Великая теорема Ферма и гипотеза Биля

[Сомик]

ananova в сообщении #159269 писал(а):

Полагая, что ВТФ справедлива, следует ли из этого что А не делится на C-B?

Нет, конечно. Как могут делиться друг-на друга несуществующие числа? Не существует чисел, которые удовлетворяют уравнению $A^n = B^n + C^n$, поэтому и говорить о их делимости нет смыла.

[Батороев]

Автор в конце своего доказательства вопрошает, как Евклид мог получить формулу:
$ A^n = (\frac{A^n+1}{2})^2-(\frac{A^n-1}{2})^2 $, если автор получил ее на основе строгих математических выкладок?
За Евклида ответить не могу, но у меня получилось следующее:
$ (\frac{A^n+1}{2})^2-(\frac{A^n-1}{2})^2 = \frac{A^{2n}+2A^n + 1 -A^{2n} + 2A^n - 1}{4} = \frac{4A^n}{4} = A^n $.

Причем на месте $A^n$ может быть любое число.

[yk2ru]

Батороев в сообщении #159365 писал(а):

Причем на месте может быть любое число.

Любые числа A и n.

[TOTAL]

Сомик писал(а):

Не существует чисел, которые удовлетворяют уравнению $A^n = B^n + C^n$, поэтому и говорить о их делимости нет смыла.

Почему не существует таких чисел?

[Сомик]

TOTAL в сообщении #159521 писал(а):

Почему не существует таких чисел?

Потому, что Уайлс доказал, что не существует натуральных чисел $A$, $B$, $C$ и $n > 2$ для которых это уравнение выполняется.
В чем вопрос -то ?

[yk2ru]

TOTAL писал(а):

Сомик писал(а):

Не существует чисел, которые удовлетворяют уравнению $A^n = B^n + C^n$, поэтому и говорить о их делимости нет смыла.

Почему не существует таких чисел?

Если говорить вообще о любых числах, то существуют. Берём для одной переменной число нуль.

[Сомик]

yk2ru в сообщении #159539 писал(а):

Если говорить вообще о любых числах, то существуют. Берём для одной переменной число нуль.

Гениально!
Просто открыли мне глаза на суть вещей.
Давайте больше не мусолить эту тему...

[ananova]

Цитата:

Нет, конечно. Как могут делиться друг-на друга несуществующие числа? Не существует чисел, которые удовлетворяют уравнению $A^n = B^n + C^n$, поэтому и говорить о их делимости нет смыла.

Действительно, я имел ввиду гипотетическое решение!

Читаю, читаю литературу и нахожу много противоречий даже в опубликованных книгах. Поэтому и задал уточняющий вопрос.

Автор данной темы KORIOLA сетует, что не хотят публиковать его четыре или пять доказательств - не принимают "светила науки".

{KORIOLA, сейчас в продаже находится несколько книг, которых не стоило бы и публиковать.
Эти книги продают за рубли и выпущены не знаю каким тиражом. Так что - кто хочет, то своего добьется. Но нужно ли их было публиковать. Вот в чем вопрос}

В одной из этих книг автор (могу дать ссылки) утверждает, что у Уайлса он нашел ошибки и он доказал, что возможно решение реальное, а не гипотетическое, при очень больших значениях A,B,C. Бред полнейший.

В другой книге автор приводит 13 или больше трудностей в решении проблемы Ферма и типа каждая из этих трудностей, подтверждаеющая сложность решения, и является доказательством, что теорема справедлива.

Т.е. трудности являются подтверждением справедливости. Замечательные доводы - можем вместе посмеяться.

В книжке Рибенбойма я нашел два результата и доказательства, что если существует гипотетическое решение в уравнении Ферма $A^n = B^n + C^n$, то легко доказать, что $A^n = B^n + C^n$ делится на (B+C), но (B+C) не делит A, C этим я тоже согласен.

В этой теме промелькнуло, что если существует решение $A^n = B^n + C^n$,, то оно делится на (С-B), но A не делится на (С-B). Как бы это вскользь затронуто (типа нет доказательства строгого). Ещё есть в книжках доказательство, что C+B взаимнопросто с C-B, если существует гипотетическое решение $A^3 = B^3 + C^3$,. Вот это меня запутало, видимо слишком много прочитал. Получается что гипотетическое решение $A^n = B^n + C^n$, делится на (C+B) и (C-B)???? похоже где-то тут я туплю исходя из всех приведенных рассуждений ;( Должно быть либо то - либо другое.

