} < n+1 \\ m &\leq \sqrt{x} + \sqrt{x+1} < m+1 \\ \Rightarrow n^2 &< 2(m+1)^2 \end{align*}

Подставляем n, m в (2) в неравенство полученное в (3).

m,n удовлетворяющие неравенство в (3) :

(4)
m=7, n=11
m=8, n=10
m=9, n=9

Подставляем m, n в (4) в неравенства в (3)
и получаем m=9, n=9 удовлетворяющие неравенства в (3) .

Решаем неравенства для m=9, n=9

$ \frac{1600}{81} \leq x < \frac{49}{2}$

[Klein]

Определить несколькими способами из школьной программы какое из чисел больше $\sqrt{3}+ \sqrt{7}+ \sqrt{21}$ или $9$.

[KhAl]

Имеется цепочка равносильных переходов (? означает любой из знаков $>$, $<$, $=$)

\begin{align*} & \sqrt{3} + \sqrt {7} + \sqrt{21} & \text{?\quad} & 9 \\ \Longleftrightarrow \quad & (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{7} + 1) & \text{?\quad} & 10 & \big(\text{домножить на $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$}\big) \\ \Longleftrightarrow \quad & \sqrt{7} + 1 & \text{?\quad} & 5\sqrt{3} - 5 \\ \Longleftrightarrow \quad & \sqrt{7} + 6 & \text{?\quad} & 5\sqrt{3} & \text{(возвести в квадрат)} \\ \Longleftrightarrow \quad & 43 + 12\sqrt{7} & \text{?\quad} & 75 \\ \Longleftrightarrow \quad & 3\sqrt{7} & \text{?\quad} & 8 & \text{(возвести в квадрат)} \\ \Longleftrightarrow \quad & 63 & \text{?\quad} & 64 & \text{(здесь знак $<$)} \\ \end{align*}

Таким образом, $\sqrt{3} + \sqrt {7} + \sqrt{21} < 9$

[svv]

$\begin{array}{lcl}\sqrt{3} + \sqrt {7} + \sqrt{21} & ? & 9\\ (\sqrt{3} + \sqrt {7})^2 & ? & (9-\sqrt{21})^2\\ 10 + 2\sqrt {21} & ? & 102-18\sqrt{21}\\ \sqrt {21} & ? & 4.6\\ 21 & < & 21.16\end{array}$

[Klein]

KhAl в сообщении #1600408 писал(а):

Имеется цепочка равносильных переходов (? означает любой из знаков $>$, $<$, $=$)

\begin{align*} & \sqrt{3} + \sqrt {7} + \sqrt{21} & \text{?\quad} & 9 \\ \Longleftrightarrow \quad & (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{7} + 1) & \text{?\quad} & 10 & \big(\text{домножить на $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$}\big) \\ \Longleftrightarrow \quad & \sqrt{7} + 1 & \text{?\quad} & 5\sqrt{3} - 5 \\ \Longleftrightarrow \quad & \sqrt{7} + 6 & \text{?\quad} & 5\sqrt{3} & \text{(возвести в квадрат)} \\ \Longleftrightarrow \quad & 43 + 12\sqrt{7} & \text{?\quad} & 75 \\ \Longleftrightarrow \quad & 3\sqrt{7} & \text{?\quad} & 8 & \text{(возвести в квадрат)} \\ \Longleftrightarrow \quad & 63 & \text{?\quad} & 64 & \text{(здесь знак $<$)} \\ \end{align*}

Таким образом, $\sqrt{3} + \sqrt {7} + \sqrt{21} < 9$

Красивое решение. Спасибо.

[TOTAL]

\begin{align*} & \sqrt{3} + \sqrt {7} + \sqrt{21} & \text{?\quad} & 9 \\ \quad & \sqrt{3} + \sqrt{7} & \text{?\quad} & 9 - \sqrt{21} & \big(\text{домножить на $9 + \sqrt{21}$}\big) \\ \quad & 4\sqrt{3} +3 \sqrt{7} & \text{?\quad} & 15 \\ \quad & \sqrt{48} + \sqrt{63} & \text{?\quad} & 15 \\ \quad & \sqrt{48} + \sqrt{63} & \text{<\quad} & 15 & \big(\text{т.к. $48<7^2, \; 63<8^2$}\big)\\ \end{align*}

[svv]

$\begin{array}{lcl}\sqrt{3} + \sqrt {7} + \sqrt{21} & ? & 9\\ (\sqrt{3} + \sqrt {21})^2 & ? & (9-\sqrt{7})^2 \\ 24 + 6\sqrt {7} & ? & 88-18\sqrt{7}\end{array}$
Из корней остался только $\sqrt 7$, и дальше очевидно.