ВТФ Доказательство клёвое весеннее

[Rak so dna]

Antoshka в сообщении #1590631 писал(а):

Об этом в следующем сообщении

Мой вам совет: прежде чем писать очередную простыню из формул, распишите подробно только идею вашего доказательства. Типа вот этого:

Antoshka в сообщении #1590631 писал(а):

Идея состоит в том, чтобы составить ещё одно уравнение прямо из уравнения $\eqno[17]$ и вывести противоречие, исследуя корни этого уравнения!

только с самого начала и поподробней.

[Antoshka]

Rak so dna в сообщении #1590709 писал(а):

Мой вам совет: прежде чем писать очередную простыню из формул, распишите подробно только идею вашего доказательства

Давайте. Прежде всего надо сделать вот что

Antoshka в сообщении #1590631 писал(а):

В этом случае нужно взять уже упомянутый корень $T+\frac{2}{3}=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_4+ir_5\sqrt{r_6}}}+\frac{\sqrt[3]{r_4+ir_5\sqrt{r_6}}}{r_2}$ и восстановить по нему уравнение, корнем которого он является!

Вообще проблема главным образом заключается в том, что работать надо теперь с комплексными числами, а это значит, нужный нам корень имеет неудобный вид. Неудобный в том смысле, что из него никак нельзя получить противоречие, используя рациональность чисел! Значит надо восстановить уравнение, корнем которого он является, а затем каким-то образом преобразовать это уравнение к удобному виду, то есть к такому уравнению, что его комплексные корни имели бы в тригонометрической форме специальный вид. Специальный вид это значит, что комплексный корень записывается через угол из второй координатной четверти! Почему именно вторая четверть, а не первая? Да потому что во второй четверти есть углы вида $\pi-\arccos r$, ну а раз из комплексного числа надо извлекать ещё и корень третьей степени, то угол приобретает очень удобный вид $\frac{\pi-\arccos r}{3}=\frac{\pi}{3}-\frac{\arccos r}{3};$ такой вид даёт возможность расписать косинус разности через табличные значения $\cos\frac{\pi}{3}=1/2,\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, а эти табличные значения дают в свою очередь возможность составить систему уравнений и вывести из неё противоречие на том основании, что грубо говоря уравнение $A\sqrt{3}+B=0$ разрешимо в рациональных числах только когда $A=0$! Ну а раз так, то на основании $A=0$ уже легко можно вывести противоречие!

[Rak so dna]

Antoshka в сообщении #1590712 писал(а):

очень удобный вид $\frac{\pi-\arccos r}{3}=\frac{\pi}{3}-\frac{\arccos r}{3};$ такой вид даёт возможность расписать косинус разности через табличные значения $\cos\frac{\pi}{3}=1/2,\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, а эти табличные значения дают в свою очередь возможность составить систему уравнений и вывести из неё противоречие на том основании, что грубо говоря уравнение $A\sqrt{3}+B=0$ разрешимо в рациональных числах только когда $A=0$! Ну а раз так, то на основании $A=0$ уже легко можно вывести противоречие!

А как же $\sin\left(\frac{\arccos r}{3}\right)$ и $\cos\left(\frac{\arccos r}{3}\right)$ ? Насколько я помню, преобразование таких тригонометрических форм в алгебраическую равносильно решению некоторого кубического уравнения, при котором снова возникнут комплексные числа. Не думаю, что данный подход может привести к успеху.

[Rak so dna]

Что касается конкретики, то уже вот это:

Antoshka в сообщении #1590631 писал(а):

дабы сделать изложение короче, я сразу напишу, что $k_1=k_2=0;$ то есть...

неверно, соответственно и всё дальнейшее тоже.

[mihaild]

Я бы ещё предложил, раз уж используется вольфрам, явно писать, где он и как используется. Прямо скриптом желательно.

[Antoshka]

Отвечаю на вопросы.

Rak so dna в сообщении #1591234 писал(а):

А как же $\sin\left(\frac{\arccos r}{3}\right)$ и $\cos\left(\frac{\arccos r}{3}\right)$ ? Насколько я помню, преобразование таких тригонометрических форм в алгебраическую равносильно решению некоторого кубического уравнения, при котором снова возникнут комплексные числа. Не думаю, что данный подход может привести к успеху.

А кубическое уравнение и не нужно. Нужна будет универсальная тригонометрическая подстановка!

