ВТФ и дискретная геометрия

[serval]

Здравствуйте. Опять должен начать с извинений перед Администрацией форума - я AN. Я опять забыл пароль и сменил почтовый ящик, поэтому заново зарегистрировался как serval. Теперь на всех форумах я пользуюсь одним паролем, надеюсь что это поможет его не забыть : )
Предлагаю подумать над задачей: дано уравнение

$$\vec{e}\hat{A_1}\vec{n}=0$$

(1)
где вектор

$$\vec{e}=\{1,1,-1\}$$

, вектор

$$\vec{n}=\{1,3,2\}$$

, а матрица оператора

$$\hat{A_1}$$

имеет вид

$${A_1}=\left (\begin{array}{ccc} 1&{x_{a2}}&{x_{a3}}\\ 1&{x_{b2}}&{x_{b3}}\\ 1&{x_{c2}}&{x_{c3}} \end{array}\right)$$

Каким условиям должна удовлетворять матрица

$${A_1}$$

чтобы уравнение (1) выполнялось?
В развёрнутом виде уравнение (1) выглядит так

$$\left(1,1,-1\right) \left (\begin{array}{ccc} 1&{x_{a2}}&{x_{a3}}\\ 1&{x_{b2}}&{x_{b3}}\\ 1&{x_{c2}}&{x_{c3}} \end{array}\right) \left(\begin{array}{lll} 1\\3\\2 \end{array}\right) =0$$

Дополнительно: строки матрицы являются усечёнными до третьего элемента строками треугольника Паскаля

$$\begin{array}{ccccccc} &\multicolumn{1}{|c}{x_{i1}}&x_{i2}&x_{i3}&x_{i4}&x_{i5}&\ldots\\ \hline 1&\multicolumn{1}{|c}{1}&0&0&0&0&\ \\ 2&\multicolumn{1}{|c}{1}&1&0&0&0&\ \\ 3&\multicolumn{1}{|c}{1}&2&1&0&0&\ldots\\ 4&\multicolumn{1}{|c}{1}&3&3&1&0&\ \\ 5&\multicolumn{1}{|c}{1}&4&6&4&1&\ \\ \vdots&\multicolumn{1}{|c}{\ }&\vdots&\ &\ &\ &\ddots \end{array}$$

а условия на матрицу

$${A_1}$$

соответствуют условиям для Пифагоровых троек (ВТФ для случая

$$n=2$$

)

$$a=2mn$$

$$b=m^2-n^2$$

$$c=m^2+n^2$$

в традиционной записи

$$a^2+b^2=c^2$$

Добавлено спустя 34 минуты 30 секунд:

И ещё. Для случая

$$n=3$$

уравнение

$$\vec{e}\hat{A_1}\vec{n}=0$$

примет вид

$$\left(1,1,-1\right) \left (\begin{array}{cccc} 1&{x_{a2}}&{x_{a3}}&{x_{a4}}\\ 1&{x_{b2}}&{x_{b3}}&{x_{b4}}\\ 1&{x_{c2}}&{x_{c3}}&{x_{c4}} \end{array}\right) \left(\begin{array}{lll} 1\\7\\12\\6 \end{array}\right)=0$$

Можно ли отсюда сделать какие-либо выводы о его разрешимости?

[serval]

Я рассказывал, что с помощью бесконечного семейства описанных выше треугольников (упорядоченных векторных множеств) можно представить натуральные числа скалярными произведениями их строк. Либо, через координаты перемножаемых векторов, точками 4-х мерного пространства.
Ещё я рассказывал, что у меня есть пример такого разложения (векторной факторизации) простого числа. Сейчас у меня таких примеров уже 118. Это среди первых 10.000.000 натуральных чисел. Собственно, количество зависит от задаваемого размера и количества треугольников. Предполагаю, что при достаточно большой величине этих параметров таким способом факторизуются все простые числа.
Интересно другое - есть ли закономерность в распределении векторов, дающих при скалярном перемножении простые числа? 118 найденных разложений для статистики мало. Продолжаю копать.

Добавлено спустя 53 минуты 44 секунды:

Если кому-нибудь интересно, могу выложить найденные примеры с указанием перемножаемых векторов в формате ([t1,s1],[t2,s2]), где t1 - номер 1-го (из двух) треугольника, s1 - номер строки в нём, t2 и s2 - соответственно.

[serval]

Почему моя тема самая популярная по просмотрам и совершенно заурядная по ответам? Нет специалистов в комбинаторике и геометрии одновременно? Я сам не специалист ни в том ни в другом.
На всякий случай, представлюсь - Андрей Назаренко, 40 лет, живу в Симферополе, окончил местный университет по кафедре терфизики, сейчас учусь в Киевском политехе по защите информации. Вменяем. Не собираюсь ниспровергать основы. Хочу одного - заинтересованного собеседника. Буду благодарен если порекомендуете. Для справки - проблема, действительно, существует. Показывал, минимум, десятку математиков (в т.ч. своим преподавателям) - никто этого не видел. И никого это не интересует пока нет конкретных приложений. Видимо, пока я не взломаю нацбанк Украины никто не обратит внимания : ) Шутка.

