Небольшое замечание

[dick]

Потому что сократить (1) можно, только если $x,y,z$ имеют общий множитель.

[Geen]

dick в сообщении #1600338 писал(а):

где скобки справа - кубы

можно ли увидеть доказательство взаимной простоты этих скобок?

[mihaild]

dick в сообщении #1600342 писал(а):

Потому что сократить (1) можно, только если $x,y,z$ имеют общий множитель

Так Вы же сокращаете не (1), а после перенесения части слагаемых.
Например $2 + 3 = 5$ сократить нельзя. А вот $2 = 5 - 3$ можно.

[dick]

Geen
По условию взаимной простоты $x,y,z$, число $(z-y)$ не имеет общих множителей с числами $z$ и $y$, поэтому число $(z-y)$ может иметь общий множитель с числом $3zy$, только если $(z-y)$ делится на 3. Но по условию, число $x$ не делится на 3, и значит $x^3$ не делится на 3, и значит $(z-y)$ не делится на 3. Если же $(z-y)^2$ и $3zy$ взаимно просты, то скобки $(z-y)$ и $((z-y)^2+3zy)$ также взаимно просты.

mihaild
По Вашему, я не имею права записать $x^3+y^3=z^3$ в виде $x^3=z^3-y^3$ ?

[mihaild]

dick в сообщении #1600353 писал(а):

По Вашему, я не имею права записать $x^3+y^3=z^3$ в виде $x^3=z^3-y^3$ ?

Имеете. А вот говорить о сокращении в них нужно отдельно.
Кстати, что конкретно Вы понимаете под "сокращением" (1)? Так-то можно левую и правую части поделить на $z$. Слева конечно больше не будет сумма двух кубов, но, естественно, останется целое число.

[dick]

Под сокращением (1) я понимаю деление каждого из трех кубов (1) на куб $(z-y)$, и получение в результате трех меньших кубов и соответственно, трех меньших $x,y,z$, удовлетворяющих (1). Ну а если $x,y,z$ взаимно просты, сокращение будет условным, и (1) останется тем же.

[mihaild]

dick в сообщении #1600366 писал(а):

Под сокращением (1) я понимаю деление каждого из трех кубов (1) на куб $(z-y)$

Так а с чего $y^3$ или $z^3$ делятся на $z - y$?

[dick]

Ответ на Ваш вопрос, это ответ на вопрос который я ставил выше.

[mihaild]

Ну хорошо, ответ на мой вопрос является ответом и еще на какой-то. Так а ответ-то какой? Где доказательство, что $y^3$ делится на $z - y$?

[dick]

dick в сообщении #1600338 писал(а):

Пусть при натуральных, взаимно простых $x,y,z$, где $x$ не делится на 3, а $z,y$ - разной четности, выполняется
$x^3+y^3=z^3$ (1);
Тогда: $x^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ (1.2); где скобки справа - кубы.
Можем записать: $x=x_1x_2$; $x_1=(z-y)^{1/3}$; $x_2=((z-y)^2+3zy)^{1/3}$;
Перепишем (1.2): $(z-y)x_2^3=(z-y)^3+(z-y)3zy$ (1.3);
Равенство (1.3) можно сократить на $(z-y)$, но по условию взаимной простоты $x,y,z$ это невозможно.
Вопрос: Что такое $(z-y)$ ?

Ответ: единица.

[mihaild]

mihaild в сообщении #1600339 писал(а):

dick в сообщении #1600338 писал(а):

но по условию взаимной простоты $x,y,z$ это невозможно

Почему?

[natalya_1]

dick в сообщении #1597598 писал(а):

dick в сообщении #1597435 писал(а):

Вы, надеюсь, помните число $a$, такое, что $x+y=z+a$ (2).
Равенство (1) можно записать, используя число $a$: $a^3=3(z-y)(z-x)(x+y)$ (1.2);

Я помню, поскольку я вывела эту формулу.
Вот сразу видно что вы просто взяли готовую формулу, не вникая в детали, как она выводилась и откуда появилось $3$

[dick]

Вы предлагаете, в качестве альтернативы единице, для $(z-y)$ число формы $6n+1$ или $6n+5$. Иначе говоря, число больше 6. Но остаток от деления на 6, не может быть больше 6, поэтому использовать форму $6n$ для $a$ будет невозможно. Потребуется выбрать для делителя числа $a$, число большее чем $(z-y)$, и значит большее чем $(6n+1)^3$. Так если $(z-y)=13^3$, то минимальным делителем формы $a$ будет 2202. Но тогда потребуется доказать что $a$, кроме того что делится на 6, делится и на 367. Вы готовы?