Rak so dna в сообщении #1591249 писал(а):

Что касается конкретики, то уже вот это:
Antoshka в сообщении #1590631
писал(а):
дабы сделать изложение короче, я сразу напишу, что $k_1=k_2=0;$ то есть... неверно, соответственно и всё дальнейшее тоже.

Вам непонятно, почему должно быть именно $k_1=k_2=0;$ Давайте рассмотрим случай $k_1=1;$Ясно, что $k_1,k_2$ могут принимать только два значения, кроме нуля, то есть $k_1,k_2={1;2}$ так вот, если $k_1=1$, то система $\eqno[16]$ принимает вид

Antoshka в сообщении #1586528 писал(а):

$$\left\{ \begin{array}{lcl} j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt{r_1}\big(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_1}{3}}}\big)}\\ j_2=\frac{\sqrt{r_1}\big(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}}}\big)}{r_2} \\ Arg(r_3)=\arccos{\frac{r_4}{r_1\sqrt{r_1}}} \ \ \eqno[16] \end{array} \right.$$

$\left\{ \begin{array}{lcl} j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt{r_1}\big(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}}{3}}}\big)}\\ j_2=\frac{\sqrt{r_1}\big(\cos{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}+i\sin{\frac{Arg(r_3)+2{\pi}k_2}{3}}}\big)}{r_2} \\ Arg(r_3)=\arccos{\frac{r_4}{r_1\sqrt{r_1}}} \ \ \end{array} \right.$ Но нужный корень рациональный и имеет вид $T+2/3=j_1+j_2$, поэтому мнимая часть комплексного числа должна быть равна нулю! Это значит, что $k_2=k_1=1$, потому что если взять $k_2=0$, либо $k_2=2$, то умножаем на сопряженное выражение $j_1$, приравнивая мнимую часть нулю, получаем, что $Arg(r_3)=L\pi/2,L\in\mathbb{Z}$, но $\varphi=Arg(r_3)=\arccos\frac{r_4}{r_1\sqrt{r_1}}$, причём сейчас рассматривается случай $r_4>0$!

Antoshka в сообщении #1586528 писал(а):

Пусть будет $r_4>0;$ тогда раз $r_5$ по лемме 2 положительное, то $Arg(r_3)$ принадлежит первой четверти!

Это значит, что $\varphi=0;\pi/2\Rightarrow \frac{r_4}{r_1\sqrt{r_1}}=1;0\Rightarrow r_4=r_1\sqrt{r_1}$, либо $r_4=0$, что невозможно в силу уравнения $\eqno[15]$, которое имеет вид $r_1^3-r_4^2-r_5^2r_6=0$, потому что получается $r_5r_6=0$, а это невозможно! Значит реально $k_1=k_2=1$, но тогда корень приобретает вид $T+2/3=\frac{2\sqrt{r_1}\cos\frac{\varphi+2\pi}{3}}{r_2}$, но mihaild показал, что $T>0$, поэтому получается положительное число равно отрицательному, ведь угол $\frac{\varphi+2\pi}{3}$ принадлежит либо второй, либо третьей четверти, потому что $\varphi$ из первой четверти, а там косинус отрицательный, потому противоречие получается!
Что, если $k_1=2$?Тогда теперь сразу понятно, что $k_1=k_2=2$, поэтому угол приобретает очень удобный вид, и корень кстати тоже $T+2/3=\frac{2\sqrt{r_1}\cos\frac{\varphi+4\pi}{3}}{r_2};$ Отсюда сразу следует, что раз $\varphi\leqslant \pi/2\Rightarrow \frac{4\pi+\varphi}{3}\leqslant \frac{3\pi}{2}\Rightarrow T+2/3=0$, но это невозможно, так как повторюсь mihaild показал, что $T>0;$
То есть случай $k_1=k_2=0$ является самым интересным!

mihaild в сообщении #1591286 писал(а):

Я бы ещё предложил, раз уж используется вольфрам, явно писать, где он и как используется. Прямо скриптом желательно.