Наши предки также доказали лет 100-150 назад, что НОД($B^n - C^n$)/($B - C$), ($B - C$))=НОД (n,($B - C$))=n

Эта замечательная "каша" по-моему, является хорошей головоломкой, поэтому я и задал наводящий вопрос, чтобы узнать разные мнения или ещё больше запутать меня.

Если на мои проблемы есть у Вас ответы, то можно перенести их в отдельную тему: "Условия делимости теоремы Ферма" или прошу не закрывать эту тему - продолжить дискуссию на тему делимости.

Под каждый приведенный тут абзац я могу дать уточняющую ссылку на абзацы в печатных первоисточниках, чтобы удостоверится что я тут не развожу понты, а на самом деле распутываю логику результатов.

[ananova]

ananova в сообщении #159596 писал(а):

В этой теме промелькнуло, что если существует решение $A^n = B^n + C^n$,, то оно делится на (С-B), но A не делится на (С-B). Как бы это вскользь затронуто (типа нет доказательства строгого). Ещё есть в книжках доказательство, что C+B взаимнопросто с C-B, если существует гипотетическое решение $A^3 = B^3 + C^3$,.

Остановлюсь подробней на последнем... См. Рибенбойм. "Последняя теореме Ферма для любителей (МИР, 2003 г.) см. страницу 38 о доказательстве частного случая для n=3.
"Предположим, что x, y,z - отличные от нуля попарно взаимно простые целые числа, такие, что $x^3 + y^3 + z^3 = 0$. ... $x,y$ нечетны, а $z$ - четно. ...... Так как числа $x+y, x-y$ четны, существуют целые a и b, такие, что $2a= x + y, 2b = x-y$. Отсюда $x = a + b, y = a-b$ и, следовательно, a, b ≠ 0, НОД(a, b) = 1, причем a и b имеют различную четность.

Легко видеть, что справедлива цепочка равенств
$-z^3 = x^3 + y^3 = (a+b)^3 + (a-b)^3 = 2a(a^2+3b^2).$

....

Делаю заключение - $a$ делит $x^3 + y^3 + z^3 = 0$, так как $a$ делит $z^3$. Из условия $2a = x+y$, следует $(x+y)$ делит $z^3$. Учитывая, что НОД (a,b)=1, то $(x+y)$ взаимнопросто с $(x-y)$.

Выполняю сравнение $-z^3 = 2a(a^2+3b^2)$ по модулю $b$: $z^3 \equiv\p 2a^3$ mod b. Так как 2 не является кубом, следует, что: $(x-y)$ не делит нацело $z^3$? Или такое сравнение допустимо (т.е. является моим пробелом в теории чисел)?

[В этой теме есть противоположные результаты, к которым у меня нет замечаний.]

Чтобы разобраться и выстроить цепочку логических результатов, хотел бы получить Ваш комментарий.

[shwedka]

ananova в сообщении #159820 писал(а):

Выполняю сравнение $-z^3 = 2a(a^2+3b^2)$ по модулю $b$: $z^3 \equiv\p 2a^3$ mod b. Так как 2 не является кубом, следует, что: $(x-y)$ не делит нацело $z^3$?

Из сравнения делимость не следует.5 сравнимо с 17 по модулю 3, но отсюда не следует, что 17 делится на 5. Или 5 на 17.

[ananova]

shwedka в сообщении #159829 писал(а):

Из сравнения делимость не следует.5 сравнимо с 17 по модулю 3, но отсюда не следует, что 17 делится на 5. Или 5 на 17.

Ваш пример мне понятен. Из сравнения по модулю 3 или b, не следует что 17 делится на 5 и наоборот.

Попробую уточнить что я не так или так понимаю:
Я понимаю так: куб может быть сравним с кубом: $(2*3)^3=2^33^3$. А тут куб сравнивается с кубом умноженным на 2. Какой вывод?
Я делаю вывод, что $2b=x-y$ не делит $z^3$

Может какой-то контрпример есть простой?

[shwedka]

ananova в сообщении #159850 писал(а):

Я делаю вывод, что $b=x-y$ не делит $z^3$

делать можно какой угодно вывод, но без доказательтва этот вывод у вас и останется. попробуйте Ваш вывод доказать.

[ananova]

shwedka в сообщении #159852 писал(а):

делать можно какой угодно вывод, но без доказательтва этот вывод у вас и останется. попробуйте Ваш вывод доказать.

Допустим я не докажу это и принимаю обратное, то что здесь в теме было указано - доказанный факт, что (x-y) в случае существования гипотетического решения - делит $z^3$.

Тогда имеем два факта: (x+y) делит $z^3$ и $z^3$ делится на (x-y).