[mihaild]

Я ничего не предлагаю, я хочу чтобы Вы четко написали, что доказываете, и доказательство. Но допустим Вы хотите доказать, что $z - y = 1$. Поскольку $z - y | x$, и $x$ не делится ни на 2 ни на 3, действительно $z - y = 6n \pm 1$. Дальше у вас куда-то потерялась пятерка в качестве решения.
После чего появился неизвестный термин "использовать форму $6n$ для $a$", и что там дальше непонятно.

[dick]

У нас остался брошенным на пол дороги, вот этот материал:

Доказать что уравнение: $x^n+y^n=z^n$ (1), не имеет решений для натуральных $n>2$ и натуральных, взаимно простых $x, y, z$.
Предположим, что имеются натуральные, взаимно простые $x,y,z$, удовлетворяющие условию (1) для $n=3$, причем $x,z$ –нечетные, а $y$-четное число.
Пусть $y=x+k_1$, $z=x+k_2$ , где $k_1,k_2$ - натуральные числа.
Тогда: $(x +k_2)^3 - (x +k_1)^3= x^3$ ;
Или: $x^3 - 3( k_2 - k_1)x^2 - 3(k_2^2 - k_1^2)x - (k_2^3 - k_1^3) = 0$ (2);
Равенство (2) представляет собой приведенное уравнение третьей степени с целыми коэффициентами.
В общем виде приведенное уравнение третьей степени с целыми коэффициентами, имеющее корень, может быть записано так:
$(x-x_1)^3+a_1(x-x_1)^2+a_2(x-x_1)=0$ (3);
Где $a_1,a_2,x_1$- натуральные числа, причем $x_1$ – корень уравнения.
Раскрывая скобки, получим:
$x^3-(3x_1-a_1)x^2+(3x_1^2-2a_1x_1+a_2)x-(x_1^3-a_1x_1^2+a_2x_1)=0$ или
$x^3-(3x_1-a_1)x^2-(2a_1x_1-3x_1^2-a_2)x-(x_1^3-a_1x_1^2+a_2x_1)=0$ (4);
Уравнение (2) имеет корень, если является частным случаем (4), то есть, при некоторых условиях все коэффициенты (2) и (4) равны.
Выясним эти условия, приравнивая коэффициенты:
$(k_2 - k_1)=x_1-a_1/3$ (5.1); $(k_2^2 - k_1^2)=2a_1x_1/3-x_1^2-a_2/3$ (5.2);
$(k_2^3 - k_1^3)=x_1^3-a_1x_1^2+a_2x_1$ (5.3).
Заметим, что поскольку $x_1$, $(k_2 - k_1)$, $(k_2^2 - k_1^2)$ числа нечетные, $a_1$ и $a_2$ – четные числа и следовательно, $a_1$ и $a_2$ делятся на 6.
Далее, для (5.2): $(k_2 + k_1)= (2a_1x_1/3-x_1^2-a_2/3)/(x_1-a_1/3)$ (6.1).
После деления уголком находим остаток не содержащий $x_1$: $a_1^2/9-a_2/3$ (6.2).
Для (5.3): $(k_2^2+k_1k_2+ k_1^2)=(x_1^3-a_1x_1^2+a_2x_1)/(x_1-a_1/3)$ (6.3).
Соответствующий условный остаток будет: $2a_1^3/27-a_1a_2/3$ (6.4).
Поскольку (6.2) и (6.4) должны делиться нацело на $(x_1-a_1/3)$, получим:
$a_2=3a_1^2/9-3A(x_1-a_1/3)$ (6.5); $a_2=2a_1^2/9-3B(x_1-a_1/3)/a_1$ (6.6), где $A,B$ четные.
Тогда: $(x_1-a_1/3)(3A-3B/a_1)=a_1^2/9=(a_1/3)^2$ (7).

Здесь $a_1/3$ это то, что мы назвали $a$ ($x+y=z+a$).
Из (7) следует что $a^2$ делится на $(z-y)$, но это невозможно, потому что на $(z-y)$ делится только $a^3$
($a^3=3(z-y)(z-x)(x+y)$). Значит $(z-y)=1$. Конец отрывка.

Вы засомневались в том, что $a$ из равенства $x+y=z+a$ это $a_1/3$ из приведенного материала, а я показал что так и есть.
Потом Вы замолчали. У Вас есть возражения?