Вольфрам можно использовать здесь

Antoshka в сообщении #1590631 писал(а):

Настала пора наконец составить уравнение, которое приведёт к противоречию. Получается оно из уравнения $\eqno[17]$ его умножением на $(u^3-3r_1u+2r_4)$, где $u=(T+2/3)r_2$, то есть $(u^3-3r_1u-2r_4)(u^3-3r_1u+2r_4)=0\Rightarrow \delta^3-3r_1^2\delta-2(-r_4^2+r_5^2r_6)=0;\eqno[22]$
Здесь $\delta=2r_1-u^2;u=(T+2/3)r_2;$
Уравнение $\eqno[22]$ взялось из того, что если сложить $(u^3-3r_1u-2r_4)(u^3-3r_1u+2r_4)+\delta^3-3r_1^2\delta-2(-r_4^2+r_5^2r_6)$, то с учётом уравнения $r_1^3-r_4^2-r_5^2r_6=0$ получится ноль.

Для этого набираем в wolfram mathematica

Цитата:

$\delta=2r_1-u^2$
ExpandAll[$(u^3-3r_1u-2r_4)(u^3-3r_1u+2r_4)+(\delta^3-3r_1^2\delta)-2(-r_4^2+r_5^2r_6)]$]//Factor

Греческие буквы вводятся через падающее меню pallets, далее wiring assistant.
Если все сделано правильно, то программа выдаст результат

Цитата:

$2(r_1^3-r_4^2-r_5^2r_6)$

А это есть в точности ранее полученное уравнение $\eqno[15]$, точнее его левая часть $r_1^3-r_4^2-r_5^2r_6=0$!

[Rak so dna]

Antoshka в сообщении #1591578 писал(а):

Вам непонятно, почему должно быть именно $k_1=k_2=0;$ Давайте...

Нет, мне "не непонятно" — я утверждаю, что это просто неверно. А вот что мне непонятно, так это то, зачем вы вводите $k_1$ и $k_2$ ? Типа, в одном месте вы выбираете одну ветвь корня, а в другом месте другую ветвь того же корня?

[Antoshka]

Rak so dna в сообщении #1591583 писал(а):

Нет, мне "не непонятно" — я утверждаю, что это просто неверно. А вот что мне непонятно, так это то, зачем вы вводите $k_1$ и $k_2$ ? Типа, в одном месте вы выбираете одну ветвь корня, а в другом месте другую ветвь того же корня?

Смотрите, корень кубический из комплексного числа представляет из себя совокупность трех комплексных корней, поэтому и вводятся $k_1,k_2$, которые принимают ровно три значения, потому что корень кубический

-- 29.04.2023, 10:19 --

Rak so dna в сообщении #1591583 писал(а):

я утверждаю, что это просто неверно

но не будете же вы отрицать, что нужно рассмотреть все возможные сочетания значений $k_1,k_2$? Вот $k_1=k_2=0$ один из возможных случаев

[Rak so dna]

Antoshka да, корень кубический трёхзначен, но почему вы в разных местах предполагаете ветви одного и того же корня разными? Ну, то есть конкретная ветвь $\sqrt[3]{r_3}$ у вас в двух местах может быть не одна и та же.

-- 29.04.2023, 10:27 --

Antoshka в сообщении #1591587 писал(а):

но не будете же вы отрицать, что нужно рассмотреть все возможные сочетания значений $k_1,k_2$?

Именно это я и отрицаю.

Antoshka в сообщении #1591587 писал(а):

Вот $k_1=k_2=0$ один из возможных случаев

Да, один из возможных, но не обязательный. Коль уж вы полезли в тригонометрию, придётся таскать эти $2\pi k$ всюду, или обосновывать выбор конкретного $k$, а просто так взять $k=0$ нельзя.

[Antoshka]

Rak so dna в сообщении #1591594 писал(а):

Antoshka да, корень кубический трёхзначен, но почему вы в разных местах предполагаете ветви одного и того же корня разными? Ну, то есть конкретная ветвь $\sqrt[3]{r_3}$ у вас в двух местах может быть не одна и та же.

то есть вы хотите сказать, что уже изначально понятно, что $k_1=k_2$? Как вы это поняли?

Rak so dna в сообщении #1591594 писал(а):

Да, один из возможных, но не обязательный. Коль уж вы полезли в тригонометрию, придётся таскать эти $2\pi k$ всюду, или обосновывать выбор конкретного $k$, а просто так взять $k=0$ нельзя.

Так я в своём сегодняшнем сообщении как раз и обосновал выбор конкретных значений $k_1,k_2$

[Rak so dna]

Antoshka в сообщении #1591596 писал(а):

то есть вы хотите сказать, что уже изначально понятно, что $k_1=k_2$?

