Степень суммы

[Alek]

mihaild в сообщении #1598471 писал(а):

Я под "группировкой" понимал следующее: группировкой набора чисел (например слагаемых в левой части) $a_1, \ldots, a_k$ называется разбиение множества $1, \ldots, k$ на непересекающиеся подмножества, записываемое с помощью группировки этих слагаемых в скобки.
Но вот $2xy$ под это определение не подходит. Поэтому Вы, видимо, под группировкой понимаете что-то другое.

Возможно, Вы сейчас тезис «группировка», траҡтуете именно так.
Но взгляните, в каком контексте, и с каким вложенным смыслом, Вы предъявляли мне тезис ранее:

Цитата:

Alek, давайте с самого начала, по шагам и максимально подробно.
Вот у нас есть равенство $\underbrace{x^2 + \ldots + x^2}_{x\text{ раз}} + \underbrace{y^2 + \ldots + y^2}_{y\text{ раз}} = \underbrace{z^2 + \ldots + z^2}_{z\text{ раз}}$ - это так?
Если да, то дальше Вы пытаетесь как-то сгруппировать в нём слагаемые - это так?
Если да, то каким конкретно образом Вы их группируете?
(на группировке, если она правда происходит, предлагаю пока остановиться, если с ней всё будет понятно, то поедем дальше)

Совершенңо очевидно, что вы в том числе прямо указали ещё и на операцию сложения. Впрочем, это неважно. Важно то, что мы идём по кругу, с повторяющимися Вашими вопросами и моими ответами))

mihaild в сообщении #1598471 писал(а):

варианты подсчёта

Ведь буквально выше повторял для Вас варианты подсчёта квадратов.

$x^2+ y^2 = z^2$... $x^2+ y^2 = z^2$... $x^2+ y^2 = z^2$...
$x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$... $x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$... $x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$...
$x^2 + 2 \cdot\ x^2 + x^2$... $x^2 + 2 \cdot\ x^2 + x^2$... $x^2 + 2 \cdot\ x^2 + x^2$...

Тоже самое, в более общем виде, есть и в статье.

[wrest]

Alek в сообщении #1598473 писал(а):

Ведь буквально выше повторял для Вас варианты подсчёта квадратов.

$x^2+ y^2 = z^2$... $x^2+ y^2 = z^2$... $x^2+ y^2 = z^2$...
$x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$... $x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$... $x^2+ 2 \cdot\ x \cdot\ y + y^2 = z^2$...
$x^2 + 2 \cdot\ x^2 + x^2$... $x^2 + 2 \cdot\ x^2 + x^2$... $x^2 + 2 \cdot\ x^2 + x^2$...

Тоже самое, в более общем виде, есть и в статье.

Вот эта запись, с многоточиями, она какая-то бессмысленная. Надо вам как-то её пояснее сделать. Меня вот например тоже смущают (помимо многоточий) члены $2 \cdot\ x \cdot\ y$ - откуда они прилетели сюда, если их не было раньше.

Предположим (только предположим) что $20^3+21^3=25^3$ или $20^3+21^3=26^3$ рассмотрите оба случая (на самом деле $20^3+21^3\approx 25,84^3$ )
Как ваши манипуляции с раскладываниями на квадраты тут сработают?

[Alek]

wrest в сообщении #1598478 писал(а):

Вот эта запись, с многоточиями, она какая-то бессмысленная. Надо вам как-то её пояснее сделать. Меня вот например тоже смущают (помимо многоточий) члены $2 \cdot\ x \cdot\ y$ - откуда они прилетели сюда, если их не было раньше.

Предположим (только предположим) что $20^3+21^3=25^3$ или $20^3+21^3=26^3$ рассмотрите оба случая (на самом деле $20^3+21^3\approx 25,84^3$ )
Как ваши манипуляции с раскладываниями на квадраты тут сработают?

Запись с многоточиями в первой строке, в совокупностью с текстом статьи и предыдущими комментариями, означает, что попарно суммируются все квадраты меньшего слагаемого, с таҡим же числом квадратов большего слагаемого. В сумме, дают новый квадрат. Квадраты в этом конкретном случае – Пифагоровы числа тройки, как например math]$3^2$[/math]; $4^2[$.

Вторая строка с многоточиями, это сумма квадратов разных слагаемых. В этом случае, квадраты – НЕ Пифагоровы числа. Вследствие чего, для получения в резульате нового квадрата, к ним необходимо прибавить по $2 \cdot\ x \cdot\ y$, к каждой сумме. По арифметическому правилу разложения квадрата суммы.

