Природа натуральных чисел

[EminentVictorians]

Ende
Выделено из темы «Теоремы Геделя».

Doctor Boom в сообщении #1593235 писал(а):

А как быть с тем фактом, что истинность этого утверждения является "физическим", объективным фактом? Ну например, вопрос о бесконечности простых чисел близнецов имеет объективный ответ, да или нет, независимо ни от каких аксиом, т.к. натуральные числа "даны нам Богом". И как это осмыслить?

Знаете прикол с кубиком Неккера? Я на натуральные числа так же смотрю - и не понимаю, что вижу)) С одной стороны вроде бы да - "даны Богом", независимы от формальных систем, аксиоматик, имеют объективный характер и т.д. Но иногда у меня закладывается зерно сомнений. Вот взять ту же теорему Гудстейна. При ее доказательстве вроде бы используется трансфинитная индукция (я очень давно разбирал ее доказательство и могу уже многое не помнить, но там основной финт кажется в том, что ординалы оказываются не вполне упорядоченным множеством, а это не так ----> противоречие). А если я например идейный противник трансфинитной индукции? Тогда для меня уже нету этого доказательства. А вдруг трансфинитная индукция - противоречивая и ложная штука? Может быть нам просто повезло, что "маленькие" последовательности Гудстейна оканчиваются нолем, но "на самом деле" найдется последовательность, нолем не оканчивающаяся? Ну а правда - такое можно представить, если бы вдруг оказалось, что трансфинитная индукция - плохой способ рассуждений. Я знаю, что в $ZFC$ с трансфинитной индукцией все в порядке, но по-моему, на таком уровне рассмотрения, когда Вы принимаете существование "объективных" способов рассуждения (т.е. как бы самоочевидных и независящих от конкретных формальных систем) - это не аргумент (а я как раз как бы принимаю их существование; по крайней мере мне периодически так кажется). Можете заменить трансфинитную индукцию на аксиому выбора и оставить примерно те же аргументы.

Кстати, вот что подумал. А существуют ли утверждения о натуральных числах, независящие от аксиом ZFC? Я таких не встречал.

[zykov]

Doctor Boom в сообщении #1593237 писал(а):

вот я тоже подумал, что натуральные числа существуют как квазифизические объекты, т.е. любые утверждения на них имеют объективную истинность или ложность сами по себе

EminentVictorians в сообщении #1593241 писал(а):

С одной стороны вроде бы да - "даны Богом", независимы от формальных систем, аксиоматик, имеют объективный характер и т.д.

Это ошибочная иллюзия.

EminentVictorians в сообщении #1593241 писал(а):

Но иногда у меня закладывается зерно сомнений.

И это правильно.

[EminentVictorians]

Doctor Boom в сообщении #1593242 писал(а):

Если число делится на четыре, то оно делится и на два?

Вы просто с потолка первое попавшееся взяли? Нет, с этим утверждением все в порядке - оно не подойдет.

Doctor Boom в сообщении #1593242 писал(а):

Наверное, это и есть ответ на вопрос?...

Я бы таким ответом не удовлетворился. Это же просто терминологический момент про аксиоматические системы и их модели. А хочется узнать про связь между интуитивно понимаемыми натуральными числами и их формализованными версиями.

zykov в сообщении #1593244 писал(а):

Это ошибочная иллюзия.

Ну Вы просто декларативно говорите и все. С какими-нибудь аргументами было бы более понятно, почему так стоит считать.

-- 10.05.2023, 10:31 --

Doctor Boom в сообщении #1593242 писал(а):

Если число делится на четыре, то оно делится и на два?

А, я понял, почему Вы его привели. Вы меня просто немного не так поняли. Я имел в виду не утверждение с "универсальной, не зависящей от формальных систем" истинностью, а утверждение, не зависящее от аксиом ZFC, типа континуум гипотезы (но про натуральные числа).

[ozheredov]

Doctor Boom в сообщении #1593237 писал(а):

вот я тоже подумал, что натуральные числа существуют как квазифизические объекты

Чем натуральные числа "физичнее" комплексных и кватернионов? Сразу говорю, что на "Я посчитал натуральными числами деревья, и вот они -- три дерева" я отвечу "Я посчитал комплексными числами электрический ток в цепи, и вот он -- ток в цепи. Потом кватернионами посчитал поворот, и действительно -- вот он поворот".