Да

Antoshka в сообщении #1591596 писал(а):

Как вы это поняли?

Ну вот смотрите, у вас есть корень $\sqrt[3]{r_3}$ и у него три ветви. Запишем теперь тождество $\sqrt[3]{r_3}=2\sqrt[3]{r_3}-\sqrt[3]{r_3}$ и что, теперь вы будете рассматривать все комбинации всех ветвей слагаемых $2\sqrt[3]{r_3}$ и $\sqrt[3]{r_3}$ ? Нет, ветви $2\sqrt[3]{r_3}$ и $\sqrt[3]{r_3}$ выбираются одинаковыми.

[Antoshka]

Rak so dna в сообщении #1591601 писал(а):

Да

Rak so dna в сообщении #1591601 писал(а):

Ну вот смотрите, у вас есть корень $\sqrt[3]{r_3}$ и у него три ветви. Запишем теперь тождество $\sqrt[3]{r_3}=2\sqrt[3]{r_3}-\sqrt[3]{r_3}$ и что, теперь вы будете рассматривать все комбинации всех ветвей слагаемых $2\sqrt[3]{r_3}$ и $\sqrt[3]{r_3}$ ? Нет, ветви $2\sqrt[3]{r_3}$ и $\sqrt[3]{r_3}$ выбираются одинаковыми.

Ну тогда мои рассуждения можно даже упростить получается. mihaild думаю даст комментарии по этому поводу

[Rak so dna]

Antoshka в сообщении #1591578 писал(а):

Это значит, что $\varphi=0;\pi/2\Rightarrow \frac{r_4}{r_1\sqrt{r_1}}=1;0\Rightarrow r_4=r_1\sqrt{r_1}$, либо $r_4=0$, что невозможно в силу уравнения $\eqno[15]$, которое имеет вид $r_1^3-r_4^2-r_5^2r_6=0$, потому что получается $r_5r_6=0$, а это невозможно!

Почему из $r_4=0$ вы делаете вывод, что $r_1=0$ ?

[Antoshka]

Rak so dna в сообщении #1591608 писал(а):

Почему из $r_4=0$ вы делаете вывод, что $r_1=0$ ?

Смотрите, $\varphi$ может принимать только два значения $0;\pi/2$; это значит, что $\frac{r_4}{r_1\sqrt{r_1}}$ может принимать два значения: либо $0$, либо $1$! Это означает, что либо $r_4=0$, что невозможно, либо же $r_4=r_1\sqrt{r_1}$, что тоже невозможно, ибо $r_4$ целое число, а $\sqrt{r_1}$ иррационально, так как делится ровно на семь в первой степени в силу соотношений леммы 2! Ещё раз вот эти соотношения

Antoshka в сообщении #1583842 писал(а):

Лемма 2. Корень такой $\cos\gamma=j_1+j_2-\frac{2}{3}$, где

$$\left\{ \begin{array}{lcl} j_1=\frac{r_1}{r_2\sqrt[3]{r_3}}\\ j_2=\frac{\sqrt[3]{r_3}}{r_2} \ \ \eqno[10]\\ \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{lcl} r_1=16\sqrt[6]{7a}^2h_2^2+21(2a-FD)^2FD^3,\\ r_2=12\sqrt[6]{7a}h_2,\\ r_3=r_4+r_{50}\sqrt{r_{60}} \end{array} \right. $$

Кроме того,

$$\left\{ \begin{array}{lcl} r_4=64\sqrt[6]{7a}^3h_2^3-63\sqrt[6]{7a}(2a-FD)^2FD^2(3(2a-FD)F^5+h_2D),\\ r_{50}=3(2a-FD)D,\\ r_{61}=-21F(49(2a-FD)^4F^2D^7+128\sqrt[6]{7a}^4h_2^3((2a-FD)F^5+h_2D))\\ r_{62}=21F(7\sqrt[6]{7a}^2(2a-FD)^2FD^2(27(2a-FD)^2F^{10}+18(2a-FD)F^5h_2D-13h_2^2D^2))\\ r_{60}=r_{61}-r_{62}\\ \end{array} \right.$$

[Rak so dna]

Antoshka в сообщении #1591610 писал(а):

Это означает, что либо $r_4=0$, что невозможно

Почему? Ну взял я $r_4=0$ что я нарушил?