Теоремы Геделя

[Doctor Boom]

Первая теорема Геделя утверждает, что что любое истинное утверждение в определенной аксиоматической системе доказуемо средствами этой системы
Первая теорема Геделя о неполноте утверждает, что в любой достаточно богатой непротиворечивой аксиоматической системе (а именно такой, где можно ввести бесконечность натурального ряда и аксиомы Пеано) найдется недоказуемое утверждение.
Так вот, если рассмотреть самый простейший пример такой достаточно богатой аксиоматической системы, как например натуральный ряд, возникают некоторые трудности
Т.е. можно сформулировать утверждение на натуральный числах, которое будет недоказумым в аксиомах Пеано, а в более богатой аксиоматике будет? (есть аксиоматика натуральных чисел мощнее Пеано?) А как быть с тем фактом, что истинность этого утверждения является "физическим", объективным фактом? Ну например, вопрос о бесконечности простых чисел близнецов имеет объективный ответ, да или нет, независимо ни от каких аксиом, т.к. натуральные числа "даны нам Богом". И как это осмыслить?

[EminentVictorians]

Doctor Boom в сообщении #1593235 писал(а):

Т.е. можно сформулировать утверждение на натуральный числах, которое будет недоказумым в аксиомах Пеано, а в более богатой аксиоматике будет?

Да, например теорема Гудстейна.

[Doctor Boom]

EminentVictorians
Т.е. аксиомы Пеано не полностью описывают наше интуитивное представление натуральных чисел, а есть более мощная арифметика второго порядка? А что мощнее нее, ZFC? А еще более мощную систему можно? А на основании чего эти более мощные системы получают, как узнать, какие аксиомы добавлять? Просто эти вопросы навеяны давним постом

Padawan в сообщении #1198430 писал(а):

Доказательство теоремы Гёделя о неполноте существенным образом использует содержательные свойства натуральных чисел "стандартной модели". Так что пытаться обойти представление о натуральных числах, которое формируются с детских лет и далее развивается постепенно до аксиом Пеано (с аксиомой индукции в логике второго порядка), просто невозможно. Говорить о теореме Гёделя и отрицать "платоническую реальность" натуральных чисел бессмысленно. Если у кого-то нет представления о "стандартной модели" натуральных чисел, то он просто не поймет доказательство теоремы Гёделя (а может и её формулировку!). Множество натуральных чисел существует (и единственно с точностью до изоморфизма). Это неформальная аксиома (и теорема). Теорема Гёделя - неформальное метаматематическое утверждение, и её доказательство - такое же. Её можно формализовать в рамках какой-либо формальной теории, но это ничего не добавит к её убедительности. Потому что возникнут вопрос, а какое отношение эта формализация имеет к тому, чт мы подразумеваем под теоремой Гёделя. Итог: все нельзя формализовать в математике, всегда будет оставаться содержательный неформализованный метауровень!

Кстати, в который раз вспоминаю Кронекера, который сказал: "Бог создал целые числа, всё остальное - творение человека".

вот я тоже подумал, что натуральные числа существуют как квазифизические объекты, т.е. любые утверждения на них имеют объективную истинность или ложность сами по себе, тогда причем формальные системы, их описывающие? Это просто приближение к "истинным" натуральным числам (Пеано, логика второго порядка), или что?

[EminentVictorians]

Doctor Boom в сообщении #1593237 писал(а):

Т.е. аксиомы Пеано не полностью описывают наше интуитивное представление натуральных чисел

Тут еще 1 момент тонкий. Есть как минимум $2$ нетождественные "аксиоматики Пеано". Одна - на языке логики первого порядка (их там бесконечное число из-за схемы аксиом индукции); другая - в логике второго порядка (а там их уже конечное число). Обычно подразумевают первую. И если говорить о ней, то мое мнение, что да - она не полностью отражает наше интуитивное представление о натуральных числах. Про вторую говорить не буду, т.к. могу ерунду напороть. С логикой второго порядка знаком мало.