Третья строка, сложение одинаковых квадратов одного слагаемого. И здесь, чтобы прлучить результатом квадрат, необходимо добавлять по $2 \cdot\ x^2$, по вышеуказанному правилу.

wrest в сообщении #1598478 писал(а):

Предположим (только предположим) что $20^3+21^3=25^3$ или $20^3+21^3=26^3$ рассмотрите оба случая (на самом деле $20^3+21^3\approx 25,84^3$ )
Как ваши манипуляции с раскладываниями на квадраты тут сработают?

Манипуяции не мои, они арифметические))
-- разложите (те!) $20^3$ на квадраты: получите двадцать штук квадратов, со стороной двадцать, как бы это ни было удивительно))

То же с $21^3$, получите.. двадцать один квадрат, со стороной... 21))
Поскольку есть тройка 20,21,29 то суммируйте «по первой строке», так быстрее (а по факту – всё равно))))

Итак:
каждая двадцатка, суммируется с тем же количеством 21, то есть, квадратов со стороной 29, Вы получите ровно двадцать штук..
И один сиротливый квадратик 21, оставшийся без пары(((

Теперь внимательно считайте: сколько всего получилось у Вас квадратов, в левой части?..
Правильно) Их – ровно двадцать один.

О чём это нам говорит? О том, что число квадратов справа, априори должно быть больше числа квадратов слева.
Почему так, Вы знаете: справа, (в случае равенства), самое большое основание степени, т.е. квадратов больше, чем было в наибольшем слагаемом. А там их было – 21. Столько же слева и осталось))

Не подсчитывая численный результат, Вы вправе сделать обоснованный вывод: не существует в правой части выражения – степени с натуральным основанием и тем же, что и у слагаемых показателем, которое влеҡло бы равенство.

Дальше сами.

[mihaild]

Alek в сообщении #1598473 писал(а):

Ведь буквально выше повторял для Вас варианты подсчёта квадратов

Определение дайте, а не примеры. Тем более что у Вас строчки выглядят сильно по-разному (в первых двух есть знаки равенства, в третьей нет).

Alek в сообщении #1598480 писал(а):

Не подсчитывая численный результат, Вы вправе сделать обоснованный вывод: не существует в правой части выражения – степени с натуральным основанием и тем же, что и у слагаемых показателем, которое влеҡло бы равенство

Нет, не вправе. Получили, что слева $20\cdot 29^2 + 21^2$ , справа $26\cdot 26^2$. Как "без вычислений" получить, что эти числа не равны?

[Alek]

mihaild в сообщении #1598488 писал(а):

пределение дайте, а не примеры. Тем более что у Вас строчки выглядят сильно по-разному (в первых двух есть знаки равенства, в третьей нет).

Определения суммирования квадратов и разложения квадрата суммы, Вы это серьёзно, не шутите?))

Мало того, что эти формулы и определения к ним явно не мной придуманы.. Ну, хорошо. Поскольку всё же их применил к ВТФ, думаю, что Ваше требование отчасти справедливо.

Итак:
Оределение 1:
Для того, чтобы сложить два натуральных квадрата с разными основаниями, являющиеся Пифагоровыми числами любой Пифагоровой тройки, надо воспользоваться либо табличными данными, либо считать результат по соответствующей формуле.

Примечание: вышеуказанные квадраты, получены путем разложения слагаемых из левой части выражения ВТФ. Каждое слагаемое, раскладывается на одинаковые квадраты, согласно правилам арифметики, об умножении степеней с одинаковым основанием.

Определение 2:
Для того, чтобы сложить два натуральных квадрата с разными основаниями, не являющиеся Пифагоровыми числами, надо воспользоваться формулой разложения квадрата суммы. В соответствии с которой, для получения в сумме – натурального квадрата, необходимо прибавить к слагаемым удвоенное произведение оснований квадратов.

Оределение 3:
Для того, чтобы сложить два натуральных квадрата с одинаҡовыми основаниями, следует так же воспользоваться формулой разложения квадрата суммы. В соответствии с которой, для получения в сумме – натурального квадрата, необходимо прибавить к слагаемым удвоенное произведение оснований квадратов.

mihaild в сообщении #1598488 писал(а):

Нет, не вправе. Получили, что слева $20\cdot 29^2 + 21^2$ , справа $26\cdot 26^2$. Как "без вычислений" получить, что эти числа не равны?

Вправе)) Причём в полном праве.
Считать реультат – необязательно, если Вы уже узнали, что количество квадратов слева, не превышает количество квадратов, которые были в наибольшем слагаемом до суммирования.
Это было неоднократно разъяснено в топике, начиная прямо с текста статьи, и во многих комментариях))

[wrest]

Alek в сообщении #1598480 писал(а):

О чём это нам говорит?

