2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Небольшое замечание
Сообщение08.07.2023, 13:37 


17/06/18
421
Потому что сократить (1) можно, только если $x,y,z$ имеют общий множитель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшое замечание
Сообщение08.07.2023, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
dick в сообщении #1600338 писал(а):
где скобки справа - кубы

можно ли увидеть доказательство взаимной простоты этих скобок?

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшое замечание
Сообщение08.07.2023, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
dick в сообщении #1600342 писал(а):
Потому что сократить (1) можно, только если $x,y,z$ имеют общий множитель
Так Вы же сокращаете не (1), а после перенесения части слагаемых.
Например $2 + 3 = 5$ сократить нельзя. А вот $2 = 5 - 3$ можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшое замечание
Сообщение08.07.2023, 16:06 


17/06/18
421
Geen
По условию взаимной простоты $x,y,z$, число $(z-y)$ не имеет общих множителей с числами $z$ и $y$, поэтому число $(z-y)$ может иметь общий множитель с числом $3zy$, только если $(z-y)$ делится на 3. Но по условию, число $x$ не делится на 3, и значит $x^3$ не делится на 3, и значит $(z-y)$ не делится на 3. Если же $(z-y)^2$ и $3zy$ взаимно просты, то скобки $(z-y)$ и $((z-y)^2+3zy)$ также взаимно просты.

mihaild
По Вашему, я не имею права записать $x^3+y^3=z^3$ в виде $x^3=z^3-y^3$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшое замечание
Сообщение08.07.2023, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
dick в сообщении #1600353 писал(а):
По Вашему, я не имею права записать $x^3+y^3=z^3$ в виде $x^3=z^3-y^3$ ?
Имеете. А вот говорить о сокращении в них нужно отдельно.
Кстати, что конкретно Вы понимаете под "сокращением" (1)? Так-то можно левую и правую части поделить на $z$. Слева конечно больше не будет сумма двух кубов, но, естественно, останется целое число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшое замечание
Сообщение08.07.2023, 22:13 


17/06/18
421
Под сокращением (1) я понимаю деление каждого из трех кубов (1) на куб $(z-y)$, и получение в результате трех меньших кубов и соответственно, трех меньших $x,y,z$, удовлетворяющих (1). Ну а если $x,y,z$ взаимно просты, сокращение будет условным, и (1) останется тем же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшое замечание
Сообщение08.07.2023, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
dick в сообщении #1600366 писал(а):
Под сокращением (1) я понимаю деление каждого из трех кубов (1) на куб $(z-y)$
Так а с чего $y^3$ или $z^3$ делятся на $z - y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшое замечание
Сообщение09.07.2023, 17:40 


17/06/18
421
Ответ на Ваш вопрос, это ответ на вопрос который я ставил выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшое замечание
Сообщение09.07.2023, 18:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
Ну хорошо, ответ на мой вопрос является ответом и еще на какой-то. Так а ответ-то какой? Где доказательство, что $y^3$ делится на $z - y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшое замечание
Сообщение09.07.2023, 19:48 


17/06/18
421
dick в сообщении #1600338 писал(а):
Пусть при натуральных, взаимно простых $x,y,z$, где $x$ не делится на 3, а $z,y$ - разной четности, выполняется
$x^3+y^3=z^3$ (1);
Тогда: $x^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ (1.2); где скобки справа - кубы.
Можем записать: $x=x_1x_2$; $x_1=(z-y)^{1/3}$; $x_2=((z-y)^2+3zy)^{1/3}$;
Перепишем (1.2): $(z-y)x_2^3=(z-y)^3+(z-y)3zy$ (1.3);
Равенство (1.3) можно сократить на $(z-y)$, но по условию взаимной простоты $x,y,z$ это невозможно.
Вопрос: Что такое $(z-y)$ ?


Ответ: единица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшое замечание
Сообщение09.07.2023, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
mihaild в сообщении #1600339 писал(а):
dick в сообщении #1600338 писал(а):
но по условию взаимной простоты $x,y,z$ это невозможно
Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшое замечание
Сообщение10.07.2023, 08:05 


29/08/09
691
dick в сообщении #1597598 писал(а):
dick в сообщении #1597435 писал(а):

Вы, надеюсь, помните число $a$, такое, что $x+y=z+a$ (2).
Равенство (1) можно записать, используя число $a$: $a^3=3(z-y)(z-x)(x+y)$ (1.2);
Я помню, поскольку я вывела эту формулу. :D
Вот сразу видно что вы просто взяли готовую формулу, не вникая в детали, как она выводилась и откуда появилось $3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшое замечание
Сообщение27.07.2023, 14:10 