Doctor Boom в сообщении #1593237 писал(а):

Это просто приближение к "истинным" натуральным числам

Я то считаю, что да.

Извините, что отвечаю не на все вопросы. Я в Вашей теме сам - как интересующийся.

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1593235 писал(а):

Первая теорема Геделя утверждает, что что любое истинное утверждение в определенной аксиоматической системе доказуемо средствами этой системы

Видимо, речь о теореме о полноте. Её не называют первой теоремой Гёделя, и формулируется она немного иначе.

Doctor Boom в сообщении #1593235 писал(а):

Первая теорема Геделя о неполноте утверждает, что в любой достаточно богатой непротиворечивой аксиоматической системе

Там еще одно важное свойство.

Doctor Boom в сообщении #1593235 писал(а):

такой достаточно богатой аксиоматической системы, как например натуральный ряд

Натуральные числа не являются аксиоматической системой.

Doctor Boom в сообщении #1593235 писал(а):

А как быть с тем фактом, что истинность этого утверждения является "физическим", объективным фактом?

Так же, как и с любыми другими ложными утверждениями - забыть.

Doctor Boom в сообщении #1593237 писал(а):

А на основании чего эти более мощные системы получают, как узнать, какие аксиомы добавлять?

Какие хотите. Можно например добавить аксиому что арифметика Пеано противоречива, получится забавная система (разумеется непротиворечивая).

В логике второго порядка мы просто жульническим образом говорим, что есть какая-то магическая стандартная семантика.

[Doctor Boom]

mihaild в сообщении #1593240 писал(а):

Там еще одно важное свойство.

Какое?

mihaild в сообщении #1593240 писал(а):

Натуральные числа не являются аксиоматической системой.

Наверное, это и есть ответ на вопрос?...

mihaild в сообщении #1593240 писал(а):

Так же, как и с любыми другими ложными утверждениями - забыть.

Почему ложное? Т.е. вы допускаете, что может найтись две формальные системы натуральных чисел (подобные Пеано и др), где вопрос о простых числах близнецах имеет разные ответы?

mihaild в сообщении #1593240 писал(а):

В логике второго порядка мы просто жульническим образом говорим, что есть какая-то магическая стандартная семантика.

А в ZFC как мы жульничаем?

EminentVictorians в сообщении #1593241 писал(а):

Знаете прикол с кубиком Неккера
?

Да Кстати идею в его основе можно использовать для введения кривизны в условно "плоские" пространства различных типов

EminentVictorians в сообщении #1593241 писал(а):

А если я например идейный противник трансфинитной индукции? Тогда для меня уже нету этого доказательства. А вдруг трансфинитная индукция - противоречивая и ложная штука?

Тогда можно сказать, что утверждение имеет определенную, независящую ни от чего истинность

EminentVictorians в сообщении #1593241 писал(а):

Кстати, вот что подумал. А существуют ли утверждения о натуральных числах, независящие от аксиом ZFC? Я таких не встречал.

Если число делится на четыре, то оно делится и на два?

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1593241 писал(а):

А существуют ли утверждения о натуральных числах, независящие от аксиом ZFC?

Да, например "ZFC непротиворечива".
Ну или например утверждение "длина кратчайшей программы, выдающей $x$, не меньше $n$" для всех достаточно больших $n$ недоказуемо ни для какого $x$. Поскольку опровержимо оно только для конечного числа $x$ (т.к. даже PA умеет доказывать, что таких $x$ не больше чем $2^{n + 1}$), то для почти всех $x$ и $n$ это утверждение не зависит от ZFC.
Но кстати интересный момент: если утверждение о натуральных числах доказуемо в ZFC, то оно доказуемо и в ZF.

Doctor Boom в сообщении #1593242 писал(а):

Какое?

Перечислимость множества аксиом.

Doctor Boom в сообщении #1593242 писал(а):

Наверное, это и есть ответ на вопрос?

Да это тривиальщина, просто из определений. Аксиоматическая система - множество строчек, натуральные числа множеством строчек не являются.