-- 10.05.2023, 14:25 --

EminentVictorians в сообщении #1593257 писал(а):

С какими-нибудь аргументами было бы более понятно, почему так стоит считать.

Вот лежат три яблока; откуда следует существование границы, рзделяющей мироздание на яблоки и не-яблоки? Почему это именно три яблока (яблоко, яблоко, яблоко), а не яблоко, тыблако и онаблоко?

[Doctor Boom]

ozheredov в сообщении #1593307 писал(а):

Чем натуральные числа "физичнее" комплексных и кватернионов? Сразу говорю, что на "Я посчитал натуральными числами деревья, и вот они -- три дерева" я отвечу "Я посчитал комплексными числами электрический ток в цепи, и вот он -- ток в цепи. Потом кватернионами посчитал поворот, и действительно -- вот он поворот".

Да ничем, про них можно сказать то же самое кстати Помню, про это тоже писали, что какие-то утверждения на вещественных числах зависят от аксиомы выбора, как будто наше изначальное понимание вещественных чисел неполно, т.е. не полностью определяет их свойства

ozheredov в сообщении #1593307 писал(а):

Вот лежат три яблока; откуда следует существование границы, рзделяющей мироздание на яблоки и не-яблоки? Почему это именно три яблока (яблоко, яблоко, яблоко), а не яблоко, тыблако и онаблоко?

А это к чему?

mihaild в сообщении #1593310 писал(а):

Нет, не должен, и не согласен

Почему? Приведите пример

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1593314 писал(а):

Почему? Приведите пример

Пример чего? Натурального числа, не являющегося строчкой? Ну например $\{\varnothing\}$.

[EUgeneUS]

Натуральные числа более "естественны", чем комплексные или кватернионы, только потому, что так устроен человеческий мозг.
А человеческий мозг так устроен, потому что развивался он на ровной твердой поверхности, на которой были редкие деревья и валялись всякие штуки.

Довольно давно и уже не помню где, читал фантазии на тему "какая могла бы быть математика у разумных существ, которые живут в совершенно других условиях". Типа, в плотных слоях Юпитера, или в океане Европы, где нет дна. Приводились аргументы, что в таких условиях понятие "натурального числа" будет НЕестественным.

[Dan B-Yallay]

EUgeneUS в сообщении #1593356 писал(а):

Приводились аргументы, что в таких условиях понятие "натурального числа" будет НЕестественным.

Не всё коту масленница категорщику - Set.

[Doctor Boom]

mihaild в сообщении #1593349 писал(а):

Пример чего?

Утверждения о натуральных числах, которое было бы истинно в одной аксиоматике, и ложно в другой

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1593367 писал(а):

Утверждения о натуральных числах, которое было бы истинно в одной аксиоматике, и ложно в другой

$\Box_{PA} \ulcorner\bot\urcorner$
Только не истинно и ложно, а доказуемо и опровержимо. Истинность - это про модели, а не про теории.

[alisa-lebovski]

mihaild, а на человеческий это можно перевести?

[mihaild]

Да собственно всё та же самая непротиворечивость арифметики Пеано. Формула выше - это "существует натуральное число, кодирующее доказательство $0 = 1$ в арифметике Пеано".

[Doctor Boom]

mihaild в сообщении #1593389 писал(а):

Да собственно всё та же самая непротиворечивость арифметики Пеано. Формула выше - это "существует натуральное число, кодирующее доказательство $0 = 1$ в арифметике Пеано".

Непонятно, какой-то мухлеж Я имел ввиду утверждение вида - существует число, разложение на множители которого имеет такое-то свойство, и имеется такая корреляция с цифрами в его записи и т.д.

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1593570 писал(а):

Непонятно, какой-то мухлеж

Так формула выше как раз формула в арифметическом языке:) Её можно записать в виде $\exists x P(X)$, где $P$ некоторая формула с ограниченными кванторами. Но её честное построение занимает лекций 10.

[Doctor Boom]

mihaild
А, ну это тривиальный пример, в самой арифметике Пеано ее противоречивость недоказуема, значит числа нет, а в более мощной теории доказуема, значит число есть) Я просто другой тип утверждений имел ввиду