17/06/18
421
Вы предлагаете, в качестве альтернативы единице, для $(z-y)$ число формы $6n+1$ или $6n+5$. Иначе говоря, число больше 6. Но остаток от деления на 6, не может быть больше 6, поэтому использовать форму $6n$ для $a$ будет невозможно. Потребуется выбрать для делителя числа $a$, число большее чем $(z-y)$, и значит большее чем $(6n+1)^3$. Так если $(z-y)=13^3$, то минимальным делителем формы $a$ будет 2202. Но тогда потребуется доказать что $a$, кроме того что делится на 6, делится и на 367. Вы готовы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшое замечание
Сообщение27.07.2023, 14:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
Я ничего не предлагаю, я хочу чтобы Вы четко написали, что доказываете, и доказательство. Но допустим Вы хотите доказать, что $z - y = 1$. Поскольку $z - y | x$, и $x$ не делится ни на 2 ни на 3, действительно $z - y = 6n \pm 1$. Дальше у вас куда-то потерялась пятерка в качестве решения.
После чего появился неизвестный термин "использовать форму $6n$ для $a$", и что там дальше непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Небольшое замечание
Сообщение08.08.2023, 20:23 


17/06/18
421
У нас остался брошенным на пол дороги, вот этот материал:

Доказать что уравнение: $x^n+y^n=z^n$ (1), не имеет решений для натуральных $n>2$ и натуральных, взаимно простых $x, y, z$.
Предположим, что имеются натуральные, взаимно простые $x,y,z$, удовлетворяющие условию (1) для $n=3$, причем $x,z$ –нечетные, а $y$-четное число.
Пусть $y=x+k_1$, $z=x+k_2$ , где $k_1,k_2$ - натуральные числа.
Тогда: $(x +k_2)^3 - (x +k_1)^3= x^3$ ;
Или: $x^3 - 3( k_2 - k_1)x^2 - 3(k_2^2 - k_1^2)x - (k_2^3 - k_1^3) = 0$ (2);
Равенство (2) представляет собой приведенное уравнение третьей степени с целыми коэффициентами.
В общем виде приведенное уравнение третьей степени с целыми коэффициентами, имеющее корень, может быть записано так:
$(x-x_1)^3+a_1(x-x_1)^2+a_2(x-x_1)=0$ (3);
Где $a_1,a_2,x_1$- натуральные числа, причем $x_1$ – корень уравнения.
Раскрывая скобки, получим:
$x^3-(3x_1-a_1)x^2+(3x_1^2-2a_1x_1+a_2)x-(x_1^3-a_1x_1^2+a_2x_1)=0$ или
$x^3-(3x_1-a_1)x^2-(2a_1x_1-3x_1^2-a_2)x-(x_1^3-a_1x_1^2+a_2x_1)=0$ (4);
Уравнение (2) имеет корень, если является частным случаем (4), то есть, при некоторых условиях все коэффициенты (2) и (4) равны.
Выясним эти условия, приравнивая коэффициенты:
$(k_2 - k_1)=x_1-a_1/3$ (5.1); $(k_2^2 - k_1^2)=2a_1x_1/3-x_1^2-a_2/3$ (5.2);
$(k_2^3 - k_1^3)=x_1^3-a_1x_1^2+a_2x_1$ (5.3).
Заметим, что поскольку $x_1$, $(k_2 - k_1)$, $(k_2^2 - k_1^2)$ числа нечетные, $a_1$ и $a_2$ – четные числа и следовательно, $a_1$ и $a_2$ делятся на 6.
Далее, для (5.2): $(k_2 + k_1)= (2a_1x_1/3-x_1^2-a_2/3)/(x_1-a_1/3)$ (6.1).
После деления уголком находим остаток не содержащий $x_1$: $a_1^2/9-a_2/3$ (6.2).
Для (5.3): $(k_2^2+k_1k_2+ k_1^2)=(x_1^3-a_1x_1^2+a_2x_1)/(x_1-a_1/3)$ (6.3).
Соответствующий условный остаток будет: $2a_1^3/27-a_1a_2/3$ (6.4).
Поскольку (6.2) и (6.4) должны делиться нацело на $(x_1-a_1/3)$, получим:
$a_2=3a_1^2/9-3A(x_1-a_1/3)$ (6.5); $a_2=2a_1^2/9-3B(x_1-a_1/3)/a_1$ (6.6), где $A,B$ четные.
Тогда: $(x_1-a_1/3)(3A-3B/a_1)=a_1^2/9=(a_1/3)^2$ (7).

Здесь $a_1/3$ это то, что мы назвали $a$ ($x+y=z+a$).
Из (7) следует что $a^2$ делится на $(z-y)$, но это невозможно, потому что на $(z-y)$ делится только $a^3$
($a^3=3(z-y)(z-x)(x+y)$). Значит $(z-y)=1$. Конец отрывка.

Вы засомневались в том, что $a$ из равенства $x+y=z+a$ это $a_1/3$ из приведенного материала, а я показал что так и есть.
Потом Вы замолчали. У Вас есть возражения?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 84 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group