При этом x+y взаимнопросто c x-y. Я тут ничего не напутал?

Добавлено спустя 38 минут 3 секунды:

shwedka в сообщении #159852 писал(а):

попробуйте Ваш вывод доказать.

Я понимаю что глупо тут приводить нижеследующее доказательство, т.к. с моей позиции - оно подходит для этого, а с Вашей скорей всего нет. Но тем не менее:

Если произведение двух взаимно простых натуральных чисел является n-ой степенью, то каждый из сомножителей также будет n-ой степенью:

$ab = c^n$; НОД(a; b) = 1; a, b I N

Доказать: $a = x^n; b = y^n$

Доказательство: Если разложить $c^n$ на простые множители, то: $c^n = d1 * … * d1 * d2 * … *d2*dm*... *dm$ , где каждого множителя по n. Если же разложить на простые множители числа $a$ и $b$, то какие-то из чисел $d1 … dm$ уйдут к a, какие-то – к b, причём одинаковые уйти и туда, и туда не могут в силу того, что НОД(a; b) = 1, т. е. $a$ есть произведение n-х степеней неких простых чисел, и b также – произведение n-х степеней каких-то чисел, следовательно: $a = x^n$; $b = y^n$.

Если сравнивать $a = x^n$ и $b = 2*y^n$ по модулю $c$, то:
если число $c$ делит $y$, то оно делит и x, однако у нас $x$ и $y$ взаимнопростые.

Таким образом, мой вывод, что $(x-y)$ не может делить $-z^3 = 2a(a^2+3b^2)$

[Someone]

ananova в сообщении #159820 писал(а):

то $(x+y)$ взаимнопросто с $(x-y)$

Неверно. $\text{НОД}(x+y,x-y)=2$.

ananova в сообщении #159820 писал(а):

Выполняю сравнение $-z^3=2a(a^2+3b^2)$ по модулю $b$: $z^3\equiv 2a^3$ mod b. Так как 2 не является кубом

Здесь опечатка: должно быть $-z^3\equiv 2a^3\pmod{b}$.
Кроме того, неизвестно, является число $2$ кубом по модулю $b$ или не является. Это зависит от конкретного $b$.

ananova в сообщении #159857 писал(а):

Тогда имеем два факта: (x+y) делит $z^3$ и $z^3$ делится на (x-y).

Откуда вообще взялось утверждение о делимости $z^3$ на $x-y$?

[ananova]

Someone в сообщении #159992 писал(а):

Неверно. $\text{НОД}(x+y,x-y)=2$.

Да, согласен. $\text{НОД}((x+y)/2,(x-y)/2)=1$ Мысли убежали дальше, в результате - нестыковка рассуждений.

Someone в сообщении #159992 писал(а):

Здесь опечатка: должно быть $-z^3\equiv 2a^3\pmod{b}$.
Кроме того, неизвестно, является число $2$ кубом по модулю $b$ или не является. Это зависит от конкретного $b$.

Если разделим $-z^3 = 2a(a^2+3b^2)=2a^3+6ab^2$ на b, при взаимнопростых $a$ и $b$, получается: $-z^3$ может делиться на $b=(x-y)/2$. Готов признать - при x-y=2 - проявляется незавершенность моих рассуждений и явные белые пятна.

Someone в сообщении #159992 писал(а):

Откуда вообще взялось утверждение о делимости $z^3$ на $x-y$?

Видимо в этом комментарии и есть то, что может распутать мои рассуждения. Действительно

Someone в сообщении #158011 писал(а):

Я рассмотрю случай простого $n>2$, числа $A$, $B$, $C$ предполагаются попарно взаимно простыми.

$$A^n=C^n-B^n=(C-B)\frac{C^n-B^n}{C-B}=(C-B)(C^{n-1}+C^{n-2}B+C^{n-3}B^2+\ldots+B^{n-1})$$

Вот моя ошибка: я смешал Ваше рассуждение и свое. То есть, если в Вашем вместо $A$ подставить $X$, вместо $C$ подставить $Z$, а вместо $B$ подставим $Y$, то я, каюсь, сделал неверный вывод, что: $X^3$ делится на $Z-Y$ в случае гипотетического решения. На самом деле, Вы показали, что такой результат нельзя получить. Мое ошибочное рассуждение, что $-Z^3$ не делится на $X-Y$ фактически коррелирует с Вашим правильным доказательством этого факта (в случае существования гипотетического решения). Одно верно: $Z^n$ должно делиться на $(X+Y)$, т.е. $(X+Y)$ содержит множители $Z^n$