Ни о чём. Ну теперь хотя бы уже точно стало понятно, в чем проблема.
Если коротко, то вы впали в иллюзию, схожую с автором фразы "А в попугаях я длинее"

[Alek]

wrest в сообщении #1598495 писал(а):

Ни о чём. Ну теперь хотя бы уже точно стало понятно, в чем проблема.
Если коротко, то вы впали в иллюзию, схожую с автором фразы "А в попугаях я длинее"

От всей души, Поздравляю Вас с обретением инфы о длине тела, схожего с автором)) Даже если это иллюзия))

А если без шуток, аргументы, будут?
Будут аргументы-то, или нет?))

[mihaild]

Alek в сообщении #1598494 писал(а):

Определения суммирования квадратов и разложения квадрата суммы

Нет, определение "вариантов подсчета".

Alek в сообщении #1598494 писал(а):

Для того, чтобы сложить два натуральных квадрата с разными основаниями, являющиеся Пифагоровыми числами любой Пифагоровой тройки, надо воспользоваться либо табличными данными, либо считать результат по соответствующей формуле

А при этом получится результат, отличающийся от стандартного?
Меня в детстве учили, что $3^2 + 4^2 = 25$ - это согласуется с Вашим определением (тогда зачем оно?) или нет (тогда чему равно $3^2+4^2$?).
Аналогичные вопросы к остальным "определениям".

Кстати, это не определения чисто синтаксически, потому что в них не указано собственно название того, что определяется.

Alek в сообщении #1598494 писал(а):

Считать реультат – необязательно, если Вы уже узнали, что количество квадратов слева, не превышает количество квадратов, которые были в наибольшем слагаемом до суммирования.

Что такое "число квадратов слева"? Это вообще характеристика чего - числа, способа записи числа, еще чего-то?

Alek в сообщении #1598494 писал(а):

Считать реультат – необязательно

А "сколько квадратов" в левой и правой частях равенства $23 \cdot 67^2 + 24^2 = 47\cdot 47^2$, и чем оно так сильно отличается от $20\cdot 29^2 + 21^2 \neq 26^2$?

[wrest]

Alek в сообщении #1598497 писал(а):

Будут аргументы-то, или нет?))

Alek в сообщении #1598480 писал(а):

не существует в правой части выражения – степени с натуральным основанием и тем же, что и у слагаемых показателем, которое влеҡло бы равенство.

Ну вот, например, из обсуждаемого: $20^3+21^3=20\cdot 29^2 +21^2=10^2+131^2$
Слева много квадратов (21) а справа мало (только два). И это -- равенство Максимум на что ещё "раскладывается" правая часть (не считая, конечно, тривиального случая в виде суммы единиц), это $20\cdot 29^2 +21^2=6^2+8^2+131^2$

[Alek]

mihaild в сообщении #1598499 писал(а):

Нет, определение "вариантов подсчета".

Определение 1-1
Подсчёт квадратов, полученных при разложении (см. Примечание к Определениям 1, 2, 3 и сами эти определения), производится следующим образом:
-- складываются квадраты;
-- подсчитывается их количество после суммирования;
-- вычисленное количество квадратов, сравнивается с количеством квадратов наибольшего слагаемого, которое было до суммирования.

mihaild в сообщении #1598499 писал(а):

А при этом получится результат, отличающийся от стандартного?
Меня в детстве учили, что $3^2 + 4^2 = 25$ - это согласуется с Вашим определением (тогда зачем оно?) или нет (тогда чему равно $3^2+4^2$?).
Аналогичные вопросы к остальным "определениям".

Вы давно поняли (я читал многие ваши комментарии, и вы сведущи в математике))), что речь идёт вовсе не о численном результате, на чём вы сейчас зачем-то настаиваете, а о количестве и соотношениях именно квадратов))
Такое пренебрежение к оппоненту, для ветерана математических баталий, мягко говоря некомильфо. Очень мягко))
Смотрите, как Вы уже не в первый раз, реализуете своё отношение:

mihaild в сообщении #1598499 писал(а):

Что такое "число квадратов слева"? Это вообще характеристика чего - числа, способа записи числа, еще чего-то?

О да. Тезис ведь «впервые» Вам встретился?))
Число квадратов слева, это количество всех квадратов в левой части выражения из ВТФ.

mihaild в сообщении #1598499 писал(а):

А "сколько квадратов" в левой и правой частях равенства $23 \cdot 67^2 + 24^2 = 47\cdot 47^2$, и чем оно так сильно отличается от $20\cdot 29^2 + 21^2 \neq 26^2$?