[serval]

Что можно сказать о свойствах линейного оператора матрица которого составлена только положительными числами?

[нг]

serval писал(а):

Почему моя тема самая популярная по просмотрам и совершенно заурядная по ответам? Нет специалистов в комбинаторике и геометрии одновременно?

Потому, что не интересна. И, раз уж я стал отвечать, позвольте заметить, что Ваше сообщение — оффтоп.

[shwedka]

serval писал(а):

Что можно сказать о свойствах линейного оператора матрица которого составлена только положительными числами?

Теорема Фробениуса-Перрона
Максимальное собственное число просто и равно спектральному радиусу, соответствующий собственный вектор имеет положительные компоненты.

[serval]

Насчет ВТФ. У меня тут получается, что при больших степенях ситуация становится чем-то похожей на случай нулевой степени, когда сложив две единицы нельзя получить единицу же.
Только тут для получения бесконечно различных чисел нужно использовать бесконечно близкие, с разницей много меньше 1, что выводит их из ряда натуральных. Пока плохо понимаю, что это. Буду проверять.

[Brukvalub]

serval писал(а):

сейчас учусь в Киевском политехе по защите информации. Вменяем.

(мной выделено существенное для дальнейшего слово)

serval писал(а):

Насчет ВТФ. У меня тут получается, что при больших степенях ситуация становится чем-то похожей на случай нулевой степени, когда сложив две единицы нельзя получить единицу же.
Только тут для получения бесконечно различных чисел нужно использовать бесконечно близкие, с разницей много меньше 1, что выводит их из ряда натуральных. Пока плохо понимаю, что это. Буду проверять.

Вам не кажется, что Ваше последнее заявление может вызвать сомнения в справедливости процитированного мной Вашего предыдущего заявления?

[serval]

Как вставить картинку? По локальному пути не вставляется.

[нг]

serval
Воспользуйтесь, например, услугами imageshack.net

[serval]

Решение квадратного уравнения имеющего натуральные различные корни сводится к следующему.
Известно некоторое число S. Известно также, что оно является суммой n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k. При этом, первый член этой прогрессии равен 1, а шаг равен 2. Требуется найти k и n.
Можно ли это сделать не прибегая к квадратному же уравнению?

[bot]

serval в сообщении #159147 писал(а):

Известно некоторое число S. Известно также, что оно является суммой n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k.

$s=(k+(n-1)\frac{d}{2})n$

serval в сообщении #159147 писал(а):

При этом, первый член этой прогрессии равен 1, а шаг равен 2.

$k=1$ Шаг - это разность прогрессии? $d=2 \Rightarrow s=n^2$

serval в сообщении #159147 писал(а):

Требуется найти k и n.

$k=1, n=\sqrt s. $ Если $s$ не является полным квадратом, то $n$ не натурально. Могло быть ещё хуже при $d<0$.

serval в сообщении #159147 писал(а):

Можно ли это сделать не прибегая к квадратному же уравнению?

А где квадратное уравнение то?

[serval]

Я не говорил, что k=1. S является суммой n членов начиная с k-го, т.е. суммой членов с k по k+n-1.

[bot]

serval в сообщении #159439 писал(а):

Я не говорил, что k=1

Если Вы внимательно посмотрите, то именно это и было сказано. Продолжая Ваш витиеватый стиль говорить сложно о простом, надо было сказать, что первое слагаемое суммы - это k-й член арифметической прогрессии с разностью 2, начинающейся с единицы.

Ну, теперь разъяснилось, что к чему - речь идёт о сумме нечётных чисел от $2k-1$ до $2k-3+2n$ включительно.

Тогда $S=n(2k-2+n)$ - разложение $S$ на два натуральных делителя. Выбираем делитель $n\leqslant \sqrt S$ одинаковой чётности с $S$ и получаем $k=1+\frac{1}{2}\Big(\frac{S}{n}-n\Big)$.
Если $S$ взята не с потолка, а действительно является суммой некоторых последовательных нечётных чисел, то случай чётной, но не делящейся на 4 суммы не представится и выбор будет возможен и в общем случае он не однозначен.

Добавлено спустя 1 минуту 56 секунд:

Опять не вижу никаких квадратных уравнений или я опять что-то не так понял?

[serval]

Смотрю внимательно

Цитата:

первый член этой прогрессии равен 1

Прогрессии, а не суммы. Впрочем, принимаю замечание и буду стараться излагать максимально однозначно.

Цитата:

Опять не вижу никаких квадратных уравнений или я опять что-то не так понял?

Умножьте выражение для k на n и получите квадратное уравнение относительно n.