Doctor Boom в сообщении #1593242 писал(а):

Т.е. вы допускаете, что может найтись две формальные системы натуральных чисел (подобные Пеано и др), где вопрос о простых числах близнецах имеет разные ответы?

Допускаю.

Doctor Boom в сообщении #1593242 писал(а):

А в ZFC как мы жульничаем?

А никак. Поэтому ZFC тоже неполна, и у неё тоже есть странные модели.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1593281 писал(а):

Да, например "ZFC непротиворечива".

Забавно. Мы просто применим к ZFC обычный финт Геделя (т.е. рассмотрим то самое утверждение, завязанное на геделевские номера, а значит о натуральных числах) и оно не может выводиться из аксиом ZFC, т.к. это противоречило бы теореме Геделя (которая вторая). Примерно так?

[mathematician123]

EminentVictorians в сообщении #1593241 писал(а):

Кстати, вот что подумал. А существуют ли утверждения о натуральных числах, независящие от аксиом ZFC? Я таких не встречал.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Diophantine_set
Раздел "Further applications".

Цитата:

Corresponding to any given consistent axiomatization of number theory,[4] one can explicitly construct a Diophantine equation which has no solutions, but such that this fact cannot be proved within the given axiomatization.

[Doctor Boom]

zykov в сообщении #1593244 писал(а):

Это ошибочная иллюзия

Приведете пример какой-нибудь?

EminentVictorians в сообщении #1593257 писал(а):

А, я понял, почему Вы его привели. Вы меня просто немного не так поняли. Я имел в виду не утверждение с "универсальной, не зависящей от формальных систем" истинностью, а утверждение, не зависящее от аксиом ZFC, типа континуум гипотезы (но про натуральные числа).

А все, понял

mihaild в сообщении #1593281 писал(а):

Да это тривиальщина, просто из определений. Аксиоматическая система - множество строчек, натуральные числа множеством строчек не являются.

Тогда вы должны быть согласны и с этим

Doctor Boom в сообщении #1593237 писал(а):

натуральные числа существуют как квазифизические объекты, т.е. любые утверждения на них имеют объективную истинность или ложность сами по себе

mihaild в сообщении #1593281 писал(а):

Допускаю

Т.е. не уверены?)

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1593305 писал(а):

mihaild в сообщении #1593281 писал(а):

Да это тривиальщина, просто из определений. Аксиоматическая система - множество строчек, натуральные числа множеством строчек не являются.

Тогда вы должны быть согласны и с этим

Doctor Boom в сообщении #1593237 писал(а):

натуральные числа существуют как квазифизические объекты, т.е. любые утверждения на них имеют объективную истинность или ложность сами по себе

Нет, не должен, и не согласен. Просто натуральные числа это не множество строчек (строчка - это функция из начального отрезка натуральных чисел в алфавит).

Doctor Boom в сообщении #1593305 писал(а):

Т.е. не уверены?)

[речь про независимость бесконечности близнецов от аксиом Пеано]
Да, не уверен. Если бы я умел доказывать, что например ZF доказывает, что PA не доказывает бесконечность близнецов, я бы это опубликовал:)

[Ende]

Рассуждения про "данность натуральных чисел Богом", их "физичность" и прочие свойства, не имеющие четких математических определений, выделены в тему «Природа натуральных чисел».

Doctor Boom, EminentVictorians, ozheredov
Не надо устраивать околофилософские диспуты в разделе ПРР(М). Это раздел для вопросов, ответы на которые однозначны и изложены в учебниках математики. Из стартового поста можно выделить как минимум один такой вопрос, вот он.

Doctor Boom в сообщении #1593235 писал(а):

Т.е. можно сформулировать утверждение на натуральных числах, которое будет недоказумым в аксиомах Пеано, а в более богатой аксиоматике будет? (есть аксиоматика натуральных чисел мощнее Пеано?)

EminentVictorians
Не надо задавать свои вопросы в чужих темах ПРР. Одновременные ответы на множество разных вопросов изрядно запутывают читателя. Хотите задать собственный вопрос - создайте отдельную тему.