В первом выражении, в правой части – 47 квадратов. Слева – 24 квадрата.
Отличия, о которых Вы спрашиваете, есть как в количестве квадратов, так и в их величинах))

-- 22.06.2023, 06:05 --

wrest в сообщении #1598500 писал(а):

Ну вот напримерь из обсуждаемого: $20^3+21^3=20\cdot 29^2 +21^2=10^2+131^2$
Слева много квадратов (21) а справа мало (только два). И это -- равенство Максимум на что ещё "раскладывается" правая часть (не считая, конечно, тривиального случая в виде суммы единиц), это $20\cdot 29^2 +21^2=6^2+8^2+131^2$

Ну вы так-то не шутите)) У вас что, справа одно основание в кубе? Нет))
Вы попробуйте, попробуйте его отыскать))

Вот потому и можно оперировать квадратами в ВТФ, чтобы выяснить – может ли быть равенство суммы двух разных чисел с одинаковой степенью больше двух, с правой частью, где вдруг – тоже натуральное число в той же степени? (нет))))

[mihaild]

Alek в сообщении #1598501 писал(а):

складываются квадраты

Что в точности под этим понимается - что каждое новое слагаемое должно быть суммой некоторого набора исходных квадратов? Тогда что там за $2xy$ было?

Alek в сообщении #1598501 писал(а):

Число квадратов слева, это количество всех квадратов в левой части выражения из ВТФ

mihaild в сообщении #1598499 писал(а):

Это вообще характеристика чего - числа, способа записи числа, еще чего-то?

Alek в сообщении #1598501 писал(а):

В первом выражении, в правой части – 47 квадратов. Слева – 24 квадрата

Ну хорошо, тогда, видимо, в неравенстве $20\cdot 29^2 + 21^2 \neq 26^2$ слева $21$ квадрат, а справа $26$. И как же из "количества квадратов" понять, где равенство, а где нет?

[Alek]

mihaild в сообщении #1598504 писал(а):

Что в точности под этим понимается - что каждое новое слагаемое должно быть суммой некоторого набора исходных квадратов? Тогда что там за $2xy$ было?

Какого «некоторого»? Два слагаемых слева))) разложены на квадраты. Эти квадраты, суммируются одним из трёх способов (см. Определения).

Про $2xy$ и $2x^2$ чуть выше уже объяснял. Не прочитали? Не беда, прочитайте определения 2 и 3, которые Вы буквально только что требовали, это всё там.

mihaild в сообщении #1598504 писал(а):

Ну хорошо, тогда, видимо, в неравенстве $20\cdot 29^2 + 21^2 \neq 26^2$ слева $21$ квадрат, а справа $26$. И как же из "количества квадратов" понять, где равенство, а где нет?

Видимо не очень хорошо, раз не читаете ответы и переспрашиваете)) Сейчас сҡопирую:

Alek в сообщении #1598480 писал(а):

-- разложите (те!) $20^3$ на квадраты: получите двадцать штук квадратов, со стороной двадцать.

То же с $21^3$, получите.. двадцать один квадрат, со стороной... 21))
Поскольку есть тройка 20,21,29 то суммируйте «по первой строке», так быстрее (а по факту – всё равно))))

Итак:
каждая двадцатка, суммируется с тем же количеством 21, то есть, квадратов со стороной 29, Вы получите ровно двадцать штук..
И один сиротливый квадратик 21, оставшийся без пары(((

Теперь внимательно считайте: сколько всего получилось у Вас квадратов, в левой части?..
Правильно. Их – ровно двадцать один.

О чём это нам говорит? О том, что число квадратов справа, априори должно быть больше числа квадратов слева.
Почему так, Вы знаете: справа, (в случае равенства), самое большое основание степени, т.е. квадратов больше, чем было в наибольшем слагаемом. А там их было – 21. Столько же слева и осталось))

Не подсчитывая численный результат, Вы вправе сделать обоснованный вывод: не существует в правой части выражения – степени с натуральным основанием и тем же, что и у слагаемых показателем, которое влеҡло бы равенство.

[wrest]

Alek в сообщении #1598501 писал(а):

Вы попробуйте, попробуйте его отыскать))

Если вы просите показать вам контрпример к ВТФ для кубов, то со времён Эйлера известно, что их нет

[Alek]

wrest в сообщении #1598507 писал(а):

Если вы просите показать вам контрпример к ВТФ для кубов, то со времён Эйлера известно, что их нет

Я не просил))
Ну Вы поняли, насчёт предъявленного Вами последнего примера, что одного куба справа быть никак не может?))

[wrest]

Alek в сообщении #1598508 писал(а):

одного куба справа быть никак не может?))

Может например в таких случаях, как
$3^3+4^3+5^3=6^3$